Die Bahn der Sonne am Himmel

Im Verlaufe eines Jahres ändert sich die Tageslänge: im Winter sind die Tage kürzer, im Sommer sind sie länger. An zwei Tagen im Jahr sind Tag und Nacht gleich lang (je 12 Stunden, Tag- und Nachtgleiche, Solistitien). Die Tageslänge ist - wie wir aus dem Urlaub wissen — in der gleichen Jahreszeit im Süden länger und im Norden kürzer als bei uns.

Wie kommt das? Das sehen wir uns hier an. Kann man die Tageslänge für eine beliebige Breite vor­her­sagen? Das wollen wir hier ableiten. Betrachten wir uns zunächst die Bahn der Erde um die Sonne nach den gültigen astronomischen Vorstellungen an.

Das Bild zeigt eine Sicht von "oben" auf die Bahn der Erde um die Sonne im Zentrum (eigentlich: in einem Brennpunkt der Ellipse). Die Erde bewegt sich im Gegen­uhr­zei­ger­sinn auf der Bahn und dreht sich um sich selbst ebenfalls im Gegen­uhr­zei­ger­sinn. Da die Erdachse gegenüber der Bahnebene um 23,45° geneigt ist, aber immer in Richtung zum Himmelsnordpol zeigt, werden unterschiedliche Regionen der Erde gleichlang beleuchtet. Am deutlichsten erkennt man das am Nordpol: im Bild sind die Gegenden weiß gefärbt, an denen die Sonne nicht untergeht, und sie sind dunkelblau, wenn die Sonne dort nicht aufgeht.

Die Bahnebene der Erde ist die Ekliptik. Sie liegt in der Abbildungsebene (hellgelb). Sie hat eine Achse (rot), senkrecht auf ihr steht, und durch die Sonne (oder die Erde) geht. Um den Umlauf zu messen, setzen wir den Frühlingspunkt als Null Grad fest und zählen im Umlaufsinn der Erde (im Gegenuhrzeigersinn) bis 360°.

Der Ort der Erde zur Tag- und Nachtgleiche im Frühling (21. März) entspricht also 0°, der ge­gen­über­liegende im Herbst 180°. Der Ort am 21. Juni (Sommersonnenwende) entspricht 90° und die Win­ter­son­nen­wende 270°. Die Tatsache, dass die Erdachse bei ihrem Umlauf um die Sonne immer in die gleiche Richtung zeigt, gibt die Möglichkeit, die Stellung der Sonne relativ zur Erdachse, bzw. zum Äquator, zu berechnen.

Sonnenbahn Die nebenstehende Abbildung zeigt die Erdkugel mit einem Beobachter in der Nähe der Insel Helgoland. Die Hori­zont­ebene des Beobachters (grau) und ihre Achse (rot) definieren das Horizont-Koordinatensystem des Beobachters. Die Sonne steht einige Zeit vor ihre Kul­mi­na­tion in der Ekliptik (gelb). Auf der Himmelsäquator (rot) blickt man, er erscheint als Linie. Außerdem sind der Südmeridian (Kulmination der Sonne) und der Orts­meridian des Beobachters eingezeichnet.

Die Schnittpunkte der Ekliptikebene mit der Hori­zont­ebene sind der Auf­gangs­punkt bzw. der Unter­gangs­punkt der Sonne. An diesen Punkten erscheint sie im Gesichtsfeld des Beobachters, oder sie verschwindet daraus. Die Schnitt­punkte der Ekliptik mit der Him­mels­äquator­ebene sind der Frühlings- bzw. der Herbst­punkt.

Außer der Tageslänge interessiert die Höhe der Sonne über dem Äquator zu Mittag an einem beliebigen Tag des Jahres (die sich ja mit der Jahreszeit ändert). Wegen der Neigung der Erdachse zur Ekliptik und ihrer Richtungskonstanz (Kreiseleffekt!) beim Umlauf um die Sonne im Verlaufe des Jahres, findet man aus dem Abstand der Sonne vom Schnittpunkt der Ekliptik mit der Äquatorebene (Widderpunkt, s. Äquatorialsystem). Da der Ortsmeridian der Sonne die beiden Ebenen im rechten Winkel schneidet, betrachtet man ein rechtwinkliges sphärisches Dreieck und kann die Nepersche Regel anwenden. Um den beobachtbaren Sonnenhöchststand (im Horizontalsystem leichter finden zu können, berechnet man den Stand der Sonne über dem Äquator geschickterweise zu Mittag (12:00 h).

Die nebenstehende Abbildung zeigt die Himmelkugel mit dem Himmelsäquator (rot) und der Ekliptik (gelb). Außerdem ist ein Meridian der Himmelskugel eingezeichnet. Wenn wir die Stellung der Sonne zu einer beliebigen Zeit über oder unter dem Himmelsäquator berechnen wollen, müssen wir in dem schwarz markierten rechtwinkligen, sphärischen Dreieck rechnen. Bekannt sind der Winkel ε = 23,45° — das ist die im Jahresverlauf in erster Näherung konstante Schiefe der Ekliptik — und die Hypotenuse λ auf der Ekliptik: das ist der Bruchteil des vollen Umlaufes der Sonne zu dem gewählten Zeitpunkt. Gesucht ist die Kathete, die den Abstand der Sonne vom Himmelsäquator repräsentiert. Berechnen wir zunächst die Hypotenuse.

