Apollonius grüsst den Eudemos.

Wenn du gesund bist und deine übrigen Angelegenheiten sich nach deinem Wunsch verhalten, ist es mir lieb. Mir geht es gut. Da ich mich zu Pergamus befand, sah ich, dass du begierig warst, die von mir bearbeiteten Sätze über die Kegelschnitte kennen zu lernen. Ich schicke dir daher das erste Buch, wie ich es nunmehr verbessert habe, und werde dir die übrigen der Reihe nach schicken, wenn ich Musse finden kann. Du wirst wohl dich dessen, was ich dir hierüber schon mitgetheilt habe, erinnern; dass ich nämlich diese Bücher auf die Bitte des Geometers Nauerates zu schreiben unternahm, zu der Zeit, als dieser in Alexandrien bei uns war, und weshalb ich auf die acht so entstandenen Bücher jetzt einen grösseren Fleiss verwende. Denn da Nauerates sobald als möglich zur See gehen wollte, habe ich dieselben damals nicht verbessert, sondern, was sich mir darbot, niedergeschrieben, in der Absicht, es nach der Beendigung wieder vorzunehmen. Weil ich nun Zeit habe, gebe ich heraus, was ich verbessert habe. Da einige von denen, die bei mir gewesen sind, das erste und zweite Buch vor der Verbesserung erhalten haben, so wundere dich nicht, wenn du Einiges findest, das sich anders verhält.

Von den acht Büchern nun enthalten die vier ersten die Elemente dieser Disciplin. Das erste umfasst die Erzeugung der drei Kegelschnitte und derer, die man entgegengesetzte Schnitte nennt; und ihre hauptsächlichsten Eigenschaften, die ich ausführliecher und allgemeiner behandelt habe als die andern, die über denselben Gegenstand geschrieben haben.

Das zweite Buch behandelt dasjenige, was sich auf die Durchmesser, die Achsen, und gewisse andere Linien bezieht; die mit dem Schnitt nicht zusammenkommen, und die die Griechen Asymptoten nennen; dann enthält es Anderes, das von allgemeinem Nutzen und nothwendig für die Aufgabenbestimmungen ist. Was ich aber Durchmesser und Achsen nenne, wirst du in diesem ersten Buche erklärt finden.

Das dritte Buch enthält viele und bewundernswerthe Sätze, welche sowohl für die Construction der körperlieben Oerter, als auch für die Aufgabenbestimmungen von Nutzen sind, und von denen viele sehr schön und neu sind. Indem ich dies durchdachte, bemerkte ich, dass Euclid die Art und Weise, Oerter zu drei und vier Linien zu construiren nicht festgestellt habe, sondern nur einen kleinen Theil, und auch diesen nicht besonders glücklich; denn diese Construction konnte nicht richtig geschehen, ohne das, was ich erfunden habe.

Das vierte Buch lehrt, auf wie viele Arten Kegelschnitte unter sich und mit der Kreislinie sich schneiden können, und vieles andere, was zur vollständigen Lehre gehört, wovon nichts von meinen Vorgängern behandelt ist, in wie viel Punkten nämlich ein Kegelschnitt oder ein Kreis oder die entgegengesetzten Schnitte mit den entgegengesetzten Schnitten sich schneiden.

Die übrigen vier Bücher gehören zu einer vollständigeren Wissenschaft. Das fünfte handelt zum grossen Theil von den grössten und kleinsten Linien, die von einem Punkt an einem Kegelschnitt gezogen werden können. Das sechste von den gleichen und ähnlichen Kegelschnitten. Das siebente enthält Sätze, die die Kraft des Bestimmens von Aufgabehaben. Das bestimmte Aufgaben über die Kegelschnitte. Nachdem diese alle herausgegeben sein werden, wird ein Jeder, der sie liest, nach seiner Herzensmeinung darüber urtheilen können. Lebe wohl.

Inhaltsübersicht

Erstes Buch

1. Linien vom Scheitel eines Kegels nach einem Punkt der Kegeldache liegen ganz in derselben.
2. Linien, die zwei Punkte einer Kegelfläche verbinden, liegen ganz innerhalb, ihre VerIängerungen ausserhalb derselben.
3. Jeder ebene Schnitt durch den Scheitel eines Kegels giebt ein Dreieck.
4. Jeder Schnitt parallel der Grundfläche ist ein Kreis.
5. Ein Schnitt senkrecht auf der Ebene des Achsendreiecks, das auf der Grundfläche senkrecht steht, der von diesem ein ähnliches Dreieck mit verwechselten Winkeln an der Grandlinie abschneidet, ist ein Kreis und heisst Wechselschnitt.
6. Eine Linie zwischen zwei Punkten einer Kegelfläche, die parallel einer Sehne des Grundkreises ist, wird von dem Achsendreieck, dessen Grundlinie senkrecht auf dieser Sehne steht, halbirt.
7. Stehen die Durchschnittslinien eines Achsendreiecks und eines beliebigen Schnitts mit der Grundfläche senkrecht auf einander, so ist die Durchschnittslinie der ersten beiden Ebenen ein Durchmesser des erhaltenen Kegelschnitts.
8. Parabel und Hyperbel laufen in's Unendliche fort.
9. Ein Schnitt, der weder der Basis parallel noch ein Wechselschnitt ist, kann kein Kreis sein.
10. Jede Sehne eines Kegelschnitts liegt innerhalb, ihre Verlängerung ausserhalb desselben.
11. In einem Schnitt parallel einer Seitenlinie des Kegels ist das Quadrat der Ordinate gleich einem Rechteck aus der Abscisse und einer gewissen Länge, die Parameter oder latus rectum heisst. Der Schnitt selbst heisst Parabel.
12. In einem Schnitt, der beide Hälften der Kegelfläche trifft, ist das Quadrat der Ordinate gleich dem Rechteck aus der Abscisse und einer gewissen Länge, vermehrt um ein anderes Rechteck von gleicher Breite, das ähnlich dem aus der Achse und dieser Länge gebildeten ist. Jene Länge heisst Parameter oder latus rectum, der Schnitt Hyperbel.
13. In einem Schnitt, der nur eine Hälfte der Kegelfläche trifft und keiner Seitenlinie parallel ist, ist das Quadrat der Ordinate gleich dem Rechteck aus der Abscisse und einer gewissen Länge, vermindert um ein anderes Rechteck von gleicher Breite, das ähnlich dem aus der Achse und dieser Länge gebildeten ist. Jene Länge heisst Parameter oder Iatus rectum, der Schnitt Ellipse.
14. Die Schnitte, welche dieselbe schneidende Ebene in den beiden Hälften einer Kegelfläche giebt, haben denselben Durchmesser, gleiches latus reetum und heissen Gegenschnitte.
15. Eine im Mittelpunkt eines Durchmessers einer Ellipse an beiden Seiten bis an den Umfang gezogene Parallele mit den Ordinaten heisst der zweite Durchmesser und hat zum Parameter die dritte Proportionale zum zweiten und ersten Durchmesser.
16. Eine Linie zwischen zwei Gegenschnitten, die eine Verbindungslinie zweier Punkte derselben halbirt, heisst in Bezug auf den dieser Verbindungslinie parallelen Durchmesser der zweite oder conjugirte Durchmesser.
17. Die vom Scheitel eines Kegelschnitts parallel den Ordinaten gezogene Linie fällt ganz ausserhalb.
18. Eine innerhalb eines Kegelschnitts parallel einer Tangente gezogene Linie trifft denselben in zwei Punkten.
19. Eine vom Durchmesser parallel den zugehörigen Ordinaten gezogene Linie trifft den Kegelschnitt.
20. In der Parabel verhalten sieh die Quadrate der Ordinaten wie die zugehörigen Abscissen.
21. In der Ellipse und Hyperbel verhalten sich die Quadrate der Ordinaten wie die Rechtecke aus den Abscissen.
22. Jede Sehne einer Parabel oder Hyperbel schneidet entweder selbst oder in ihrer Verlängerung den Durchmesser.
23. Jede Sehne einer Ellipse, deren Endpunkte zwischen den Endpunkten zweier conjugirten Durchmesser liegen, schneidet verlängert beide Durchmesser.
24. Jede Tangente einer Parabel oder Hyperbel schneidet den Durchmesser.
25. Jede Tangente einer Ellipse in einem andern Punkt als den Scheiteln zweier conjugirten Durchmesser schneidet dieselben.
26. Jede Parallele mit dem Durchmesser einer Parabel oder Hyperbel schneidet den Kegelschnitt nur einmal.
27. Jede Linie, die den .Durchmesser einer Parabel schneidet, schneidet diese zweimal.
28. Jede innerhalb eines Gegenschnitts parallel einer Tangente am andern gezogene Linie schneidet dieselben zweimal.
29. Jede durch den Mittelpunkt an einen von zwei Gegenschnitten gezogene Linie trifft verlängert den andern.
30. Jede durch den Mittelpunkt einer Ellipse oder zweier Gegenschnitte gezogene und diese treffende Linie wird im Mittelpunkt halbirt.
31. Jede von einem Punkt des Iatus transversum, der jenseits des Mittelpunkts liegt, an eine Hyperbel gezogene Linie fällt verlängert innerhalb der Hyperbel.
32. Zwischen die im Scheitel eines Kegelschnitts parallel den Ordinaten gezogene Linie und den Kegelschnitt fallt keine andere gerade Linie.
33. Wird von einem Punkt einer Parabel eine Ordinate gezogen und die Abscisse über den Scheitel um sich selbst verlängert, so ist die Linie von dem erhaltenen Endpunkt nach dem erstgenannten Punkt eine Tangente.
34. Wird von einem Punkt einer Hyperbel oder Ellipse eine Ordinate gezogen und zu den beiden Scheiteln des Iatus transversum und dem Fusspunkt der Ordinate der vierte harmonische Punkt gesucht, so ist dessen Verbindungslinie mit dem erstgenannten Punkt eine Tangente.
35. Jede Tangente einer Parabel schneidet auf dem verlängerten Durchmesser ein Stück gleich der Abscisse dem Berührungspunktes ab.
36. Jede Tangente einer Hyperbel oder Ellipse theilt den Durchmesser in demselben Verhältniss als die Ordinate des Berührungspunktes.
37. Sind A, B, D, E vier harmonische Punkte, F die Mitte zwischen den zugeordneten A und B, so ist
    1. FB² = FD · FE,
    2. FE · DE = AE · BE
    Dies angewendet auf den Durchschnitt einer Tangente mit dem ersten und zweiten Durchmesser.
38. Enthalten eine leichte Folgerung aus §§ 21, 37 und 38 als Vorbereitung für die folgenden Sätze.
39. Ein Parallelogramm über einer Ordinate ist gleich der Summe oder dem Unterschied zweier damit gleichwinkliger und unter sich ähnlicher über der bis zum Mittelpunkt reichenden Abscisse und dem Radius, wenn das Verhältniss der Seiten des ersten zusammengesetzt ist aus dem Verhältniss der Seiten eines der letzteren und dem des Iatus rectum zum Iatus transversum.
40. Werden von einem Punkt einer Parabel eine Ordinate und eine beliebige andere Linie an den Durchmesser gezogen, so ist das erhaltene Dreieck gleich dem Parallelogramm zwischen der Abscisse und der Tangente in deren Scheitel, wenn diese durch den Durchmesser begrenzt wird, in dessen Scheitel die Tangente parallel der beliebigen Linie ist.
41. Das Dreieck zwischen zwei ebenen wie vorher bei der Parabel, bei Ellipse oder Hyperbel gezogenen Linien ist gleich einem Trapez zwischen der Ordinate, Abscisse, Tangente im Scheitel und Durchmesser nach dem Punkt, dessen Tangente der beliebigen Linie parallel ist.
42. Dieselbe Eigenschaft für Gegenschnitte bewiesen.
43. Eine ähnliche Eigenschaft findet in Bezug auf den zweiten Durchmesser Statt.
44. Jede Parallele mit dem Durchmesser einer Parabel halbirt die Sehnen, welche der Tangente in ihrem Scheitel parallel sind.
45. Jede Linie, die durch den Mittelpunkt einer Hyperbel oder Ellipse geht, halbirt die Sehnen, welche der Tangente im Scheitel parallel sind.
46. Jede Linie vom Mittelpunkt zweier Gegenschnitte an einen derselben gezogen halbirt verlängert auch im andern Gegenschnitt die der Tangente im Scheitel am ersten Gegenschnitt parallelen Sehnen.
47. Werden in einem Punkt einer Parabel ein Durchmesser und eine Tangente bis an einen andern Durchmesser gezogen, so verhält sich das Stück des erstgenannten Durchmessers vom Scheitel bis zur Tangente im Scheitel des andern zu dem Stück der Tangente vom Scheitel bis zur andern Tangente wie das Doppelte dieser ganzen Tangente zum Iatus rectum des genannten Durchmessers.
48. Dieselbe Eigenschaft für Ellipse und Hyperbel.
49. Dieselbe für Gegenschnitte.
50. Aus dem gegebenen Durchmesser, Scheitel, Iatus rectum und Ordinatenwinkel einer Parabel einen Kegel zu finden, dessen Durchschnitt mit einer gegebenen Ebene diese Parabel giebt.
51. Dieselben Aufgaben für eine Hyperbel, Ellipse und zwei Gegenschnitte.
52. Conjugirte Gegenschnitte zu beschreiben.

