C. F. Gauss und die mittlere Anomalie Keplers

Seit ich meine Herleitung der Kepler-Gleichung im Jahre 2003 veröffentlicht habe, wurde ich immer wieder darauf hingewiesen, dass ich den falschen Winkel als mittlere Anomalie M bezeichne. Alle anderen Quellen würden den Winkel am Mittelpunkt der Ellipse so benennen. Skizze Jedoch:

  1. der Fahrstrahl Keplers 2. Gesetz geht von der Sonne aus, und die steht in einem Brennpunkt der Umlaufellipse (1. Gesetz)!
  2. muss also die Kepler-Gleichung eine Beziehung auf einen Winkel am Brennpunkt enthalten.
Ich habe bereits früh vermutet, dass die übliche Zu­ord­nung des Winkels "mittlere Anomalie M" auf einem Mißverständnis von C. F. Gauss′s Ableitung beruht.

Sie findet sich in der Übersetzung von Gauss′s Werk Theoria Motus Corporum Coelestium, und wird wohl seit 1865 so abgeschrieben. Es ist mir nun gelungen, die Stelle im Ersten Buch, Ersten Abschnitt, Kapitel 6 zu identifizieren.

Der fragliche Satz im lateinischen Original lautet:

Hoc modo expressa quantitas

  • Formel

anomalia media vocatur, quae igitur in ratione temporis crescit, et quidem quotidie augmento

  • Formel,

quod motus medius diurnus dicitur. Anomaliam mediam per M denotabimus.

In der Übersetzung von Carl Hase liest sich das:

Auf diese Weise ansgedrückt heisst die Grösse

  • Formel

die mittlere Anomalie, die daher im Verhältnis der Zeit wächst und zwar täglich um das Augment

  • Formel,

welches man die mittlere tägliche Bewegung (motus medius diurnus) nennt. Die mittlere Anomalie bezeichnen wir durch M.

Um den Fehler zu finden, wird der lateinische Text analysiert. Dazu habe ich die lateinischen Worte des Gauss′schen Original mit ihrer Grundform und der grammatikalischen Form in der Tabelle zu­sam­men­ge­fasst.

Originaltext
Terminus gramtikal. Form Übersetzung

hoc hic, haec, hoc (Nomin. od. Akk. od. Abl. Sing. neutr.; Abl. Sing. mask.) dieser, diese, dieses
modo modus, i (m. Dat. od. Abl. Sing.) Art und Weise
hoc modo   auf diese Weise
expressa exprimo, essi, essum (Partizip Perf. Passiv adj: Nomin. od. Abl. Sing. Fem. od. Nomin. od. Akk. Plural neutr.) ausgedrückt
quantitas quantitas, atis (f Nomin. Sing.) Größe, Menge
anomalia anomalia, ae (f Nomin. od. Abl. Sing.) Anomalie
media medius, a, um (Nomin. od. Abl. Sing. Fem. od. Nomin. od. Akk. Plural neutr.) mitllerer, mittlere, mittleres
vocatur voco, avi, atus (1 3. Person Sing. Indikat. Präs. Passiv) er, sie, es wird genannt, berufen
quae qui, quae, quod (Nomin. Sing. od. Plural fem. od. Nomin. od. Akk. neutr.) die
igitur igitur (Konjunkt.) deswegen, demnach
in in (Präpos. mit Abl. o. Akk.) in, auf
ratione ratio, onis (f Abl. Sing.) Verhältnis
temporis tempus, oris (n Genet. Sing.) Zeit
crescit cresco, crevi, cretum (3. Person Sing. Indikat. Präs.) er, sie, es wächst an
et et (Konjunkt.) und
quidem quidem (Adv.) zwar (bei Erklärung), nämlich, gewiß, aber, jedoch
quotidie quotidie (Adv.) täglich, alltäglich
augmento augmentum, i (Dat. od. Abl. Sing.) Zuwachs
quod quis, quae, quod, quid (Nomin. od. Akk. Sing. neutr.) welches
motus motus, us (m Nomin. od. Genet. Sing.) Bewegung
medius medius, a, um (Nomin. od. Akk. Sing. mask.) mittlerer, mittelre, mittleres
diurnus diurnus, a, um (Nomin. od. Akk. Sing. mask.) täglich, an einem Tage
dicitur dico, dixi, dictus (3 3. Person Sing. Indikat. Präs. Passiv) es wird gesagt, gezeigt
anomaliam anomalia, ae (f Akk. Sing.) Anomalie
mediam medius, a, um (Akk. Sing. fem.) mittlerer, mittlere, mittleres
per per (Präpos. m. Akk.) durch, bei
denotabimus denoto, avi, atus (1 3. Person Plural Indikat. Futur) wir werden bezeichnen

