Die Länge des Fahrstrahls als Funktion von E

Zur Berechnung des Abstand r des Punktes P vom Brennpunkt B wendet man den Satz der Pythagoras an:

  • r2 = BL + LP2

die beiden Katheten BL und LP werden durch Winkelfunktionen der exzentrischen Anomalie E ausgedrückt

  • BL = BZ + ZL = e + a · cos E
  • LP = (b ⁄ a) · a · sin E = b · sin  E

einsetzen ergibt:

  • r2 = (e + a · cos E)2 + (b · sin E)2

ausmultiplizieren der Klammerausdrücke ergibt:

  • r2 = [e2 + 2 · e · a · cos E + a2 · cos2 E] + [b2 · sin2 E]

für b2 wird eingesetzt:

  • b2 = a2 - e2, wegen e2 = a2 - b2

man erhält:

  • r2 = 
    • = [e2 + 2 · e · a · cos E + a2 · cos2 E] + (a2 - e2) · sin2E = 
    • = e2 + 2 · e · a · cos E + a2 · cos2 E +a2 · sin2 E - e2 · sin2E

mit:

  • sin2 E + cos2 E = 1
  • und daraus:
  • cos E = √(1 - sin2 E)

erhält man:

  • r2 =
    • = e2 + e2 · sin2 E  + 2 · e · a · cos E + a2 =
    • = e2 · (1 + sin2 E) +2 · e · a · cos E a2 =
    • = e2 · cos2 E + 2 · e · a · cos E a2 =
    • = (a + e · cos E)2
    • ⇒ r = a + e · cos E