Erläuterungen zu:
Mirifici Logarithmorum Canonis Construtio?

John Napier beginnt das Kapitel mit der Definition der arithmetischen (1, 2, 3, 4, …) und der geo­me­tri­schen (1, 2, 4, 6, …) Reihe der Zahlen. Da Napier offensichtlich das Werk Arithmetica integra (Nürnberg, 1544) von Michael Stifel (1487-1567) kannte, ist dieses Beispiel nicht ohne Grund gewählt. Stifel hatte zwei Reihen gegen­über­gestellt, die er arithmetisch (Arithmetica Progressione) bzw. geometrisch (Progressione Geometrica) nennt:

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
1 ⁄ 8 1 ⁄ 4 1 ⁄ 2 1 2 4 8 16 32 64

und festgestellt: 1 ⁄ 8 · 64 = 8. Ebenso ist -3 + 6 = 3, und die 3 in der oberen Reihe entspricht der 8 in der unteren. Interpretiert man die obere Reihe als Exponenten x der Zahl 2, so sind die Zahlen der unteren Reihe die Werte von 2x. Negative Exponenten x werden als Bruch definiert: 2-x = 1 ⁄ 2x, und jede Zahl z mit dem Exponenten Null ist 1: z0 = 1. (Stifel war Protestant und Protege Luthers; er durfte auch 0 und negative Zahlen verwenden.)

Napier begründet die Genauigkeit der Rechnungen mit der Anzahl der Stellen in den Zahlen und führt die Dezimalschreibweise der Brüche ein. (Absätze 1 bis 6.) Zu der Zeit ließ die römische Kirche nur Zahlen größer 1 zu (als Schotte war Napier wohl katholisch), die Null als Anfang der (positiven) Zahlen war nicht anerkannt. Deshalb rechnet er mit vielstelligen großen Zahlen (10'000'000 statt 100'000). Die Dezi­mal­zahlen waren erst wenige Jahre vor der Erstveröffentlichung (1614) der "Mirifici" populär geworden: durch das Buch "De Thiende" von Simon Stevin aus dem Jahr 1585. Es half also, das Prinzip nochmals zu erläutern.

Dann wendet er sich der Rechnung mit Näherungen von unscharfen Werten zu. Als Beispiel führt er den Umfang des Kreises an, der mit der Näherung des Archimedes für die Zahl π nicht exakt, sondern nur mit einer oberen und einer unteren Grenze angegeben werden kann. Das gleich gilt für dei Diagonale eines Quadrats.

Im Abschnitt 7 berechnet Napier den Umfang U = d ·π eines Kreises mit dem Durchmesser d = 497 und bezieht sich auf die Näherung des Archimedes für die Zahl π. Der hatte den Kreisumfang durch je ein ein- und ein umschriebenes Polygon angenähert, und gibt als Grenzen für π 3 + 10 ⁄ 71 < π < 3 + 1 ⁄ 7 an. Nach Archimedes liegt π also zwischen 3,1408 < π < 3,1428 (der heute übliche Wert ist π = 3,1416, der Mittelwert der Grenzen πM = 3,1418). Der vorgegebene Kreis hat also einen Umfang mit den Grenzen Umin = 497 · 3,1408 = 1561 und Umax = 497 · 3,1428 = 1562.

Als zweites Beispiel gibt Napier die Berechnung der Quadratwurzel von 2 (√2). Auch diese Zahl ist mit den damaligen Rechenmethoden nur in Grenzen anzugeben. Er verwendet eine Quadratzahlentabelle (wie die Summerer schon) und interpoliert.

Ausschnitt aus einer Quadratzahlentabelle
n n2 Diff 2 - n2 n n2 Diff

1000 1000000          
1010 1020100          
1020 1040400          
1030 1060900          
1040 1081600          
         
1412 1993744     14140 199939600  
1413 1996569     14141 199967881  
1414 1999396 2829 604 14142 199996164 2828
1415 2002225 14143 200024449
1416 2005056     14144 200052736  
1417 2007889     14145 200081025  
 
1480 2190400          
1490 2220100          
1500 2250000          

Die erste Spalte enthält die arithmetische Reihe der ganzen vierstelligen Zahlen n, die zweite die geometrische Reihe der Quadratzahlen n2. Zum Wurzelziehen sucht man in der Spalte n2 die Zahlen, die dem Radikanden (hier die 2) am nächsten kommen. Der Wert von √2 liegt also zwischen 1414 und 1415. Nun interpoliert man linear: die beiden Quadratwerte (der eine größer als 20000000, der andere kleiner) haben die Differenz 2829, der obere Wert ist um 604 kleiner als 20000000. Die nächste Stelle des Wurzel­wertes ist also 604 ⁄ 2829 = 2. Nun berechnet man die Quadrate von 14142 und 14143. Deren Differenz ist nun 2828. Also wird die Wurzel von 2 zwischen 1414 + 604 ⁄ 2829 = 1414,2135 und 1414 + 604 ⁄ 2828 = 1414,2136 liegen (Mittelwert 1414,21354, mit dem Taschenrechner: √2 = 1,41421356).

