Das Weltbild des Navigators

Seit Johannes Kepler ist es allgemein anerkannt, dass sich die Erde auf einer elliptischen Umlaufbahn um die Sonne bewegt. Die Bahnen der Erde und die der anderen Planeten liegen etwa in einer Ebene: der Ekliptik. Nun basieren die Astronomie und die Astronavigation auf den astronomischen Lehren der Su­me­rer, Perser und Araber; sie entwickelte sich über Jahrtausende! Vermutlich wußten die Astronomen schon vor der Zeitenwende, dass die Erde als Kugel sich um die Sonne bewegt. Aber der Rechenaufwand ist geringer, wenn man ein geozentrisches Modell aufstellt. Außerdem beobachtet man ja auch die Welt um sich herum. Ein Modell mit dem Beobachter als Mittelpunkt des Weltalls ist somit "intuitiv".

Das einfachste Modell der Welt, in dem der Navigator rechnet, hat eine punktförmige Erde im Zentrum und eine unendlich große kugelförmige Schale, auf die die Fixsterne projiziert sind. Das etwas kom­pli­zier­tere Modell hat eine relativ zur Himmelsschale kleine Erde, und die von den Fixsternen aus­gehen­den Strah­len schneiden sich im Mittelpunkt der Erde. Mit diesem Modell fuhren die großen Entdecker nach Kolumbus und eigentlich alle Seefahrer bis zum Aufkommen von Computern und GPS. In diesem Modell sind die Rechnungen erträgleich aufwändig und die Genauigkeit bei Segler­ge­schwin­dig­keiten aus­reichend.

In diesem Modell kann man nur mit Hilfe der Fixsterne navigieren. Sobald man die Sonne — der Abstand ist gleich dem "Radius" der Erdbahn, den Planeten oder gar dem Mond navigieren will, muss man ein etwas komlizierteres Modell anwenden. Verstehen kann man die Grundlagen der Astronavigation am einfachsten in dem einfachsten Modell, in dem man die Komponenten der Berechnungen auch ohne allzu großen Fehler erklären kann.

Um zu verstehen, wieso man drei (oder eigentlich vier) Koordinatensysteme braucht, sehen wir uns einmal die Situation der Erde im heliozentrischen Weltbild an. Diese drei Koordinatensysteme bzw. ihre Koordinatentransformationen, sind auch der Grund für die umständlich erscheinenden Berechnungen: man braucht halt die sphärische Trigonometrie.

Das Bild zeigt eine Sicht von "oben" auf die Bahn der Erde um die Sonne im Zentrum (eigentlich: in einem Brenn­punkt der Ellipse). Die Erde bewegt sich im Ge­gen­uhr­zei­ger­sinn auf der Bahn und dreht sich um sich selbst ebenfalls im Ge­gen­uhr­zei­ger­sinn (auf den Nordpol ge­se­hen).

In der Abbildung erkennt man: die Erdachse zeigt während des Umlaufes um die Sonne immer in die gleiche Richtung (Kreiseleffekt.

Da die Erdachse gegenüber der Bahnebene um 23,45° geneigt ist, aber immer in die gleiche Richtung zum Himmelsnordpol zeigt, werden Regionen der Erde zu unterschiedlichen Umlaufzeiten verschieden lang beleuchtet. Am deutlichsten erkennt man das am Nordpol: im Bild sind die Gegenden weiß gefärbt, an denen die Sonne nicht untergeht, und sie sind dunkelblau, wenn die Sonne dort nicht aufgeht. Dieses "Kreiselverhalten" der Erde (die Rotationsachse zeigt immer in die gleiche Richtung) ist auch der Grund für die ausgeprägten Jah­res­zeiten in unseren mittleren Breiten.