Zweites Buch

1. Wird auf der Tangente einer Hyperbel vom Berührungspunkt nach jeder Seite ein Stück abgeschnitten, dessen Quadrat gleich dem vierten Theil des zum Durchmesser gehörigen Rechtecks ist, so sind die Linien vom Mittelpunkt nach den erhaltenen Punkten Asymptoten.
2. Es gehen vom Mittelpunkt keine andern Asymptoten aus als die des vorigen Satzes.
3. Der Berührungspunkt einer Tangente einer Hyperbel ist die Mitte des von den Asymptoten darauf abgeschnittenen Stücks.
4. Eine Hyperbel zu construiren, deren Asymptoten zwei gegebene Linien sind und welche durch einen gegebenen Punkt geht.
5. Die Tangente im Scheitel des Durchmessers einer Hyperbel oder Parabel ist parallel den Sehnen, welche der Durchmesser halbirt (siehe I. 17).
6. Dasselbe für die Ellipse.
7. Die Linien vom Berührungspunkt der Tangente eines Kegelschnitts nach der Mitte einer damit parallelen Sehne ist ein Durchmesser.
8. Jede Sehne einer Hyperbel trifft verlängert beide Asymptoten und die so erhaltenen äusseren Abschnitte sind gleich.
9. Eine Linie, deren zwischen die Asymptoten einer Hyperbel fallendes Stück durch einen Punkt der Hyperbel halbirt wird, ist eine Tangente derselben.
10. Das Rechteck aus den Abschnitten einer schneidenden Geraden, die zwischen einem Hyperbelpunkt und den beiden Asymptoten liegen, ist gleich dem vierten Theil des zu dem Durchmesser, der die entstandene Sehne halbirt, gehörigen Rechtecks.
11. Eine Gerade, die die Schenkel des Nebenwinkels des Asymptotenwinkels trifft, schneidet die Hyperbel nur in einem Punkt, und das Rechteck aus den wie im vorigen Satz gebildeten Abschnitten derselben ist gleich dem Quadrat des mit der Geraden parallelen Halbmessers.
12. Das Rechteck aus zwei von einem Hyperbelpunkte an die Asymptoten unter gegebenen Winkeln gezogenen Linien ist constant.
13. Jede Parallele mit einer Asymptote, die innerhalb des Asymptotenwinkels liegt, trifft die Hyperbel nur in einem Punkt.
14. Asymptote und Hyperbel kommen einander näher als bis auf irgend eine gegebene Entfernung.
15. Gegenschnitte haben dieselben Asymptoten.
16. Jede Linie, die die Schenkel des Nebenwinkels eines Asymptotenwinkels schneidet, trifft die Gegenschnitte je in einem Punkt und die auf ihr entstehenden äusseren Abschnitte sind gleich.
17. Conjugirte Gegenschnitte haben dieselben Asymptoten.
18. Jede Tangente einer Hyperbel trifft die benachbarten conjugirten Hyperbeln und ihr Berührungspunkt ist die Mitte zwiscben den Schneidungspunkten.
19. Zwei Linien vom Mittelpunkt conjugirter Hyperbeln, von denen eine jede parallel der Tangente im Endpunkt der andern ist, sind conjugirte Durchmesser für beide Paare von Gegenschnitten.
20. Die Tangenten in den Endpunkten zweier conjugirter Durchmesser conjugirter Gegenschnitte treffen sich auf den Asymptoten.
21. Wiederholung von § 10 mit Bezug auf conjugirte Gegenschnitte.
22. Das Rechteck aus den Abschnitten einer conjugirte Gegenschnitte durchschneidenden Geraden, die zwischen einem innern Schneidungspunkt und den beiden äusseren liegen, ist gleich dem doppelten Quadrat des parallelen Halbmessers.
23. Zwei Sehnen einer Parabel, bei welchen kein Endpunkt der einen zwischen den Endpunkten der andern liegt, schneiden sich ausserhalb derselben.
24. Derselbe Satz für die Hyperbel.
25. Zwei nicht durch den Mittelpunkt gehende Sehnen einer Ellipse können sich nicht halbiren.
26. Geht die Berührungssehne zweier Tangenten einer Ellipse durch den Mittelpunkt, so sind dieselben parallel, im an dem Fall schneiden sie sich auf der Seite der Sehne, auf welcher der Mittelpunkt nicht liegt.
27. Die Verbindungslinie der Mitten zweier paralleler Sehnen eines Kegelschnitts ist ein Durchmesser.
28. Die Linie vom Schneidungspunkt zweier Tangenten eines Kegelschnitts nach der Mitte der Berührungssehne ist ein Durchmesser.
29. Der durch den Schneidungspunkt zweier Tangenten eines Kegelschnitts gehende Durchmesser halbirt die Berührungssehne.
30. Geht die Verbindungslinie der Berührungspunkte zweier Tangenten an Gegenschnitten durch den Mittelpunkt, so sind die Tangenten parallel, im andern Fall schneiden sie sich auf der Seite des Mittelpunkts.
31. Zwei nicht parallele Sehnen oder Tangenten zweier Gegenschnitte schneiden sich im Nebenwinkel des Asymptotenwinkels.
32. Eine Sehne oder Tangente eines von zwei Gegenschnitten trifft den andern nicht.
33. Die Linie vom Berührungspunkt einer Tangente eines von zwei Gegenschnitten nach der Mitte einer damit parallelen Sehne im andern ist ein Durchmesser.
34. Eine Tangente eines von zwei Gegenschnitten ist parallel einer solchen Sehne des andern, welche der vom Berührungspunkt ausgehende Durchmesser halbirt.
35. Die Verbindungslinie der Mitten zweier paralleler Sehnen zweier Gegenschnitte ist ein Durchmesser.
36. Trifft eine Linie zwei Gegenschnitte, so sind die beiden vom Mittelpunkt aus gezogenen Linien, deren eine derselben parallel, deren andere nach ihrer Mitte gezogen ist, conjugirte Durchmesser.
37. Wenn zwei Tangenten an zwei Gegenschnitten sieh schneiden, so ist die Linie von ihrem Schneidungspunkt nach der Mitte der Berührungssehne ein zweiter Durchmesser, die Parallele mit letzterer durch den Mittelpunkt der conjugirte erste.
38. Der durch den Schneidungspunkt zweier Tangenten an zwei Gegenschnitten gezogene Durchmesser halbirt die Berührungssehne.
39. Wird durch den Schneidungspunkt zweier Tangenten an zwei Gegenschnitten eine Parallele mit der Berührungssehne gezogen, so sind die Verbindungslinien der Durchschnittspunkte dieser Parallelen mit der Mitte der Berührungssohne Tangenten an den Gegenschnitten.
40. Zwei Gerade, die zwei Gegenschnitte schneiden und nicht durch den Mittelpunkt gehen, können sich nicht halbiren.
41. Dieselbe Eigenschaft für conjugirte Gegenschnitte.
42. Eine Linie vom Mittelpunkt zweier Gegenschnitte an dieselben und eine andere nach der Mitte einer der ersten Linie parallelen Sehne in den conjugirten Gegenschnitten sind conjugirte Durchmesser.