Wer noch gezwungen war, mit Logarithmentafeln zu rechnen, wird sich an diese Interpolation zur Verbesserung der Genauigkeit wehmütig (?) erinnen.

Napier stellt nun die Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten x, y, die nur innerhalb von Schranken s1, 2, 3, 4 angegeben werden können, auf.

  • Addition: s1 < x < s2 +  s3 < y < s4 = s1 + s3  < x + y < s2 + s4
  • Subtraktion: s1 < x < s2 -  s3 < y < s4 = s4 - s1  < x - y < s3 + s2
  • Multiplikation: s1 < x < s2 ·  s3 < y < s4 = s1 · s3  < x  y < s2 · s4
  • Division: s1 < x < s2 :  s3 < y < s4 = s4 : s1  < x : y < s3 : s2

Er erläutert das Aufstellen arithmetischer (einfach: Addition oder Subtraktion) und geometrischer Folgen (schwieriger: Multiplikation, Division oder Wurzelziehen), und stellt fest, nur solche geometrischen Folgen sind leicht aufzustellen, die durch Subtraktion eines einfach zu bildenden Bruchteils (½, 1 ⁄ 200) von einer ganzen Zahl gebildet werden können.

Er erstellt drei Tabellen mit Werten geometrischer Reihen auf,die durch Subtraktion eines Bruchteils erzeugt werden können. Dazu wählt er einen Zahlenstrahl der Länge 10.000.000 (107) als Radius des Kreises, mit dem er die Sinuswerte und ihre Logarithmen bestimmen will.

In der ersten Tabelle mit 101 Zeilen zieht er von 10.000.000 die Zahl 1 ab, verschiebt das Ergebnis um 7 Stellen nach rechts und zieht das wieder ab. Diese Vorgehen führt er weiter, bis 9.999.900, also bis etwa 100 vom Ausgangswert abgezogen sind. Die Tabelle enthält so 101 Zeilen, wobei die Differenz zweier aufeinanderfolgender Werte von 1,0 bis 0,9999901 abnimmt. Die zweite Tabelle mit 51 Zeilen beginnt er mit dem Abziehen von 100 von 107 und verfährt mit dem Ergebnis wie vorher bis das Ergebnis nahe 9.995.000 ist (genau: 9.995.001,222927). (Mit MS-Excel ist der letzte Wert 9.995.001,2248041. Napier hat in dieser Tabelle einen bekannten Fehler gemacht.) Die Differenz zweier aufeinander folgender Werte sinkt von 100 bis 99,9510118.

Nun beginnt er die dritte Tabelle (69 Spalten je 21 Zeilen) mit dem Abziehen von 5.000, die als End­er­geb­nis 9.900.473,57808 hat. Die erste Zeile der ersten Spalte beginnt wieder mit 10.000.000,000000, zieht 100 ab, schiebt 5 Stellen nach rechts und bildet die Differenz. Der erste Wert der zweiten Spalte entsteht durch Abziehen von 100.000 vom Werte der ersten. Die folgenden durch Verschieben und Abziehen. So nimmt der Unterschied der ersten Werte in den Spalten von rechts nach links von 100.000 ab auf 50.998,5746, der der letzen Zeile von 99.054,2629 auf 50.516,2622. Innerhalb der einzelnen Spalten än­dern sich die Unterschiede aufeinanderfolgender Werte von 5.000 für das erste Zahlenpaar bis 2.501,8059. (Auch hier gibt es Differenzen der neu berechneten Werte von den Angaben Napiers. So ist die letzte Zahl der 69. Spalte bei Napier 4.998.609,4034.). Zu diesen drei geometrischen Wertetabellen von Zahlen oder Sinusfunktionswerten will er nun die Logarithmen der Werte berechnen.

