Definition

Winkel

Das typische Lehrbuch der Geometrie beginnt mit der Erklärung der Begriffe Punkt, Gerade, Strahl und Strecke, und der Definition ihrer Eigenschaften. Das schenke ich mir hier. Das folgende Kapitel des Lehrbuchs beschäftigt sich dann mit dem Winkel.

Skizze0

Zwei von einem Punkt ausgehende Strah­len bilden einen Winkel. Die beiden Strah­len werden Schenkel genannt, der gemeinsame Punkt A der beiden Strahlen heißt Scheitel des Winkels. Winkel werden mit kleinen grie­chi­schen Buch­sta­ben symbolisiert, oder man bezeichnet einen Winkel mit drei Buch­sta­ben ∠BAC, wobei der mittlere Buch­stabe den Scheitel des Winkels angibt. Winkel werden in (Bogen-)Grad (Symbol: °) gemessen, wobei der Vollkreis in 360° geteilt ist.

Nach der Anzahl Grad, die der Winkel einschließt, unterscheidet man:

Skizze1
spitzer Winkel, α < 90°
Skizze2
rechter Winkel, α = 90°
Skizze3
stumpfer Winkel, α > 90°
Skizze4
gestreckter Winkel, α = 180°
Skizze5
überstumpfer Winkel, α gt; 180°
Skizze6
Vollwinkel, α = 360°

Supplementwinkel, Nebenwinkel, Scheitelwinkel

Skizze7

Zwei Winkel, die den Scheitel und einen Schenkel gemeinsam haben und deren Summe 180° beträgt, heißen Supplementwinkel (Er­gän­zungs­winkel). Es gilt: α + β = 180°

Skizze8

Zwei Winkel, die den Scheitel und einen Schenkel gemeinsam haben und deren Summe 90° beträgt, heißen Nebenwinkel oder komplementäre Winkel. Es gilt: α + β = 90°

Skizze9

Durch die Verlängerung beider Schenkel eines Winkels über den Scheitel hinaus entstehen vier Winkel. Die beiden Verlängerungen schließen den Scheitelwinkel von α ein. Gegenüberliegende Scheitelwinkel sind gleich. Es gilt: α + β = 180°


Winkel an Parallelen

Skizze10

Zwei Geraden in einer Ebene, die sich nicht schneiden, heißen Parallelen. Werden zwei Parallelen von einer dritten Geraden geschnitten, so sind:

Dieses Gesetz nutzte Eratosthenes (um 273-um 194 v. Chr.) um den Erddurchmesser zu bestimmen.


Winkel, deren Schenkel aufeinander senkrecht stehen

Skizze11

Stehen die Schenkel zweier Winkel paarweise senkrecht aufeinander, so:

  1. sind die Winkel α und φ gleich, wenn die Scheitel außerhalb der Winkelräume des jeweils anderen Winkels liegen.
Skizze
  1. ist die Summe der Winkel α und φ gleich 180°, wenn die Scheitel der Winkel innerhalb des Winkelraumes des jeweils anderen Winkels liegen.

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© Dr. Rainer Stumpe, URL: https://www.rainerstumpe.de