Außen an der Erdbahn sind die Sternzeichen mit ihren alten Symbolen eingezeichnet. Wenn z.B. die Erde am 21. September von der Sonne aus im Sternbild Widder ♈ steht, dann sieht es von der Erde aus gesehen so aus, als ginge die Sonne in einer Himmelsregion auf, in der das Sternbild Waage ♎ gefunden wird. Da am 21.09. der Tage im Herbst ist, an dem Tag und Nacht gleich lang sind (je 12 h), nennt man diesen Tag auch "Herbstäquinoktie", oder Waagepunkt. Analog steht die Sonne an der anderen Äqui­nok­tie im Frühling (31.03.) im Sternbild Widder ♈ (Widder- oder Frühlingspunkt).

Die Erdbahn definiert eine Ebene: die "Ekliptik", in deren Zentrum die Sonne steht (im einfachen, ku­gel­för­mi­gen Modell). Die andere Ebene, die in dem einfachen Modell eine unveränderliche Lage hat, ist die Ebene des Erdäquators. Sie fällt im geozentrischen Modell mit der Ebene des Himmelsäquators zu­sam­men: man muss also ihre Verschiebung je nach Stellung der Erde auf ihrer Bahn nicht berücksichtigen. Das ist der Grund für die Verwendung des geozentrischen Weltbildes in der Navigation!

Treten wir einen Schritt zurück und betrachten wir das Weltmodell des Navigators.

In der Abbildung links ist die Himmelsschale aufgeschnitten, und man sieht die Erde mit ihrer Achse im Zentrum. Die graue Scheibe ist die Äquatorebene der Erde. Das Gradnetz der Himmelsschale und der Erde stimmen überein: der Äquator der Erde ist auch der Äquator der Himmelsschale, und die Erdachse, die die Pole verbindet und die auf dem Äquator senkrecht steht, trift verlängert auch die Himmelsschale in den Polen.

Außerdem ist auf der Himmelsschale die Ekliptik als graue gestrichelte Linie eingezeichnet. Sie schneidet die Äquatorebene in der Äquinoktial-Linie. Die Punkte, in denen die Äquinoktiallinie die Himmelsschale durchstößt sind die Punkte der Tag- und Nachtgleiche (im Bild liegt der Frühlingspunkt vorn, der Herbstpunkt auf der Rückseite).

Wir erkennen in der Abbildung schon die Grundlage zweier Koordinatensysteme: das "irdische", nach dem wir unsere Position auf der Erde festlegen (Äquatorialsystem) und ein "himmlisches" in dem wir die Position der Fixsterne relativ zum Himmels-Äquator angeben (Rek­tas­zen­sionssystem). Die Rolle des Be­zugs­punktes auf dem Äquator der Erde übernimmt der Süd­meri­dians, über dem jeder Stern kulminiert, und auf dem Himmelsäquator der Frühlingspunkt.

Wozu braucht man diese beiden Koordinatensysteme, wenn sie doch weitgehend übereinstimmen? Das liegt an der "natürlichen" Zeitdefinition aus der Beobachtung periodischer Vorgänge (Zeitunterschied zwi­schen zwei Sonnenkulminationen ist der Tag, der zwischen zwei Frühlings-Tag-und -Nacht-Gleichen ein Jahr). Man stellte wohl recht bald fest, dass ein unabhängige (z.B. mit einer Pendeluhr) gemessener Tag im Juli etwas weniger als 24h hat, einer im Dezember etwas mehr. Das liegt an der eliptischen Erdbahn und wird vom 2. Keplerschen Gesetz erklärt. Die Erde in der Nähe des sonnennahen Brennpunktes ihrer Bahn eine größere Strecke zurück als am sonnenfernen. Konsequenterweise muss sie sich im Juli etwas weniger weit zwischen zwei Sonnenkulminationen drehen als im Dezember. Dem wird z.B. in der "Zeit­gleichung" Rechnung getragen.