Im Hauptsatz (dem ersten Satzteil bis zum Komma) ist "quantitas" das Subjekt (steht zusammen mit seinem Adjektiv "expressa" im Nominativ!): sie wird "vocatur". Typisch würde man nun das Objekt des Satzes im Akkusativ erwarten: ein Substantiv im Akkusativ gibt es aber in ganzen Satz nicht. Aber:

Bei den Verbis, die benennen, als etwas haben, für etwas halten, zu etwas machen oder erwählen, sich als etwas zeigen ausdrücken, stehen im Activo zwei Accusative, des Objects und des Prädikats, und im Passivo zwei Nominative, des Subjects und des Prädikats, ohne daß das Deutsche zu, für, als ausgedrückt wird. Dergleichen Verba find: dicere, vocare, appellare, nominare, nuncupare, auch scribere und inscribere; ducere, habere, judicare, existimare, numerare, putare, (arbitrari) auch intelligere, agnoscere, reperire und invenire; facere (Pass. fieri), reddere, instituere, constituere, creare, deligere, designare, declarare, renunciare u. a.; sepraebere, sepraestare.

Der Satz lautet also in deutscher Sprache:

Die auf diese Weise

  • Formel,

ausgedrückte Größe wird mittlere Anomalie genannt, die im Verhältnis der Zeit zunimmt, und zwar um den täglichen Zuwachs

  • Formel,

das mittlere tägliche Bewegung genannt wird. Die mittlere Anomalie werden wir mit M bezeichnen.

Die Übersetzung ist also korrekt. Aber was meint Gauss?

Gauss stellte im Kapitel 6 seines Werkes die Differentialgleichung für die Bewegung eines Planeten um die Sonne auf, unter der Prämisse, das "die Flächenräume um die den einen Brennpunkt der Ellipse einnehmende Sonne gleichförmig sei … (s. Vorrede).

  • Formel

die Integration dieser Formel ergibt:

  1. Formel

Er fährt fort:

[Wenn man die beiden Seiten der vorstehenden Gleichung i)] auf dieselbe Art ausdrückt, läßt sich dieser Winkel in Graden beibehalten …

Beide Seiten der Gleichung i) bezeichnen also Winkel, deren rechte Seite bezeichnet er als mittlere Anomalie M. Eingestzt ergibt sich:

  • E - e · sin E = M

Das ist die von mir abgeleitete Kepler-Gleichung! Gauss hatte es schon richtig dargestellt, er wurde nur von irgendeinem späteren Autoren nicht richtig gelesen, und der Fehler dann immer wieder abgeschrieben.

Auch das Vorgehen zum Finden des Planetenortes auf seiner Bahn erläutert Gauss wie ich es vorführe:

Die Gleichung XII, E = M + e sin E, die transcendent ist und eine directe Auflösung nicht zulässt, wird durch Versuche aufgelöst, indem man mit einem genäherten Werthe von E beginnt, der durch geeignete, so oft wiederholte Methoden corrigirt wird, bis er jener Gleichung genau Genüge thut, d. h. entweder mit aller der Genauigkeit, welche die Sinustafeln zulassen, oder doch mit der, welche dem vorgesteckten Ziele entspricht.

  • Quellen
    1. Carolo Friderico Gauss: Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicis Solem Ambientum. Hamburg 1809.
    2. Carl Friedrich Gauss: Theorie der Bewegung der Himmelkörper, welche in Kegelschnitten die Sonne umlaufen. Ins deutsche übertragen von Carl Haase. Hannover 1865.
    3. Immanuel Johannes Gerhard Schellers ausführliches und möglichst vollständiges lateinisch-deutsches Lexicon oder Wörterbuch in fünf Bänden, Leipzig 1804.
    4. Carl Gottlob Zumpt: Lateinische Grammatik, Berlin 1844.

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