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zuletzt geändert am 22.10.2019
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Das schiefwinklige DreieckWer mit den Sätzen im rechtwinkligen Dreieck vertraut ist, wird hier die gewisse Verständlichkeit vermissen. Die Sätze im schiefwinkligen (allgemeinen) Dreieck sind formale Ableitungen, wobei virtuos mit den Additionstheoremen der Winkelfunktionen umgegangen wird. Die meisten hier vorgestellten Ableitungen stammen aus dem 17. Jahrhundert, und die Gleichungen sind für die Berechnung mit Logarithmentafeln optimiert — das kommt dem Rechenschieberrechner sehr gelegen! Die hier angeführte Form des Tangenssatzes wird auch "Napiersche Gleichung" genannt; sie ist speziell auf die Berechnung mit Logarithmen konzipiert. Ein spitzwinkliges Dreieck kann man durch Fällen des Lotes von einer Ecke auf die gegenüberliegende Seite c in zwei rechtwinklige teilen. Dieses Lot heißt Höhe hc des Dreiecks. Mit der Definition der Winkelfunktionen kann man die drei Höhen ha, b, c als Funktion einer Seite und eines Winkels beschreiben.
Der SinussatzDie Höhe hc gehört ja zu zwei Dreiecken mit den Winkeln α und β:
Dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch sin α · sin β, so erhalten wir nach Kürzen:
Die gleiche Überlegung für die anderen beiden Höhen führt zum Sinussatz: Die Seiten eines schiefwinkligen Dreiecks verhalten sich wie die Sinuswerte der den Seiten gegenüberliegenden Winkel. Durch Umformen erhält man die drei Formeln: Das Verhältnis zweier Dreiecksseiten ist gleich dem Verhältnis der Sinusfunktionen der gegenüberliegenden Winkel. Eine der beiden Formen des Sinussatz sollte man sich für die weiteren Seiten merken. Für den Navigator (vorallem den, mit dem Rechenschieber) ist die erste Formel wichtig. Eine andere Möglichkeit, den Sinussatz herzuleiten ist der Sehnensatz. Die wird verwendet bei der Schiffsortberechnung aus der Kreuzpeilung und mit der Horizontalwinkelpeilung. Der CosinussatzDie Höhe hc teilt die Seite c des Dreiecks in eine Strecke p und eine Strecke q, wobei p die Projektion der Seite b auf die Seite c ist. Für p gilt daher:
In den beiden, durch die Höhe hc gebildeten rechtwinkligen Dreiecken gilt daher:
Mit der gleichen Überlegung für die anderen Höhen erhält man die Gleichungen:
Das Quadrat einer Dreiecksseite ist gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten, vermindert um das doppelte Produkt aus diesen Seiten und dem Cosinus des Zwischenwinkels. Da die Formeln für die Berechnung mit Logarithmen unhandlich sind, kann man sie umformen:
Der TangenssatzDer Tangenssatz leitet sich mit ein paar trickreichen arithmetischen Umformungen aus dem Sinussatz ab. Man addiert bzw. subtrahiert auf beiden Seiten der Gleichung eine 1 und formt um: Der Tangenssatz setzt die Tangensfunktionen der halben Winkelsumme bzw. -differenz ins Verhältnis zu der Summe bzw. Differenz der jeweils gegenüberliegenden Seiten. Da der dritte Winkel, γ, die Summe α + β zu 180° ergänzt, kann man schreiben:
Der CotangenssatzDa die Formeln des Cosinussatzes nicht gut für die Rechnung geeignet sind, werden die Gleichungen — wie beim Tangenssatz — umgeformt. Die drei Gleichungen
Zunächst ergänzt man die rechte Seite der ersten Gleichung mit 0 = 2 · b · c - 2 · b · c und stellt die Glieder um:
Nun erkennt man, dass (b - c)2 = b2 + c2 - 2 · b · c und dass Aus den Formeln der Funktionen halber Winkel weiß man, dass 1 + cos α = 2 · cos2(α ⁄ 2). Das substituiert man in der vorstehenden Formel. Andererseits kann man die ergänzte Formel auch so zusammenfassen, dass sich ergibt: Die beiden Formeln werden nach cos2(α ⁄ 2) bzw. sin2(α ⁄ 2) aufgelöst und jeweils die Wurzel gezogen Zur Vereinfachung der Formeln setzte man willkürlich s = a + b + c: Der Halbwinkelsatz
Nach dem gleichen Formalismus, mit dem wir den Cotangenssatz hergeleitet haben, kann man auch auf den Tangens der halben Winkelargumente kommen. Man dividiert andersherum (sin α ⁄ cos α = tan α) und erhält: Sätze über Winkel und Seiten im DreieckDiese sechs Sätze über Winkel im Dreieck werden uns auch ständig bei der Analyse der Navigationsaufgaben begleiten. Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt 180°.
Ein Außenwinkel des Dreiecks ist gleich der Summe der nicht anliegenden Innenwinkel.
Der Höhensatz im allgemeinen Dreieck (Projektionssatz)In einem beliebigen Dreieck sind die Rechtecke, die aus einer Seite und der orthogonalen Projektion der anderen gebildet werden, flächengleich.
Den Höhensatz kann man im allgemeinen, schiefwinkligen Dreieck formulieren. Er ist die Verallgemeinerung des Satzes des Euklids für das rechtwinklige Dreieck. (Systematisch passt er daher zu den hier aufgeführten Sätzen.) Eine andere Formulierung:
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