Die Umlaufzeit der Erde um die Sonne (gemessen zwischen den beiden Kulminationen der Sonne an zwei Tagen, die das gleiche Datum haben) beträgt 365 Tage 6 Stunden 9 Minuten 9,54 Sekunden (365,25636 d). Das entspricht einem Umlaufwinkel von 360°. Pro Grad Fortschritt auf der Bahn braucht die Erde also 1,014601 Tage (1 d 21 m 1,526 s), oder pro Tag legt sie 0,98561° zurück. Wir können also den Ort der Erde für jede Zeit auf ihrer Umlaufbahn durch den Winkel ε beschreiben. Dazu müssen wir nur wissen, wann der Frühlingspunkt passiert wurde und wieviele Tage seit diesem Zeitpunkt verstrichen sind.

Im Jahr 2002 begann der Frühling am 20. März um 19:16h; zu diesem Zeitpunkt war λ = 0°. Wie groß war λ am 1. August 2002 um 12:00 h? Zur Brechnung der verstrichenen Zeit verwenden wir eine Modifikation des Julianischen Datums und geben dem 20. März, 19:16h das

  • JD = INT(275·(Monat/9)) -31 + Tag + UT/24 = 91 - 31 + 20 + 0,80 = 80,80.

Der 1. Aug. ehält das mit der gleichen Vereinfachung das Julianische Datum JD = 214,5. Die Differenz ist 133,7 Tage. Die Länge λ der Sonne ist dann

  • h = 133,7 Tage/365,25 Tage · 360° = 131,78°.

Im rechtwinkligen sphärischen Dreieck mit den Seiten auf dem Äquator (a), auf der Ekliptik (λ) und dem Ortsmeridian (h) der Sonne (obige Abbildung grün umrandet und schraffiert) gilt nach der Neperschen Regel:

  • sin h = sin λ · sin ε

Das ist die Transformation, die das Ekliptikalsystem mit dem Ekliptikalsystem mit dem Äquatorialsystem verbindet.

Der Winkel ε ist der, den der Äquator und die Ekliptik einschließen (Schiefe der Ekliptik). Bekannt sind λ und ε, gesucht wird h. Die Höhe h der Sonne über dem Himmelsäquator ist also:

  • sin h = sin 131,78° · sin 23,45°
  • h = 17,26° = 17° 15,6′.

Von Herrn Wolfgang Schmidt aus Voerde erhielt ich den Hinweis, dass man h nach der Formel h = 23,45° · sin λ berechnen kann. Der Fehler ist tatsächlich geringer als ¼° und bei ε < 35° geringer als 1°.

An dieser Stelle soll erwähnt werden, dass dieser Wert leider nicht mit der Beobachtung übereinstimmt. Die Erdbahn ist eine Ellipse, nicht wie in dieser Rechnung vorausgesetzt ein Kreis, und die Geschwindigkeit der Erde schwankt mit der Entfernung der Sonne nach dem 2. Keplerschen Gesetz. Deshalb ist die Entfernung der Sonne zu einem beliebigen Zeitpunkt nicht so einfach durch eine Zeitdifferenz anzugeben. Wie man diese Korrektur anbringt, nennt man die Zeitgleichung. Der entsprechend korrigierte Wert ist 18° 00′.

Um nun die Stellung der Sonne für einen Beobachter auf der Erde zu berechnen müssen wir uns die Bahn der Sonne von der Erde aus gesehen ableiten.

Die Sonne steht ja — von der Erde aus gesehen — immer in der Ekliptik (im Bild die gelbe Fläche). Der Beobachter auf der Erdkugel mißt zwischen seinem Zenith (das ist die Richtung vom Erdmittelpunkt durch den Beobachter senkrecht nach oben) und der Sonne einen Winkel α, der sich mit dem Winkel der Sonne über dem Horizont des Beobachters zu 90° ergänzt. Ein Beobachter am Äquator sähe die Sonne fast genau über sich, für einen am Nordpol stünde die Sonne unter dem Horizont. Dieses Bild ergibt sich, wenn die Erdachse von der Sonne weg gerichtet ist - wie das in unseren Breiten von etwa November bis Januar der Fall ist (siehe oberes Bild).

Ist dagegen die Erdachse in Richtung zur Sonne ausgerichtet (etwa zwischen Mai und Juni), sieht das Bild etwas anders aus. Der Winkel zwischen Zenith und Sonne ist größer: die Sonne steht höher über dem Horizont. Steht die Erdachse genau senkrecht zur Verbindungslinie des Beobachters zur Sonne, dann haben wir Tag- und Nachtgleiche, einmal im Frühling und einmal im Herbst.