Aufgaben

Drittes Buch

1. Zwei Tangenten eines Kegelschnitts bilden mit den nach ihren Berührungspunkten gezogenen Durchmessern gleichflächige Dreiecke.
2. Werden ausser den Linien des vorigen Satzes noch Parallelen von einem Punkt des Kegelschnitts mit den Tangenten gezogen, so ist das Viereck aus diesen Parallelen einer Tangente und dem nicht zugehörigen Durchmesser gleich dem Dreieck, das dieselbe Tangente, den zugehörigen Durchmesser und eine der Parallelen zu Seiten hat.
3. Werden ausser den Linien von § 1. noch Parallelen von zwei Punkten des Kegelschnitts mit den Tangenten gezogen, so entstehen an diesen Punkten gleichflächige Vierecke je aus drei dieser Parallelen und einem Durchmesser.
4. Zwei Tangenten .an Gegenschnitten bilden mit den Durchmessern nach ihren Berührungspunkten gleichflächige Dreiecke.
5. Werden ausser den Linien von § 4. noch die Berührungssehne und von einem beliebigen Punkt des einen Gegenschnitts Parallelen mit der Tangente an demselben und der Berührungssehne bis an den durch den Kreuzungspunkt der Tangenten gehenden Durchmesser gezogen, so findet die analoge Eigenschaft als in § 2. Statt.
6. Die Eigenschaft des § 2. für Gegenschnitte wörtlich übertragen.
7. Die Eigenschaft des § 3. für Gegenschnitte wörtlich übertragen.
8. Enthält den speciellen Fall von § 3., wenn die Ausgangspunkte der Parallelen die andern Endpunkte der beiden vorhandenen Durchmesser sind.
9. Enthält den speciellen Fall von § 3., in welchem ein Ausgangspunkt der Parallelen der andere Endpunkt des einen Durchmessers, der andere ein beliebiger Punkt zwischen den Endpunkten der Durchmesser ist.
10. Enthält dasselbe für den Fall, dass der letztgenannte Punkt nicht zwischen den Endpunkten der Durchmesser liegt.
11. Enthält eine Wiederholung von § 5.
12. Wenn an zwei Gegenschnitten zwei Tangenten, deren Berührungssehne und zwei Durchmesser nach dem Kreuzungspunkt der Tangenten und einem Berührungspunkt, und von zwei beliebigen Punkten des Gegenschnitts, auf dem dieser Berührungspunkt liegt, Parallelen mit der dahin gebenden Tangente und der Berührungssehne gezogen werden, so sind zwei Vierecke aus dreien dieser Parallelen und einem Durchmesser gebildet gleich.
13. Zwei Tangenten an zwei benachbarten conjugirten Hyperbeln bilden mit den Durchmessern nach den Berührungspunkten gleichflächige Dreiecke.
14. Die Eigenschaft des § 2. für conjugirte Hyperbeln.
15. Enthält erst noch den Fall derselben Eigenschaft, wenn beide Tangenten an derselben Hyperbel gezogen sind, so wie die Eigenschaft des § 3. für conjugirte Hyperbeln.
16. Die Quadrate zweier sich schneidenden Tangenten eines Kegelschnitts verhalten sich wie das Quadrat eines Stücks der einen vom Berührungspunkt an gerechnet zu dem Rechteck aus den Abschnitten einer durch den Endpunkt dieses Stücks mit der andern Tangente gezogenen Parallelen.
17. Die Rechtecke aus den Abschnitten zweier sich schneidenden Sehnen oder Sekanten eines Kegelschnitts verhalten sich wie die Quadrate der mit diesen Sehnen parallelen Tangenten.
18. Die Eigenschaft des § 16. für Gegenschnitte.
19. Die Eigenschaft des § 17. für Gegenschnitte in dem Fall, wo jede Sekante den einen Gegenschnitt zweimal schneidet.
20. Das Quadrat einer von zwei sich schneidenden Tangenten an zwei Gegenschnitten verhält sich zum Quadrat einer von ihrem Kreuzungspunkt bis an einen Gegenschnitt gehenden Parallelen mit der Berührungssehne wie das Quadrat eines Stücks der Tangente an diesem Gegenschnitt vom Berührungspunkt an gerechnet zu dem Rechteck aus den Abschnitten einer durch den Endpunkt dieses Stücks gezogenen Parallelen mit der Berührungssehne.
21. Dieselben Quadrate verhalten sich wie die Rechtecke aus den Abschnitten zweier Linien, deren eine der einen Tangente, die andere der Berührungssehne parallel ist.
22. Die Quadrate zweier conjugirten Durchmesser zweier Gegenschnitte verhalten sich wie die Rechtecke aus den Abschnitten zweier damit parallelen Geraden, die die Gegenschnitte treffen.
23. Die Rechtecke aus den Abschnitten zweier Geraden, deren jede zwei Gegenschnitte je in einem Punkt trifft, verhalten sich wie die Quadrate paralleler Tangenten an einem der conjugirten Gegenschnitte.
24. Werden in conjugirten Gegenschnitten mit einem Paar conjugirter Halbmesser CA, CD Parallelen gezogen, deren jede ein Paar Gegenschnitte trifft, so ist das Rechteck aua den Abschnitten der. Parallelen mit CA, vermehrt oder vermindert um das mit CA² ⁄ CD² multiplicirte Rechteck aus den Abschnitten der andern gleich 2 · CA², (§ 24., wenn der Durchschnitt der Parallelen in dem Raum zwischen den Hyperbeln, § 25., wenn er innerhalb der Hyperbel, deren Halbmesser CD ist, § 26., wenn er in der, deren Halbmesser CA ist, liegt.)
25. Werden mit den conjugirten Halbmessern CA, CD einer Ellipse parallele Sehnen GH, IK gezogen, die sich in F kreuzen, so ist FG² +; FH² +; CA² ⁄ CD² · FI² CA² ⁄ CD² · FK² = 4 · CA².
26. Unter denselben Voraussetzungen ist bei den conjugirten Hyperbeln FG² + FH² : FI² + FK² = CA² : CD². § 29. Sind ausser den erwähnten Bezeichnungen noch P und Q die Durchschnittspunkte von IK mit den Asymptoten, so ist FP² + FQ² + 2·CD² : FG² + FH² = CD² : CA².
27. Das Stück einer Parallelen mit einer Asymptote einer Hyperbel von einem beliebigen äusseren Punkt derselben bis zur Berührungssehne der von diesem Punkt ausgehenden Tangenten wird durch die Hyperbel halbirt. (§ 30., wenn der Punkt innerhalb des Asymptotenwinkels, § 31., wenn er in dessen Nebenwinkel liegt.)
28. Das Stück einer Parallelen mit einer Asymptote einer Hyperbel von der Mitte einer Sehne bis zu einer Parallelen mit dieser Sehne, die durch den Kreuzungspunkt der Tangenten in den Endpunkten der Sehne geht, wird durch die Hyperbel halbirt.
29. Derselbe Satz, wenn statt der Sehne eine Gerade genommen wird, die zwei Gegenschnitte je in einem Punkt schneidet.
30. Das Stück einer Parallelen mit einer Asymptote einer Hyperbel von ihrem Durchschnittspunkt mit der andern Asymptote bis zu einer Parallelen mit dieser Asymptote durch den Berührungspunkt der von jenem Durchschnittspunkt ausgehenden Tangente wird von der Hyperbel halbirt.
31. Eine Sehne einer Hyperbel wird durch ihren Durchschnittspunkt mit einer Asymptote und eine Parallele mit derselben, welche durch den Berührungspunkt der von jenem Durchschnitt ausgehenden Tangente gezogen ist, harmonisch getheilt.
32. Derselbe Satz, wenn statt der Sehne einer Hyperbel eine Gerade gegeben ist, die zwei Gegenschnitte je in einem Punkt trifft.
33. Eine vom Ausgangspunkt zweier Tangenten eines Kegelschnitts gezogene Sekante wird durch diesen Punkt und die Berührungssehne harmonisch getheilt.
34. Eine durch die Mitte einer Sehne zweier Gegenschnitte gezogene Sekante wird durch diese Mitte und eine Parallele mit der Sehne durch den Kreuzungspunkt der Tangenten in ihren Endpunkten harmonisch getheilt.
35. Enthält die Eigenschaft des § 37. für den Fall, wo die beiden Tangenten an zwei Gegenschnitten gezogen sind.
36. Enthält die Eigenschaft des § 38. in dem Fall, wo die Sekante zwei Gegenschnitte je in einem Punkt trifft.
37. Drei Tangenten einer Parabel theilen sich so, dass sich aus ihren Stücken drei gleiche Verhältnisse bilden lassen.
38. Das Rechteck aus den Stücken, die auf zwei parallelen Tangenten einer Ellipse oder zweier Gegenschnitte durch eine dritte Tangente abgeschnitten werden, ist gleich dem Quadrat des den Tangenten parallelen Halbmessers.
39. Das Rechteck ans den Abschnitten, die eine Tangente einer Hyperbel auf den Asymptoten bildet, ist constant.
40. Die Berührungssehne zweier Tangenten einer Hyperbel ist parallel den Verbindungslinien ihrer Durchschnittspunkte mit den Asymptoten.
41. Werden die in den Endpunkten der grossen Achse einer Ellipse oder zweier Gegenschnitte gezogenen Tangenten von einer dritten Tangente geschnitten und auf der Achse ein Punkt so bestimmt, dass das Rechteck aus den durch ihn gebildeten Abschnitten gleich dem Quadrat der kleinen Halbachse ist, so bilden die Linien von diesem Punkt nach den Durchschnittspunkten der dritten Tangente mit den beiden ersten einen rechten Winkel. Der Punkt auf der Achse muss innerhalb des Kegelschnitts, also bei Gegenschnitten auf der Verlängerung der Achse sich befinden und heisst Brennpunkt.
42. Die Linien von einem Durchschnittspunkt der dritten Tangente mit einer der beiden ersten nach den beiden Brennpunkten bilden mit den von dem Punkt ausgehenden Tangenten gleiche Winkel.
43. Die Linie vom Berührungspunkt der dritten Tangente nach dem Kreuzungspunkt zweier Linien, die von ihren Durchschnittspunkten mit den beiden ersten Tangenten nach den beiden Brennpunkten gezogen sind, steht senkrecht auf der dritten Tangente.
44. Die Linien vom Berührungspunkt der dritten Tangente nach den beiden Brennpunkten bilden gleiche Winkel mit der Tangente.
45. Fällt man von einem Brennpunkt auf die dritte Tangente ein Loth, so bilden die Linien von seinem Fusspunkt nach den Endpunkten der grossen Achse einen rechten Winkel.
46. Eine vom Mittelpunkt bis an eine Tangente gezogene Parallele mit der Verbindungslinie des Berührungspunktes dieser Tangente mit einem Brennpunkt ist gleich der halben grossen Achse.
47. Der Unterschied zweier von den Brennpunkten an einen Punkt des Umfangs zweier Gegenschnitte gezogenen Linien ist gleich der grossen Achse.
48. Die Summe zweier von den Brennpunkten einer Ellipse nach einem Punkt des Umfangs gezogenen Linien ist gleich der grossen Achse.
49. Das Rechteck ans den Abschnitten, welche die von den Endpunkten eines Durchmessers durch einen Punkt des Umfangs eines Kegelschnitts oder zweier Gegenschnitte auf den Tangenten im Endpunkt des Durchmessers bilden, ist gleich dem Quadrat des den Tangenten parallelen Durchmessers.
50. Ist AB eine Sehne eines Kegelschnitts, D der Kreuzungspunkt der Tangenten in A und B, E ein Punkt des Umfangs, F der Punkt, in dem AE eine durch B mit AD, G der, in dem BE eine durch A mit AD gezogene Parallele trifft, so ist AG · BF ein constantes Rechteck und zwar, wenn H die Mitte von AB, I der Durchschnitt von DH mit dem Kegelschnitt ist: AG · BF : AB² = HI² · AD · BD : DI² · AH².
51. Ist unter denselben Bezeichnungen AB eine zwei Gegenschnitte schneidende Gerade, so ist ebenfalls AG · BF ein constantes Rechteck, und wenn DR eine von D mit AB an einen Gegenschnitt gezogene Parallele ist, AG · BF : AB² = AD · BD : DR².
52. Die Proportion von § 54. findet auch Statt, wenn AB die Sehne einer Hyperbel, E ein Punkt ihres Gegenschnitts und I der Durchschnitt von DH mit diesem Gegenschnitt ist.

