Die Länge des Fahrstrahls als Funktion von E
Zur Berechnung des Abstand r des Punktes P vom Brennpunkt B wendet man den Satz der Pythagoras an:
die beiden Katheten BL und LP werden durch Winkelfunktionen der exzentrischen Anomalie E ausgedrückt
- BL = BZ + ZL = e + a · cos E
- LP = (b ⁄ a) · a · sin E = b · sin E
einsetzen ergibt:
- r2 = (e + a · cos E)2 + (b · sin E)2
ausmultiplizieren der Klammerausdrücke ergibt:
- r2 = [e2 + 2 · e · a · cos E + a2 · cos2 E] + [b2 · sin2 E]
für b2 wird eingesetzt:
- b2 = a2 - e2, wegen e2 = a2 + b2
man erhält:
-
= [e2 + 2 · e · a · cos E + a2 · cos2 E] + (a2 - e2) · sin2E =
- = e2 + 2 · e · a · cos E + a2 · cos2 E +a2 · sin2 E - e2 · sin2E
mit:
- sin2 E + cos2 E = 1
- und daraus:
- cos2 E = (1 - sin2 E)
erhält man:
- r2 =
-
- = e2 + e2 · sin2 E + 2 · e · a · cos E + a2 =
- = e2 · (1 + sin2 E) +2 · e · a · cos E + a2 =
- = e2 · cos2 E + 2 · e · a · cos E + a2 =
- = (e · cos E + a)2
- ⇒ r = a + e · cos E
- Zur Erinnerung: (x + y)2 = x2 + 2 · ·x · y + y2
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