Die Konstruktion der Logarithmen von Sinuswerten

Nachdem John Napier das Handwerkszeug erklärt hat, stellt er Überlegungen zur den Grenzwerten der Logarithmen an. Er benutzt die Analogie verschiedener "Geschwindigkeiten" auf den beiden Zahlenstrahlen: auf dem arithmetischen Strahl ist die Geschwindigleit konstant, auf dem geometrischen verändert sie sich mit der "Entfernung" vom Endpunkt.
Die Bewegung auf dem arithmetische geteilten Zahlenstrahl erfolgt in gleichen Schritten in gleichen Zeitintervallen:

  • Skizze
Auf der geometrisch geteilten Skala dagegen bewegt sich der Punkt G zwischen T und S in gleichen Zeitintervallen mit abnehmenden Schrittweiten:
  • Skizze

Wenn TS dem Radius entspricht, dann bewegt sich der Punkt G innerhalb einer gegebenen Zeit eine Strecke von T nach 1, wobei z. B. T1 = TS ⁄ 10. Im gleichen Zeitraum bewege sich G von 1 nach 2 eine Strecke, wobei wieder 12 = S1 ⁄ 10, und von 2 nach 3 mit 23 = S2 ⁄ 10, und so weiter. Dann nehmen TS, 1S, 2S, etc. in einer geometrischen Folge ab, weil sie in gleichen Zeitintervallen ungleich lange Strecken zurücklegen, die untereinander im gleichen Verhältnis stehen. Während sich G auf den Endpunkt S zubewegt ist seine Geschwindigkeit proportional zum verbleibenden Abstand zu S. Die Geschwindigkeiten zwischen den Punkten stehen offensichtlich im gleichen Verhältnis wie die Abstände der Punkte. Napier interpretiert die verschieden langen Strecken als Sinus. Der Logarithmus eines solchen Sinuswertes ist dann gleich der Strecke, die ein Punkt in arithmetischer Folge mit der gleichen Geschwindigkeit zurückgelegt hat.

  • Skizze

Sei TS der Radius ist und dS der gegebene Sinus, und g auf dem geometrisch eingeteilten Strahl innerhalb einer gewissen Zeit von T nach d verschoben wird. Sei gleichfalls bi ein arithmetisch geteilter Strahl (i ist unbegrenzt) und wird a mit der gleichen Geschwindigkeit wir g am Ort T hatte von b Richtung i bis c. Dann ist bc der Logarithmus des Sinus dS.

  • Skizze

Napier wendet sich nun der Betrachtung der Schranken des Logarithmuswertes zu. Wenn der bewegliche Punkt g am Ursprung des Radius steht, ist der Logarithmus des zugeörigen Sinus Null. darus folgt: der Logarithmus eines gegebenen Sinus ist größer als die Differenz von Radius und dem Sinus, und kleiner als die Differenz zwischen Radius und dem Wert, um den diese Differenz das Verhältnis von Radius zu dem gegebenen Sinus öbersteigt. Dies sind die obere und die untere Grenze des Wertes des Logarithmus.

Damit hat Napier zwei Postulate zur Berechnung der Logarithmen:

  1. der Wert des Logarithmus von x muss zwischen (107 -x) · 107 ⁄ x als oberer Schranke und 107 -x als unterer Schranke liegen.
  2. die Differenz zweier aufeinanderfolgender Logarithmenwerte NapLog x und NapLog y ist proportional der Differenz von x und y: (y - x) ⁄ x > NapLog x - NapLog y > (y - x) ⁄ y, für y >x.

Es ergibt sich außerdem, dass man für drei Sinusse in geometrischer Proportion das Produkt der Schranken der beiden äßeren Sinusse gleich dem Quadrat der Schranken des mittleren ist, und deshalb die Schranken des mittleren Logarithmus der doppelte Mittelwert der Schranken der anliegenden ist. Bei vier geometrisch proportionalen Werten ist das Produkt der Mittelwerte der außen liegenden. Für den Logarithmus gilt die Summe der Extreme ist gleich der Summe der Mittelwerte; so brechnet man leicht aus drei Logarithmen den vierten.