Viertes Buch

• §§ 1 - 4. Umkehrungen von III. 37. Wird von einem Punkt an einen Kegelschnitt eine Tangente und eine Sekante gezogen, so trifft die Verbindungslinie des Berührungspunktes der ersteren mit dem in letzterer zu den drei vorhandenen bestimmten vierten harmonischen Punkt den Kegelschnitt zum zweiten Mal in dem Berührungspunkt der andern von dem ersten Punkt ausgehenden Tangente.
• §§ 15 und 16 behandeln dieselbe Eigenschaft für Gegenschnitte, sowohl wenn der angenommene Punkt innerhalb als wenn er ausserhalb des Asymptotenwinkels liegt.
• § 5. Behandelt dieselbe Eigenschaft, wenn der angenommene Punkt auf einer Asymptote liegt, in welchem Fall die erhaltene Verbindungslinie dieser Asymptote parallel ist.
• § 17. behandelt dieselbe Eigenschaft für Gegenschnitte.
• §§ 6 und 7. Gehen von einem Punkt an eine Hyperbel eine Tangente und eine Parallele mit einer Asymptote, welche letztere über ihren Durchschnitt um sich selbst verlängert ist, so trift die Verbindungslinie dieses Endpunkts mit dem Berührungspunkt der Tangente die Hyperbel zum zweiten Mal in dem Berührungspunkt der andern vom erstgenannten Punkt ausgehenden Tangente, liege nun der erste Punkt innerhalb (§ 6.) oder ausserhalb (§ 7.) des Asymptotenwinkels.
• § 8. Liegt der zuerst angenommene Punkt in einer Asymptote, so ist die zuletzt erhaltene Verbindungslinie dieser parallel.
• §§ 9 - 12. Werden von einem Punkt D zwei Sekanten durch einen Kegelschnitt oder Gegenschnitte gezogen, so trifft die Verbindungslinie der in denselben bestimmten vierten harmonischen Punkte den Kegelschnitt in den Berührungspunkten der von D ausgehenden Tangenten. § 9. für Ellipse und Parabel, § 10. für die Hyperbel, wenn D innerhalb des Asymptotenwinkels liegt und die Durchschnitte der einen Sekante auf dem durch die andere begränzten Theil liegen, § 11., wenn Letzteres nicht der Fall ist, § 12, wenn D ausserhalb des Asymptotenwinkels liegt.

