KoordinatensystemeSo wie die ebene Trigonometrie als Grundlage der terrestrischen Küsten-Navigation eine Bedeutung hat, so wird die sphärische Trigonometrie auf der Erdkugel angewandt werden — und in der Astronavigation. Es ist angezeigt, zunächst die verschiedenen verwendeten Koordinatensysteme zu betrachten. Im Prinzip werden zwei Systeme in der Navigation verwendet. Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem und das Polarkoordinatensystem. Beide kann man in der Ebene und im Raum definieren. Koordinatensysteme besitzen eine oder mehr Achsen mit einer Einteilung und einem Nullpunkt. Ein Beispiel für ein eindimensionales Koordinatensysten ist der Zahlenstrahl mit linearer oder logarithmischer Einteilung. Ebene (kartesische) KoordinatensystemeDas ebene rechtwinklige KoordinatensystemDas zweidimensionale (ebene) kartesische (rechtwinklige) Koordinatensystem hat zwei Achsen (x- und y-Achse), die aufeinander senkrecht stehen. Die horizontale x-Achse nennt man Abszisse, die darauf senkrecht stehende y-Achse Ordinate. Die Einteilung der Achsen ist linear. In diesem Koordinatensystem weist man Punkten in der Ebene zwei Zahlen zu, die den Abschnitten auf den Achsen entsprechen. Eine Gerade hat im kartesischen Koordinatensystem die Formel y = m · x + c, wobei die Steigung
m = (y2 - y1) ⁄ (x2 - x1) = tan α. Die Konstante c in der Formel ist der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse. Ein Kreis um den Koordinatenursprung hat die Formel y2 = r2 - x2
(r ist der Radius), ein Kreis um den Mittelpunkt M mit den Koordinaten M{a,b} hat die Formel: Das PolarkoordinatensystemIm Zusammenhang mit den Winkelfunktionen wurde bereits das zweidimensionale Polarkoordinatensystem mit dem Einheitskreis verwendet. Hier werden Punkte durch einen Winkel zur x-Achse und der Entfernung vom Ursprung 0 angegeben. Die Entfernung entspricht dem Radius des Kreises um 0, der Winkel wird im mathematisch positiven Sinn, d.h. entgegen dem Uhrzeiger, gezählt. Koordinatentransformation in der EbeneDiese beiden Koordinatensysteme kann man in einander umrechnen. Für die Polarkoordinaten des roten kartesischen Punkt C muss man die Entfernung rC zum Ursprung und den Winkel φC bestimmen. Den Abstandberechnet man nach dem Satz des Pythagoras:
der Tangens des spitzen Winkels γ bei C ist
(arctan ist die Umkehrfunktion des Tangens.) Für die kartesischen Koordinaten des grünen Punktes B muss man die Achsenabschnitte auf der x- und y-Achse berechnen. Dies ist mit der Definition der Winkelfunktionen leicht möglich. Räumliche KoordinatensystemeDas räumliche rechtwinklige KoordinatensystemBeim Übergang von der Ebene in den Raum muss eine dritte Dimension definiert werden. Die zusätzliche Achse steht senkrecht auf der x-y-Ebene und heißt z-Achse oder Applikate. Das KugelkoordinatensystemAnalog zum Polarkoordinatensystem wird die Lage eines Punktes im Raum durch die Entfernung r vom Kugelmittelpunkt und zwei Winkel φ und λ bezeichnet. Navigatoren wird dieses Bild bekannt vorkommen. Aber im Kugelkoordinatensystem werden die Winkel jeweils von 0° bis 360° im Gegenuhrzeigersinn gezählt. Koordinatentransformation im RaumDie Koordinatentransformation vom räumlichen rechtwinkligen Koordinatensystem zum Kugelkoordinatensystem und zurück erfolgt wie bei den Koordinatensystemen in der Ebene durch Formelsätze. Kugel- nach rechtwinkligen Koordinaten:
Rechtwinklige nach Kugelkoordinaten: |
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