Für die weitere Betrachtung unterscheiden wir zwei Fälle:

  1. die Bewegung der Erdachse im Verlaufe eines Jahres, und
  2. die tägliche Drehung der Erde um ihre Achse.

Die Bewegung der Erdachse im Verlauf des Jahres

Die Erdachse umläuft im Verlaufe eines Umlaufs um die Sonne einen Kegelmantel um eine Achse, die durch den Mittelpunkt der Erde geht und senkrecht auf der Ekliptikebene steht. Mit dem ersten Bild auf dieser Seite kann man ableiten, dass sie diesen Kegel im Uhrzeigersinn umläuft. Ein Umlauf dauert ein Jahr zu 365,25 Tagen. Da die Höhe der Sonne an einem bestimmten Tag von der Stellung der Erdachse auf diesem Kegelmantel abhängt, kann man sie ins Verhältnis setzen zu dem Bruchteil eines Jahres, der an dem Tag vom Jahresbeginn verstrichen ist. Dieses Verhältnis kann man in in Winkelgraden angeben, denn ein Umlauf entspricht ja 360° (oder 2·π). Man braucht nur noch einen Nullpunkt, an dem das Jahr beginnt und der Winkel gleich Null ist. Dieser Punkt ist die Frühlings-Tag- und Nachtgleiche (Frühlings- oder Widderpunkt). Das hat historische Gründe, denn offensichtlich konnte man bereits in der Steinzeit die Äquinoktien astronomisch bestimmen und vorhersagen.

Die Linie zum Zenit des Beobachters bescheibt im Tagesverlauf wegen der Erdrotation ebenfalls einen Kegel. Dessen Öffnungswinkel hängt von der geografischen Breite φ ab.

Da die Sonne ja in der Ekliptik fest steht, sieht der Beobachter ganz links die Sonne rechts von sich aufgehen; wenn er nach Norden (zur Erdachse hin) schaut, ist rechts gleich Osten (diese Behauptung ist leicht zu überprüfen). Der Winkel zwischen seinem Zenith und der Ekliptikebene ist groß, d.h. die Sonne steht niedrig über dem Horizont. Mit der Erddrehung steigt die Sonne, bis sie ihren höchsten Punkt erreicht hat (Kulmination); sie steht dann genau südlich des Beobachters. Dreht sich die Erde weiter — und der Beobachter mit ihr - sinkt die Sonne wieder zum Horizont, bis sie links (im Westen) des Beobachters hinter dem Horizont verschwindet.

Die tägliche Drehung der Erde

Die Tatsache, dass die Ekliptikebene, in der ja die Sonne liegt, die Erdkugel in ihrem Mittelpunkt schneidet, führt dazu, dass die Sonne sich für einen Beobachter auf der Erde auf einem Großkreis an der Himmelskugel bewegt. Damit haben wir in der sphärischen Trigonometrie eine Möglichkeit, die Stellung der Sonne für einen Beobachter auf der Erde zu jedem Zeitpunkt und für jeden Ort zu berechnen.

Im Bild rechts ist die Sonnenbahn (gelb) auf einem Großkreis eingezeichten. Außerdem sind der Himmelsäquator (fetter), der mit dem Erdäquator in einer Ebene liegt, und zwei Meridiane durch den Nordpol eingezeichnet: einer der Meridiane geht durch die Sonne (rot), der andere (schwarz) durch den Zenith des Beobachters.

Für die weiter Diskussion drehen wir das Bild so, dass der Nordpol oben liegt (und ein paar Grad im Uhrzeigersinn um die Erdachse). Wir erkennen ein sphärisches Poldreieck Nordpol, Zenith, Sonne.

Die Seite NZ (Nordpol-Zenith) kennen wir bereits: es ist die Entferung des Beobachters vom Nordpol in Grad, also 90°-φ. Die Dreiecksseite NS (Nordpol-Sonne) ergänzt sich mit dem Winkel, den die Sonne öber dem Äquator steht zu 90°. Der Winkel ZNS zwischen den beiden Meridianen beim Nordpol hängt mit der Zeit, die die Sonne vor oder nach der Mittagskulmination auf ihrer Bahn steht, zusammen. Da die Sonne immer über der Ortsmeridian des Beobachters kulminiert, hängt sie von der geografischen Länge λ des Beobachters ab. Die drei Angaben: zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel, bestimmen das Dreieck.

Wenn wir die geografischen Koordinaten φ und λ des Beobachters kennen und die Uhrzeit sowie den Kulminationsstand der Sonne an dem entsprechenden Tag, können wir den augenblicklichen Ort der Sonne berechnen.

Es fehlt uns also die Kulminationshöhe der Sonne für den Tag. Die hängt aber — wie wir oben gesehen haben — ab von der Zeit, die seit dem Durchgang der Sonne durch den Widderpunkt verstrichen ist. Da an diesem Tag die Sonnenbahn den Himmelsäquator kreuzt, entspricht die Kulminationshöhe der Sonne genau der geografischen Breite φ des Beobachters.


© Rainer Stumpe, URL: http://www.rainerstumpe.de/