13. Dieselbe Eigenschaft, wenn D in einer Asymptote einer Hyperbel liegt, in welchem Fall die erhaltene Verbindungslinie dieser Asymptote parallel ist.
14. Dieselbe Eigenschaft, wenn ausserdem eine Sekante der andern Asymptote parallel und um sich selbst verlängert ist.
15. Die Eigenschaft von § 9., wenn D innerhalb des Asymptotenwinkels liegt und die Sekanten beide Gegenschnitte treffen.
16. Dasselbe, wenn D ausserhalb des Asymptotenwinkels liegt.
17. Die Eigenschaft von § 13., wenn die Sekanten beide Gegenschnitte treffen.
18. Die Eigenschaft von § 14., wenn die noch übrige Sekante beide Gegenschnitte trifft.
19. Die Eigenschaft von § 9., wenn D innerhalb des Asymptotenwinkels liegt, eine Sekante einer Asymptote parallel und um sich selbst verlängert ist.
20. Wenn von einem eben so gelegenen Punkt D Parallelen mit beiden Asymptoten an die Hyperbel gezogen und um sich selbst verlängert werden, so trifft die Verbindungslinie der Endpunkte gleichfalls die Berührungspunkte der von D ausgehenden Tangenten.
21. Zwei Kegelschnitte können nicht mit einem Theil sich decken und in dem andern auseinandergehen.
22. Zwei Kegelschnitte können sich nicht in mehr als vier Punkten schneiden.
23. Zwei Kegelschnitte, die einen Berührungspunkt haben, schneiden sich ausserdem höchstens in zwei Punkten.
24. Zwei Kegelschnitte, die zwei Berührungspunkte haben, schneiden sich ausserdem nicht.
25. Zwei Parabeln können nicht mehr als einen Berührungspunkt mit einander haben.
26. Eine Parabel, die ausserhalb einer Hyperbel liegt, kann diese nicht in zwei Punkten berühren.
27. Eine Parabel kann eine Ellipse oder einen Kreis nicht in zwei Punkten von innen berühren.
28. Zwei Hyperbeln, die denselben Mittelpunkt haben, können sich nicht in zwei Punkten berühren.
29. Die Verbindungslinie zweier Berührungspunkte zweier Ellipsen oder Kreise geht durch den Mittelpunkt.
30. Zwei Kegelschnitte, die sich in zwei Punkten so schneiden, dass die Krümmungen der dadurch begrenzten Segmente auf verschiedenen Seiten der Verbindungslinie der Durchschnittspunkte liegen, haben keinen weiteren Schneidungspunkt.
31. Trifft ein Kegelschnitt einen von zwei Gegenschnitten in zwei Punkten, so dass die Krümmungen der durch die Sehne begrenzten Segmente nach derselben Seite zu liegen, so trifft er in den Verlängerungen über diese Sehne hinaus den andern Gegenschnitt nicht.
32. Trifft ein Kegelschnitt einen von zwei Gegenschnitten, so kann er den andern höchstens in zwei Punkten treffen.
33. Ein Kegelschnitt kann zwei Gegenschnitte höchstens in vier Punkten treffen.
34. Berührt ein Kegelschnitt einen von zwei Gegenschnitten mit seiner hohlen Seite, so trifft er den andern nicht.
35. Berührt ein Kegelschnitt jeden von zwei Gegenschnitten, so trifft er keinen von beiden noch in einem andern Punkt.
36. Schneiden sich zwei Hyperbeln in zwei Punkten, so dass die dadurch begrenzten Segmente auf verschiedenen Seiten der gemeinsamen Sehne liegen, so treffen sich die Gegenschnitte dieser Hyperbeln nicht.
37. Schneidet eine Hyperbel jeden von zwei Gegenschnitten, so trifft ihr Gegenschnitt keinen derselben in mehr als einem Punkt.
38. Schneidet eine Hyperbel jeden von zwei Gegenschnitten zwei Mal, so trifft ihr Gegenschnitt keinen derselben.
39. Schneiden sich zwei Hyperbeln in vier Punkten, so treffen sich ihre Gegenschnitte nicht.
40. Schneidet eine Hyperbel einen von zwei Gegenschnitten in zwei Punkten, so dass die begrenzten Theile, nach derselben Seite zu hohl sind, und ausserdem noch den andern Gegenschnitt, so trifft ihr Gegenschnitt keinen der Schnitte.
41. Schneiden sich zwei Hyperbeln in drei Punkten, so treffen sich ihre Gegenschnitte höchstens in einem Punkt.
42. Berührt eine Hyperbel einen von zwei Gegenschnitten und schneidet sie den andern in zwei Punkten, so trifft ihr Gegenschnitt keinen derselben.
43. Berührt eine Hyperbel eine andere in einem Punkt und schneidet sie ausserdem in zwei Punkten, so treffen sich die Gegenschnitte dieser Hyperbeln nicht.
44. Berührt eine Hyperbel eine andere in einem und schneidet sie ausserdem noch in einem Punkt, so treffen sich die Gegenschnitte höchstens in einem Punkt.
45. Berühren sich zwei Hyperbeln in einem Punkt, so treffen sich ihre Gegenschnitte höchstens in zwei Punkten.
46. Berührt eine Hyperbel jeden von zwei Gegenschnitten in einem Punkt, so trifft ihr Gegenschnitt keinen derselben.
47. Berühren zwei Gegenschnitte zwei andere je in einem Punkt, so treffen sie sich in keinem andern.
48. Berührt eine Hyperbel eine andere in zwei Punkten, so treffen sich ihre Gegenschnitte nicht.
49. Berühren sich zwei Hyperbeln in einem Punkt, so dass sie auf verschiedenen Seiten der Tangente liegen, so treffen sich ihre Gegenschnitte nicht.
50. Ein Paar Gegenschnitte kann von einem andern höchstens in vier Punkten geschnitten werden.
51. Hat ein Paar Gegenschnitte mit einem andern einen Berührungspunkt, so haben sie ausserdem höchstens zwei Schneidungspunkte.
52. Hat ein Paar Gegenschnitte mit einem andern zwei Berührungspunkte, so treffen sie sich ausserdem nicht.

Fünftes Buch.

• §§ 1 - 3. Das Quadrat einer Ordinate an der Achse einer Hyperbel oder Ellipse ist gleich dem doppelten des Vierecks zwischen dieser Ordinate der Achse, der Tangente im Scheitel, die gleich r ⁄ 2 ist, und der von dem Endpunkt der letzteren nach dem Mittelpunkt gezogenen Linie. § 1., wenn die Ordinate und die Tangente auf derselben Seite des Mittelpunkts liegen, § 2., wenn die Ordinate den Mittelpunkt trifft, § 3., wenn Ordinate und Tangente auf verschiedenen Seiten des Mittelpunkts liegen.

4. Von dem Punkt der Achse einer Parabel, der um r ⁄ 2 vom Scheitel absteht, ist die Achse selbst die kürzeste Linie an den Umfang und die Strahlen zu beiden Seiten wachsen, je weiter sie sich von der Achse entfernen. Angabe des Unterschieds der Quadrate dieser Strahlen.
5. Dieselbe Eigenschaft für die Hyperbel.
6. Dieselbe Eigenschaft für die grosse Achse der Ellipse, bei welcher die längste von dem erhaltenen Punkt an den Umfang gebende Linie das andere Stück der grossen Achse ist.
7. Auch für Punkte der Achse, die dem Scheitel näher als r ⁄ 2 liegen, gelten dieselben Behauptungen.
8. Von einem Punkt O der Achse einer Parabel, der um mehr als r ⁄ 2 vom Scheitel absteht, ist der Strahl der kürzeste, dessen Projektion auf die Achse nach dem Scheitel zu liegt und gleich r ⁄ 2 ist. Die Strahlen an beiden Seiten wachsen, je mehr sie sich von dem kürzesten entfernen. Angabe des Unterschieds ihrer Quadrate.
9. Bei der Hyperbel ist unter denselben Annahmen der Strahl der kürzeste, dessen Endpunktsordinate die Strecke zwischen dem Mittelpunkt C und O in dem Verhätniss t : r theilt. Das Uebrige findet wie in § 8. Statt.
10. Für die grosse Achse einer Ellipse finden dieselben Eigenschaften für den Strahl Statt, dessen Endpunktsordinate die verlängerte CO in dem Verhältniss t : r theilt.
11. Unter den vom Mittelpunkt einer Ellipse an den Umfang gehenden Strahlen ist die halbe grosse Achse der längste, die halbe kleine der kürzeste.
12. Unter den von einem Punkt einer nach den vorigen Sätzen bestimmten Minimallinie ausgehenden Strahlen ist das Stück der Minimallinie selbst der kürzeste und an beiden Seiten die entfernteren länger als die näheren.
13. Umkehrung von § 8, nebst der Behauptung, dass jede Minimallinie nach dem Scheitel zu einen spitzen Winkel bildet.
14. Umkehrung zu § 9. nebst der Behauptung, dass die Minimallinie mit der Achse nach dem Scheitel zu einen spitzen Winkel bildet.
15. Umkehrung zu § 10. nebst der Behauptung, dass die Minimallinie bei der Ellipse mit der grossen Achse nach dem Mittelpunkt zu einen stumpfen Winkel bildet.

• §§  16 - 18. Von einem Punkt der kleinen Achse einer Ellipse, der von einem Scheitel um das halbe zugehörige latus rectum entfernt ist, ist die längste Linie an den Umfang dieses Stück der kleinen Achse selbst und die zu beiden Seiten liegenden Strahlen nehmen ab je weiter sich ihre Endpunkte von dem des längsten entfernen; der kürzeste ist also das andere Stück der kleinen Achse. Angabe des Unterschieds der Quadrate der Strahlen, § 16., wenn r₁ ⁄ 2 kleiner, § 17., wenn es gleich, § 18., wenn es grösser als die kleine Achse ist.

19. Von einem Punkt der kleinen Achse, der um mehr als r₁ ⁄ 2 von einem Scheitel nach innen zu entfernt ist, ist das Stück der kleinen Achse gleichfalls die längste Linie an den Umfang.
20. Von einem Punkt O der kleinen Achse, der um weniger als r₁ ⁄ 2, aber mehr als die halbe kleine Achse von einem Scheitel nach innen zu entfernt ist, ist die längste Linie an den Umfang die, deren Endpunktsordinate die verlängerte OC in einem Punkt B so trifft, dass OB : CB = r₁ : t₁ ist.
21. Unter den von einem Punkt auf der Verlängerung einer nach dem vorigen Satze bestimmten Maximallinie ausgehenden Strahlen ist der längste die verlängerte Maximallinie selbst.
22. Umkehrung von § 20. nebst der Behauptung, dass die Maximallinie mit der kleinen Achse nach dem Mittelpunkt zu einen spitzen Winkel bildet.
23. Das Stück einer nach § 20. bestimmten Maximallinie zwischen der grossen Achse und dem Umfang ist eine Minimallinie.
24. Von einem Punkt im Umfang einer Parabel können nicht zwei Minimallinien ausgehen.
25. Von einem Punkt im Umfang einer Hyperbel oder einer Ellipse können nicht zwei Minimallinien ausgehen.
26. Von einem Punkt im Umfang einer Ellipse kann nur eine Maximallinie ausgehen.