Auch die Differenz der Logarithmen zweier Sinusse liegt zwischen zwei Schranken: die obere verhält sich wie der Radius zur Differenz der Sinusse zum kleineren Sinus, die untere wie der Radius zur Differenz der Sinusse zum größeren Sinus. Die Logarithmen der Sinusse, die nicht proportional der Werte in der ersten Tabelle sind, findet er durch Interpolation der Schranken. Das gleiche Vorgehen ergibt die Lo­ga­rith­men der Sinuswerte in der zweiten Tabelle, und in der ersten Spalte der dritten Tabelle und in allen fol­gen­den Spalten. (Die dritte Tabelle endet mit dem Sinuswert 4998609,4019, also etwa ½ · r; das ent­spricht einem Winkel α = 30°, da sin α = 0,5.) Er erhält so aus der dritten Tabelle eine "Radikaltabelle" mit geo­met­rischer Folge der Sinuswerte (oder "natürlichen Zahlen") und in arithmetischer Folge die der zugehörigen Logarithmen (oder "künstlichen Zahlen").

Radicalis Tabulæ
Columna prima. Columna secunda.


Naturales. Artificiales. Naturales. Artificiales.
10000000.0000 0 9900000.0000 10503.3
9995000.0000 5001.2 9895050.0000 105504.6
9990002.5000 10002.5 9890102.4750 110505.8
9985007.4987 15003.7 9885157.4237 115507.1
9980014.9950 20005.0 9880114.8451 120508.3
& c. usque ad usque ad usque ad usque ad
9900473.5780 100025.0 9801468.8423 200528.2
 
& cætera usque ad   Columna 69.
 
  Naturales. Artificiales.
  5048858.8900 6834225.8
  5046333.4605 6839227.1
  5043811.2932 6844228.3
  5041289.3879 6849229.6
  5038768.7435 6854230.8
  & tandem usque ad
  4998609.4034 6934250.8

Mit dieser Radikaltabelle kann man nun die Logarithmen aller Werte bestimmen, die innerhalb des ge­wähl­ten Radius liegen. Um z. B. den Logarithmus des Sinus a = 9.996.700 zu bestimmen, bildet man die Dif­fe­renz zum Radius r - a = 10.000.000 - 9,996.700 = 3.300. Der NapLog a liegt zwischen 3.300 und 3.301. Dasselbe gilt für alle größeren Sinuswerte.

Da das Verhältnis jedes Sinusses zu seinem halben Wert ist gleich dem Verhältnis des Radius zu 5.000.000 ist, so verhält sich auch der Unterschied der Logarithmen jedes Sinus und dem halben Sinus wie die Logarithmen des Radius zum dem von 5.000.000, wobei — aus der Radikaltabelle — NapLog 5.000.000 = 6.931.469,22. Daraus folgt, dass dieser Wert auch die Differenz aller Logarithmen von Sinuswerten mit dem Verhältnis 2 : 1 ist. Außerdem ist der doppelte Wert 13.862.938.44 die Differenz aller Logarithmen von Sinuswerten, die im Verhältnis 4 : 1 stehen, und das dreifache 20.794.407,66 die Differenz, wenn die Sinuswerte das Verhältnis 8 : 1 haben. Napier stellt nun eine "Kurze Tabelle" der Differenzen der Logarithmen auf, deren Sinuswerte im Verhältnis stehen:

Kurze Tabelle
Verhältnis der Sinuswerte Differenz der Logarithmen Verhältnis der Sinuswerte Differenz der Logarithmen




2 : 1 6.931.469,22 8.000 : 1 89.871.934,68
4 : 1 13.862.938.44 10.000 : 1 92.103.369,36
8 : 1 20.794.407,66 20.000 : 1 99.034.838,58
10 : 1 23.025.842,34 40.000 : 1 105.966.307,80
20 : 1 29.957.311,56 80.000 : 1 112.897.777,02
40 : 1 36.888.780,78 100.000 : 1 115.129.211,70
80 : 1 43.820.250,00 200.000 : 1 122.060.680,92
100 : 1 46.051.684,68 400.000 : 1 128.992.150,14
200 : 1 52.983.153,90 800.000 : 1 135.923.619,36
400 : 1 59.914.623,12 1.000.000 : 1 138.155.054,04
800 : 1 66.846.092,34 2.000.000 : 1 145.086.523,26
1.000 : 1 69.077.527,02 4.000.000 : 1 152.017.992,48
2.000 : 1 76.008.996,24 8.000.000 : 1 158.949.641,70
4.000 : 1 82.940.465,46 10.000.000 : 1 161.180.896,38

Mit Hilfe dieser "Kurzen Tabelle" (tabella subsequenta in Par. 53) kann man die Logarithmen von Sinuswerten berechnen, die außerhalb des Radius der Dritten Tabelle liegen. Man multipliziert einen Sinus aus der Dritten Tabelle mit einem der Faktoren aus der Kurzen Tabelle und addiert den zugeörigen Logarithmuswert zum Ausgangswert.