• §§  27 - 29. Eine von einem Punkt des Umfangs eines Kegelschnitts ausgehende Minimallinie steht senkrecht auf der Tangente in diesem Punkt; § 27. für die Parabel, § 28. für die Ellipse und Hyperbel. § 29. Enthält noch einen andern Beweis.

30. Eine von einem Punkt des Umfangs einer Ellipse ausgehende Maximallinie steht senkrecht auf der Tangente in diesem Punkt.
31. Ein Loth, das in einem Punkt des Umfangs auf einer von demselben ausgehenden Minimallinie errichtet wird, ist eine Tangente.
32. Ein Loth auf der Tangente in ihrem Berührungspunkt ist eine Minimallinie.
33. Ein Loth, das in einem Punkt des Umfangs eines Kegelschnitts auf einer von demselben ausgehenden Maximallinie errichtet wird, ist eine Tangente.
34. Von einem Punkt, der ausserhalb eines Kegelschnitts auf einer verlängerten Minimal- oder Maximallinie liegt , ist diese Verlängerung selbst der kürzeste Strahl an den Umfang.

• §§ 35 und 36. Jede von einem Punkt der Achse ausgehende Minimallinie macht mit derselben einen grösseren Winkel als die von einem dem Scheitel näher liegenden ausgehende. § 35. für die Parabel, § 36. für Hyperbel und Ellipse.

37. Bei der Hyperbel ist der spitze Winkel zwischen einer Minimallinie und der Achse kleiner als das Complement des halben Asymptotenwinkels.
38. Zwei Minimallinien, die von Punkten des Umfangs auf derselben Seite der Achse ausgehen, schneiden sich jenseit der Achse.
39. wei von Punkten einer durch die kleine Achse gebildeten Ellipsenhälfte ausgehende Maximallinien schneiden sich, ehe sie die kleine Achse erreichen.
40. Zwei in Punkten desselben Quadranten einer Ellipse gezogene Minimallinien schneiden sich in dem Raum des rechten Winkels, der auf der andern Seite der grossen, aber auf derselben Seite der kleinen Achse liegt als jener Quadrsnt.
41. Bei der Parabel treffen die über die Achse hinaus verlängerten Minimallinien den Umfang zum zweiten Mal.

• §§ 42 und 43. Ist bei einer Hyperbel die Hauptachse kürzer als ihr zugehöriges latus rectum, so trifft keine Minimallinie in ihrer Verlängerung über die Achse die Hyperbel zum zweiten Mal; ist aber das Entgegengesetzte der Fall, so lässt sich eine Minimallinie finden, die der Asymptote parallel ist, auf deren einer Seite dann die Minimallinien liegen, welche über die Achse verlängert die Hyperbel treffen.
• §§ 44 und 45. Gehen von einem Punkt O unter der grossen Achse eines Kegelschnitts zwei Minimallinien durch dieselbe an den Umfang (bei der Ellipse durch dieselbe Hälfte derselben), so kann von diesem Punkt durch die Achse überhaupt bei Parabel und Hyperbel, durch dieselbe Hälfte der Achse bei der Ellipse, keine dritte Minimallinie gezogen werden. In Punkten des Umfangs zwischen den ersten beiden Minimallinien liegen die von dort ausgehenden Minimallinien dem zugehörigen Scheitel der grossen Achse näher als die von denselben Punkten nach O gehenden Strahlen, in den übrigen Punkten verhält es sich umgekehrt. § 44. für die Parabel, § 45. für Hyperbel und Ellipse.

46. Von einem Punkt der kleinen Achse einer Ellipse oder ihrer Verlängerung kann durch die eine Hälfte der grossen Achse hindurch an den Umfang höchstens eine Maximallinie gezogen werden und die zwischen dieser und der kleinen Achse befindlichen Strahlen liegen von dem zugehörigen Scheitel der grossen Achse entfernter als die in ihren Endpunkten ausgehenden Minimallinien; für die übrigen aber verhält es sich umgekehrt.
47. Vier an Punkten derselben Hälfte einer Ellipse gezogene Minimallinien treffen sich nicht in einem Punkt.
48. Drei Maximallinien an demselben Quadranten einer Ellipee können nicht in einem Punkt zusammentreffen.

• §§ 49 und 50. Von einem Punkt O, dessen auf die Achse gefällte Ordinate auf dieser vom Scheitel ab nach innen ein kleineres Stück als r ⁄ 2 abschneidet, kann zwischen dieser Ordinate und dem 2 Scheitel keine Minimallinie durch die Achse an den Umfang gezogen werden und die an den Umfang gezogenen Strahlen liegen dem Scheitel näher als die von ihren Endpunkten ausgehenden Minimallinien. § 49. für die Parabel; § 50. für Hyperbel und Ellipse.
• §§ 51 und 52. Für einen Punkt O, dessen auf die Achse gefällte Ordinate OH auf dieser vom Scheitel nach innen zu ein grösseres Stück als r ⁄ 2 abschneidet, lässt sich eine Länge W bestimmen, so dass, wenn OH > W keine Minimallinie, wenn OH = W eine und wenn OH < W zwei Minimallinien durch die grosse Achse und bei der Ellipse durch die von der Ordinate getroffene Hälfte derselben an den Umfang gezogen werden können. Im letzten Fall liegen die zwischen den beiden Minimallinien befindlichen Strahlen vom Scheitel entfernter al die in ihren Endpunkten ausgehenden Minimallinien , in allen übrigen Fällen verhält es sich umgekehrt. § 51. für die Parabel, § 52. für Ellipse und Hyperbel.

53. Von einem Punkt O der verlängerten kleinen Halbechse DC, für welchen OD : CD nicht kleiner als AB : r ist, kann durch die grosse Achse hindurch keine Minimallinie an den Umfang gezogen werden und die von O ausgehenden Strahlen liegen dem zugehörigen Scheitel der grossen Achse näher als die von ihren Endpunkten ausgehenden Minimallinien.
54. Ist unter denselben Voraussetzungen OD : CD kleiner als AB : r, so kann durch jede Hälfte der grossen Achse eine Minimallinie an den Umfang gezogen werden und die zwischen dieser und der kleinen Achse befindlichen Strahlen liegen von dem entsprechenden Scheitel der grossen Achse entfernter als die in ihren Endpunkten ausgehenden Minimallinien, die andern näher.

• §§ 55 - 57. Von einem Punkt unter der einen Hälfte der grossen Achse einer Ellipse kann durch deren andere Hälfte immer eine und nur eine Minimallinie an den Umfang gezogen werden.
• §§ 58 - 61. Von einem Punkt ausserhalb eines Kegelschnitts an denselben eine Minimallinie zu ziehen. § 58. für die Parabel, § 59. für die Ellipse und für die Hyperbel, im Fall die Ordinate des Punktes die der Hyperbel zugewandte Hälfte der grosscn Achse trifft, § 60. für die Hyperbel, im Fall die Ordinate den Mittelpunkt trifft, § 61. für den Fall, in dem sie die der Hyperbel abgewandte Hälfte der grossen Achse trifft.
• §§ 62 und 63. Von einem beliebigen Punkt innerhalb eines Kegelschnitts eine Minimallinie an den Umfang zu ziehen. § 62. für die Parabel, § 63. für Hyperbel und Ellipse.
• §§ 64 - 67. Von einem Punkt unterhalb der Achse eines Kegelschnitts, dessen Verbindungslinie mit dem Scheitel einen spitzen Winkel mit der Achse bildet, und von dem keine oder nur eine Minimallinie durch die Achse an den Umfang gezogen werden kann, ist jene Linie nach dem Scheitel die kürzeste unter allen, die durch die Achse an den Umfang gehen; und die andern wachsen, je weiter sie sich von dieser entfernen. § 64. für die Parabel und den Fall, dass keine Minimallinie möglich ist. § 65 und 66. dasselbe für Hyperbel und Ellipse. § 67. für Parabel und Hyperbel, wenn eine Minimallinie möglich ist.
• §§ 68 - 70. Von zwei Tangenten an einer Parabel, Hyperbel oder einem Quadranten einer Ellipse, die bis an ihren Durchschnitt verlängert sind, ist diejenige kürzer, deren Berührungspunkt dem Scheitel am nächsten liegt. § 68. fär die Parabel, § 69. für die Hyperbel, § 70. für den Quadranten einer Ellipse.

71. Von zwei Tangenten an zwei Quadranten einer Ellipse, die in einem Scheitel der kleinen Achse zusammenstossen, ist diejenige kürzer, deren Berührungspunkt die kürzere Ordinate hat.
72. Unter den Strahlen, die von einem solchen Punkt unter der Achse einer Parabel oder Hyperbel ausgehen, von dem zwei Minimallinien durch die Achse an den Umfang gezogen werden können, ist die dem Scheitel zunächst gelegene Minimallinie die längste; vom Scheitel bis zu diesem Maximum hin wachsen die Strahlen, von da bis zur andern Minimallinie nehmen sie ab und dann wachsen sie wieder ohne Unterbrechung.
73. Geht von einem Punkt unter der grossen Achse einer Ellipse nur eine Minimallinie durch dieselbe an den Umfang, so ist diese das Maximum der an die obere Hälfte der Ellipse gehenden Strahlen.
74. Gehen unter denselben Umständen zwei Minimallinien durch die Achse an den Umfang, so ist diejenige, welche die kleine Achse durchschneidet, das Maximum der Strahlen, von welchem ab nach beiden Seiten hin bis zu den Scheiteln die Strahlen abnehmen.
75. Gehen endlich drei Minimallinien durch die grosse Achse, so sind die beiden äusseren Maxima, die mittlere ein Minimum, und von den beiden ersten diejenige länger, die die kleine Achse durchschneidet.
76. Geht von einem Punkt der kleinen Achse selbst oder ihrer Verlängerung ausser der kleinen Achse selbst keine Minimallinie durch die grosse Achse an den Umfang, so ist das Stück der kleinen Achse selbst das Maximum der Strahlen.
77. Geht aber auf jeder Seite der kleinen Achse eine Minimallinie, so ist das Stück der kleinen Achse ein Minimum und die seitlichen Minimallinien sind Maxima.

Sechstes Buch.

Erklärungen.

1. Zwei Parabeln sind congruent, wenn ihre latera recta gleich sind und umgekehrt.
2. Zwei Hyperbeln oder Ellipsen sind congruent, wenn die zu den Hauptachsen gehörigen Rechtecke congruent sind.
3. Verschiedenartige Kegelschnitte können nicht congruent sein.

• §§ 4 und 5. Jede durch den Mittelpunkt einer Ellipse gebende Linie theilt die Ellipse in zwei congruente Theile.

6. Wenn ein Theil eines Kegelschnitts mit einem Theil eines andern congruent ist, so sind die ganzen Kegelschnitte congruent.
7. Die Abschnitte einer Parabel oder Hyperbel, welche zwischen den Endpunkten derselben verlängerten Ordinaten zu beiden Seiten der Achse liegen, sind congruent.
8. Abschnitte, die entweder zwischen denselben verlängerten Ordinaten zu beiden Seiten der grossen Achse oder zu beiden Seiten der kleinen Achse zwischen solchen Ordinaten liegen, die gleiche Abstände vom Mittelpunkt haben, sind congruent.
9. In congruenten Schnitten decken sich solche Bogen, deren Endpunktsordinaten gleiche Abstände von den Scheiteln der Achsen haben, andere nicht.
10. Wenn Schnitte nicht congruent sind, können auch nicht irgend welche Theile derselben congruent sein.
11. Alle Parabeln sind unter sich ähnlich.
12. Hyperbeln oder Ellipsen sind ähnlich, wenn es die zu den Hauptachsen gehörigen Rechtecke sind und umgekehrt.
13. Hyperbeln oder Ellipsen sind ähnlich, wenn es die zu irgend zwei Durchmessern gehörigen Rechtecke sind und die zugehörigen Ordinaten gleiche Winkel mit ihren Durchmesssern bilden.
14. Eine Parabel kann weder einer Ellipse noch einer Hyperbel ähnlich sein.
15. Eine Hyperbel kann nicht einer Ellipse ähnlich sein.
16. Gegenschnitte sind unter sich ähnlich und gleich.

• §§ 17 und 18. Wenn an ähnlichen Kegelschnitten zwei solche Tangenten gezogen werden, die gleiche Winkel mit den Achsen bilden, und wenn auf den nach den Berührungspunkten gehenden Durchmessern von diesen Punkten nach innen zu Stücke abgeschnitten werden, die sich wie die Tangenten verhalten, so schneiden die durch die Endpunkte dieser Stücke gezogenen Parallelen mit den Tangenten ähnliche Segmente ab. § 17. für die Parabel, § 18. für Hyperbel und Ellipse.
• §§ 19 und 20. Ausser den in den §§ 7 und 8. erwähnten congruenten und also auch ähnlichen Abschnitten einer Parabel, Hyperbel oder Ellipse können nicht zwei Abschnitte eines solchen Kegelschnitts unter sich ähnlich sein.
• §§ 21 und 22. Segmente zweier Parabeln, ähnlicher Hyperbeln oder Ellipsen sind ähnlich, wenn die zu ihren Endpunktsordinaten gehörigen Abscissen sich wie die latera recta der Schnitte verhalten.
• §§ 23 und 24. In unähnlichen Schnitten ist kein Theil des einen ähnlich einem Theil des andern, seien die Schnitte nun gleichartig, § 23., oder ungleichartig, § 24.

25. Kein Theil eines der drei Kegelschnitte ist ein Kreisbogen.

• §§ 26 und 27. Parallele Ebenen geben in demselben Kegel ähnliche, aber nicht congruente Hyperbeln oder Ellipsen.
• §§ 28 - 30. In einem gegebnen geraden Kegel einen Schnitt zu finden, der congruent einem gegebenen Kegelschnitt ist. § 28. für die Parabel, § 29. für die Hyperbel, § 30. für die Ellipse.
• §§ 31 - 33. Einen geraden Kegel zu finden, der ähnlich einem gegebenen ist und einen gegebenen Kegelschnitt enthält. § 31. für die Parabel, § 32. für die Hyperbel, wobei die Beschränkung eintritt, dass das Quadrat der Achse des Kegels zum Quadrat des Halbmessers der Grundfläche kein grösseres Verhältniss haben darf als das latus transversum zum latus rectum, § 33. fär die Ellipse.

Acht Lemmata des Abdolmelek von Schiras zum siebenten Buch.

Siebentes Buch.

1. Das Quadrat einer vom Scheitel einer Parabel an den Umfang gezogenen Linie ist gleich dem Rechteck aus der Projection derselben auf die Achse und der Summe aus dieser Projection und dem latus rectum.
2. Theilt man das latus transversum AB einer Hyperbel durch einen Punkt D, so dass AD : BD = r : AB ist, und zieht von A eine Linie AE an den Umfang der Hyperbel, deren Endpunktsordinate EF ist, so ist AE² : FA · FD = AB : BD.
3. Dasselbe gilt für die Ellipse, wenn D auf der verlägerten Achse AB liegt.
4. Bei Hyperbel oder Ellipse verhält sich das Quadrat des Stücks einer Tangente zwischen dem Berührungspunkt und der grossen Achse zu dem Quadrat des damit parallelen Halbmessers wie das Stück der Achse zwischen Tangente und Ordinate des Berührungspunkts zu dem zwischen dieser Ordinate und dem Mittelpunkt.
5. Das latus rectum irgend eines Durchmessers einer Parabel ist gleich dem der Hauptachse, vermehrt um das vierfache Stück dieser letzteren zwischen ihrem Scheitel und der Ordinate vom Scheitel des Durchmessers.
6. Theilt man das latus transversum AB einer Hyperbel durch zwei Punkte D und E, so dass AD : BD = AE : BE = r : AB, zieht von A eine Linie AK an den Umfang und die Ordinate KL, so verhält sich das Quadrat des mit AK parallelen Durchmessers FG zum Quadrat des ihm conjugirten HI wie LE : LD.
7. Dasselbe gilt für die Ellipse, wenn D und E auf den Verlängerungen von AB über A und B hinaus liegen.
8. Unter denselben Voraussetzungen ist
   • AB² : (FG + HI)² = BD · LE : (LE + √[LD ·LE])².
9. Desgleichen
   • AB² : (FG - HI)² = BD · LE : (LE - √[LD ·LE])².
10. Desgleichen
    • AB² : FG · HI = BD : √[LD · LE].
11. Desgleichen
    • AB² : FG² + HI² = BD : LD + LE.
12. Bei der Ellipse ist die Summe der Quadrate zweier conjugirter Durchmesser gleich der Summe der Quadrate der Achsen.
13. Bei der Hyperbel ist der Unterschied der Quadrate conjugirter Durchmesser gleich dem Unterschied der Quadrate der Achsen.
14. Bei der Ellipse ist unter Beibehaltung obiger Bezeichnung:
    • AB² : FG² - HI² = BD : 2 · CL.
15. Ist ρ das zu FG gehörige latus rectum, so ist bei Hyperbel und Ellipse:
    • AB² : ρ²  = BD · LE : LD².
16. Desgleichen
    • AB² : (FG - ρ)² = BD · LE : (LE - LD)².
17. Desgleichen
    • AB² : (FG + ρ)² = BD · LE : (LE + LD)².
18. Desgleichen
    • AB² : FG · ρ = BD : LD.
19. Desgleichen
    • AB² : FG² + ρ = BD · LE : LD² + LE².
20. Desgleichen
    • AB² : FG² - ρ = BD · LE : LD² - LE².