Skizze Nun wendet sich Napier der Zuordnung von Winkeln im Grad­maß zu den Sinuswerten und deren Logarithmen zu. Dazu be­trach­tet er die trigonometrischen Zusammenhänge: Es sei AB der Radius und AC der Durchmesser. Der Kreisbogen AE wird in D halbiert. Der Winkel ∠EBH sei der Komplementärwinkel zu ∠DBE und die Hälfte des Bogens EC. Von E wird das Lot mit dem Fußpunkt I auf AC gefällt. Nun ist EI der Sinus des Bogens ADE. Die Sehne AE wird in F halbiert, und FE ist der Sinus des Bogens DE. Der Punkt G halbiert CE, und EG ist der Sinus des Bogens des Komplements des Bogens DE. Halbiert K den Ra­dius AB, dann verhält sich AK zu EF wie EG zu EI. Die Hypotenuse AC des Dreiecks CEA verhält sich zu AE, wie EC zu EI, weil die beiden Dreiecke AIE und IEC ähnlich sind. Und da AC sich zu AE verhält wie EC zu EI, folgt AB verhält sich zu AE wie EG zu EI. Daraus folgt AK verhält sich zu FC wie EG zu EI. (Diese Verhältnisse ergeben sich aus dem Sehnensatz.)

Skizze Wählt man nun den Winkel ∠AEB = 45°, so sind EF = EG = sin 45°. Es ist AK : EF = EG : EI, mit EI = AB der Radius. Da die Verhältnisse sonst identisch dem vorstehenden Beispiel sind, folgt: der Logarithmus von 45° ist gleich dem Logarithmus des halben Radius.
Und mit der vorstehenden Abbildung wurde gezeigt, dass die Summe der Logarithmen des halben Radius und der Hälfte eines beliebigen Kreisbogens ist gleich der Summe der Logarithmen des halben Bogens und seines Komplements. Wenn man also drei der Größen bestimmen kann, findet man den Logarithmus des halben Bogens.

Kennt man die Logarithmen aller Bögen größer 45°, kann man alle kleineren nach dem vorgesagten bis 22° 30′ berechnen, und von dort aus schrittweise alle bis zu 1′. So kann eine Tabelle aller Winkel mit einer Auflösung von 1′ und ihrer Logarithmen erstellt werden.

Die Sinustabellen sind damit obsolet, ebenso die Prosthaphaerese. Man geht von einer geo­me­tri­schen Folge von Zahlen aus, die recht einfach erzeugt werden kann und weist den Werten Winkel mit bis dahin unerreichter Genauigkeit zu. Was für eine Leistung und welche Erleichterung für Rechnungen in der sphärischen Trigonometrie!

Nur durch Überlegungen auf der Basis der Euklidschen Geometrie hat John Napier die Logarithmen der Winkelfunktionswerte zur Basis 1 ⁄ e (e ist die Eulersche Zahl e = 2,71828182845904…) gefunden. Auch Jost Bürgi erstellte seine Logarithmentafeln auf der Basis trigonometrischer Argumentationen. Der Ansatz Henry Briggs unterscheidet sich von Napiers durch die Wahl von 1010 als Radius r und die De­fi­ni­tion, dass log (r ⁄ 10) = 1010; bei Napier gilt NapLog (r ⁄ 10) = 23.025.842.


Quellen

  1. Michael Stifel: Arithmetica integra, Nürnberg, 1544.
  2. Johann Neper: Logarithmorum Canonis Descriptio, seu Arithmeticarum Sipputationum Mirabilsi Abbreviatio. Lugdunum, 1620.
  3. Edward Wright (Übers.): A Description of the admirable Table of Logarithms. London, 1618.
  4. William Rae Macdonald (Übers.): The Construction of the wonderful Canon of Logarithms by John Napier. Edinburgh and London, 1889.
  5. E. W. Hobson: John Napier and the Invention of Logarithms, 1614. Cambridge, 1914.
  6. Cargill Gilston Knott (Herausg.): Napier Tercentenial Memorial Volume. Royal Society of Edinburgh. London, 1915.
  7. George A. Gibson: Napier′s Logarithms and the Change to Brigg′s Logarithms. In [5].
  8. Klaus Kühn (Herausg.): Collectanea de Logarithmis. (CD-ROM) 2014.
  9. Heinz Lutstorf, Max Walter: Jost Bürgi′s «Progress Tabulen» (Logarithmen). Schriftenreihe der ETH-Bibliothek Nr. 28. Zürich, 1992.

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