• §§21 - 23. Ist bei einer Hyperbel die Querachse grösser als die conjugirte zweite Achse, so ist auch jeder Querdurchmesser grösser als sein conjugirter, das Verhåltniss des ersten zum zweiten Durchmesser ist für die Achse am grössten und f6#252;r entferntere Durchmesser kleiner als für nähere; ist aber die Querachse kleiner als ihre conjugirte, so findet gerade das Umgekehrte Statt, und sind die Achsen einer Hyperbel gleich, so ist auch jeder Durchmesser gleich seinem conjugirten.

24. Bei der Ellipse ist das Verhältniss eines Durchmessers zu seinem conjugirten für die grosse Achse am grössten und für entferntere Durchmesser kleiner als für nähere.

• §§25 - 28. Summe und Produkt zweier conjugirten Durchmesser sind bei Ellipse und Hyperbel für die Achsen ein Minimum und wachsen, je mehr sich die Durchmesser von den Achsen entfernen, der Unterschied dagegen ist für die Achsen ein Maximum und fällt, je mehr sich die Durchmesser von den Achsen entfernen.

• §§29 und 30. Der Unterschied der Quadrate zweier conjugirten Durchmesser ist bei der Hyperbel, die Summe derselben bei der Ellipse eine constante Grösse.

31. Der Inhalt eines einer Ellipse oder conjugirten Gegenschnitten umschriebenen Parallelogramms ist eine constante Grösse.
32. Bei der Parabel ist das latus rectum für die Hauptachse ein Minimum und wächst für die übrigen Durchmesser, je weiter sie sich von der Achse entfernen.

• §§ 33 und 34. Dasselbe findet für die Hyperbel Statt, wenn die Hauptachse nicht kleiner als das zugehörige latus rectum oder doch nicht kleiner als dessen Hälfte ist.

35. Wenn aber die Hauptachse kleiner als das halbe zugehörige latus rectum ist, so lässt sich auf jeder Seite derselben ein Durchmesser bestimmen, dessen latus rectum ein Minimum ist, und dann ist das zur Achse gehörige ein Maximum.
36. Der Unterschied zwischen einem Durchmesser und seinem zugehörigen latus rectum ist bei der Hyperbel für die Hauptachse ein Maximum und nimmt nach beiden Seiten zu ab.
37. Bei der Ellipse ist dieser Unterschied für jede der beiden Achsen ein Maximum und zwar für die kleinere Achse das grässere, für die gleichen conjugirten Durchmesser ist er Null.

• §§ 38 -40. Die Summe der Seiten des zu einem Durchmesser gehörigen Rechtecks ist bei der Hyperbel sowohl dann, wenn die Hauptachse AB grösser als ihr zugehöriges latus rectum r ist, als wenn AB wenigstens nicht kleiner als ½ · r ist, für die Hauptachse ein Minimum, wenn aber AB > ½ · r ist, so giebt es jederseits einen Durchmesser, für welchen diese Grösse ein Minimum ist, und für die Achse ist sie dann ein Maximum.

41. Bei der Ellipse ist diese Summe für die grosse Achse ein Minimum und für die kleine Achse ein Maximum.

• §§ 42 und 43. Das zu einem Durchmesser gehörige Rechteck ist bei Hyperbel und Ellipse für die Hauptachse ein Minimum und bei der Ellipse für die kleine Achse ein Maximum.
• §§ 44 - 46. Die Summe der Quadrate der Seiten des zu einem Durchmesser gehörigen Rechtecks ist bei der Hyperbel für die Hauptachse ein Minimum, wenn entweder dieselbe nicht kleiner als ihr zugehöriges latus rectum oder doch ihr Quadrat nicht kleiner als die Hälfte des Quadrats des Unterschieds zwischen ihr und ihrem latus rectum ist; wenn aber letzteres der Fall ist, so lässt sich auf jeder Seite der grossen Achse ein Durchmesser bestimmen, für den diese Grösse ein Minimum ist, für die Achse ist diese Grösse dann ein Maximum.
• §§ 47 und 48. Bei der Ellipse ist diese Grösse für die grosse Achse ein Minimum, so lange
  • AB² ≤ ½ · (AB + r)²,
  wenn aber
  • AB² > ½ · (AB + r)²,
  so lässt sich auf jeder Seite der grossen Achse ein Durchmesser bestimmen, für den diese Grösse ein Minimum ist, für jede der beiden Achsen ist dann diese Grösse ein Maximum.
• §§ 49 und 50. Der Unterschied der Quadrate der Seiten des zu einem Durchmesser gehörigen Rechtecks ist bei der Hyperbel, wenn AB > r ist, für die Hauptachse ein Minimum, doch steigt diese Grösse überhaupt nicht über das Doppelte dieses Minimums, wenn aber AB < r ist, so ist diese Grösse für die Achse ein Maximum, bleibt jedoch immer grösser als das Doppelte des Unterschieds zwischen dem zur Achse gehörigen Rechteck und dem Quadrat der Achse.

51. Bei der Ellipse ist dieselbe Grösse für jede der beiden Achsen ein Maximum und für die gleichen conjugirten Durchmesser gleich Null.

Achtes Buch.

Wiederhergestellt von Halley.

1. Wenn ein Durchmesser, sein Scheitel und sein zugehöriges latus rectum für eine Parabel und der Scheitel eines beliebigen andern Durchmessers gegeben sind, das zu letzterem gehörige latus rectum zu finden.
2. Wenn ein Durchmesser, sein Scheitel und sein zugehöriges latus rectum für eine Parabel und eine beliebige Länge p gegeben sind, den Durchmesser zu finden, dessen latus rectum gleich p ist.
3. Wenn ein Durchmesser und sein zugehöriges latus rectum für eine Hyperbel so wie ein beliebiger anderer Durchmesser gegeben sind, das letzterem zugehörige latus rectum zu finden.
4. Dieselbe Aufgabe als § 3. für die Ellipse.
5. Aus den gegebenen Seiten des zur Achse einer Hyperbel gehörigen Rechtecks und einer gegebenen Länge den Durchmesser, der diese Länge hat, so wie Grösse und Lage des zugehörigen conjugirten Durchmessers und des zugehörigen latus rectum zu finden.
6. Dieselbe Aufgabe als § 5. irir die Ellipse.
   Anm. Da bei allen folgenden Aufgaben die Achse und ihr zugehöriges latus rectom als gegeben angenommen werden, so sagen wir statt dessen kurz "aus AB, r" etc.
7. Aus AB, r und einem Verhältniss p : q diejenigen conjugirten Durchmesser einer Hyperbel zu finden, deren Verhältniss gleich p : q ist.
8. Dieselbe Aufgabe als § 7. für die Ellipse.
9. Aus AB, r und einer Länge p diejenigen conjugirten Durchmesser einer Hyperbel zu finden, deren Summe gleich p ist.
10. Dieselbe Aufgabe als § 9. für die Ellipse.
11. Aus AB, r und einer Länge p diejenigen conjugirten Durchmesser zu finden, deren Unterschied gleich p ist.
12. Dieselbe Aufgabe als § 11. für die Ellipse.
13. Aus AB, r und einer Fläche p² diejenigen conjugirten Durchmesser einer Hyperbel zu finden, deren Produkt gleich p² ist.
14. Dieselbe Aufgabe als § 13. für die Ellipse.
15. Aus AB, r, p² die conjugirten Durchmesser einer Hyperbel zu finden, deren Summe der Quadrate gleich p² ist.
16. Dieselbe Aufgabe als § 15. für die Ellipse, wenn statt der Summe der Quadrate der Unterschied der Quadrate zweier conjugirten Durchmesser gegeben ist.
17. Aus AB, r und einem Winkel α diejenigen conjugirten Durchmesser einer Hyperbel zu finden, die den Winkel α mit einander bilden.
18. Dieselbe Aufgabe als § 17. für die Ellipse.
19. Aus AB, r, p denjenigen Durchmesser einer Hyperbel zu finden, dessen latus rectum gleich p ist.
20. Dieselbe Aufgabe als § 19. für die Ellipse.
21. Aus AB, r und einem Verhältniss p : q den Durchmesser einer Hyperbel zu finden, der sich zu seinem latus rectum wie p : q verhält.
22. Dieselbe Aufgabe als § 2 L für die Ellipse.
23. Aus AB, r, p den Durchmesser einer Hyperbel zu finden, der sich von seinem latus rectum um die Länge p unterscheidet.
24. Dieselbe Aufgabe als § 23. für die Ellipse.
25. Aus AB , r, p den Durchmesser einer Hyperbel zu finden, der mit seinem latus rectum die Summe p giebt.
26. Dieselbe Aufgabe als § 25 . für die Ellipse.
27. Aus AB, r, p² den Durchmesser einer Hyperbel zu finden, dessen zugehöriges Rechteck gleich p² ist.
28. Dieselbe Aufgabe als § 27. für die Ellipse.

• §§ 29 und 30. Aus AB, r, p² den Durchmesser einer Hyperbel zu finden, dessen Quadrat mit dem seines latus rectum die Summe p² hat, erstens, im Fall AB > r (§ 29.), zweitens, wenn AB < r (§ 30.).

31. Dieselbe Aufgabe als § 29. für die Ellipse.
32. Aus AB, r, p² denjenigen Durchmesser einer Hyperbel zu finden, dessen Quadrat sich von dem seines latus rectum um p² unterscheidet.
33. Dieselbe Aufgabe als § 32. für die Ellipse.