Bei einem sehr weit entfernten Stern spielt die veränderlichen Bahngeschwindigkeit der Erde keine (bedeutende) Rolle. Definiert man den Tag als Zeit zwischen zwei Kulminationen eines Fixsterns, so ist er (in erster Näherung) während des ganzen Jahres konstant lang — aber die so definierte Sternenzeit-Minute unterscheidet sich von der mittleren Sonnenzeit-Minute. Die "Zeit" ist also das Problem. Als die Navigation erfunden wurde, musste man die Sonnenzeit (d.h. die auf der Erde gültige Zeit) von der Sternenzeit der Sternentafeln unterscheiden; die Sonnenzeit wurde obendrein mit der Zeitgleichung korrigiert. Ob das auch noch gilt, seit unsere Quarzarmbanduhr die Universal Time Coordinated UTC zeigt, werden wir sehen. Glücklicherweise stimmen beide Koordinatensysteme im Pol und der Bezugsebene (Äquator) überein; damit wird eine Koordinatenumwandlung zu einer Additions- oder Subtraktionsaufgabe der Abschnitte Stun­den­win­kel und Rek­tas­zen­sion auf den beiden Bezugsebenen.

Zur genaueren Astronavigation (wenn man richtig präzise Sternenhöhen messen kann, was aber auf Sportbooten eher nicht vorkommt) werden in den Sternentafeln saisonale Werte für α und δ angegeben. Außerdem wird eine Korrektur für die Nutation, die Präzession und den Einfluss der anderen Planeten in diese Tafeln eingearbeitet. In der Beispieltafel sind sehr präzise Werte angegeben, aber die sind gemittelt über eine Periode von 100 Jahren. Die Tabelle ist für Hobbyastronomen gedacht, die ihre Fernrohre auf eine Stern richten wollen und ihre geographische Position genau kennen. Der Einfluß von Nutation und Präzession ist so gering, dass er dort nicht ins Gewicht fällt.

Aber der Hinweis auf die Größe der Erdbahn läßt schon vermuten, die Navigation nach der Sonne oder den Planeten geht anders.

Die Bahn der Fixsterne

Der Beobachter auf der Erde sieht nachts die Sterne (die keine Planeten sind) im Osten aufgehen, einen Bogen über die Himmelskugel ziehen und im Westen untergehen. Einige Sterne beschreiben vollständige Kreise um einen Punkt am Himmel, neben dem der Polarstern steht. Für ihn scheinen sich die Sterne um eine Weltachse zu drehen, die mit der Erdachse zusammenfällt.

Das ist die Grundlage des natürlichen Weltbildes: die Erde steht still, und das Weltall dreht sich um sie. Es ist auch das Weltbild des Navigators, wenigstens, wenn er seine Position mit den Fixsternen bestimmen will.

Die Kreise, die die Sterne beschreiben sind übrigens "Kleinkreise" in der Nomenklatur der sphärischen Trigonometrie.

Zum Messen bietet sich die Höhe des Sternes über dem Horizont an. Aber was nimmt man als zweite Koordinate? Es bietet sich die Uhrzeit an, denn offensichtlich verändert sich die Höhe des Sterns über dem Horizont gleichmäßig vom Auf- zum Untergang. Ein weiterer Fixpunkt auf der Bahn ist die größte Höhe, die der Stern auf seinem Wege erreicht (Kulminationspunkt).

Die Sonne ist übrigens ein Fixstern im Sinne dieser Betrachtung. Da ihre Koordinaten in den Nautischen Sterntabellen genau aufgelistet sind, kann man sie zur Bestimmung des Stundenwinkels des Frühlingspunktes im Ekliptikalsystem verwenden.

Das Ekliptikalsystem

Zur mathematischen Beschreibung des Fixsternhimmels bietet sich ein Kugelkoordinatensystem in der Ekliptik als Bezugsebene an. Zur Definition eines Winkel muss noch ein Fixpunkt gewählt werden. Historisch ist das der Frühlingspunkt ♈.

Wir haben also ein Kugelkoordinatensystem definiert mit dem (hier als kreisförmig angesehenen) Erd­bahn­ra­dius als Kugelradius und der durch den Verbindungsvektor Sonne-Schwerpunkt des Systems Erde/Mond über strichenen Fläche (Ekliptik). Senkrecht zur Ekliptik werden Winkel in Richtung "Nordpol" positiv von 0° bis 90° gezählt, Richtung "Südpol" negativ. Zur Festlegung des Nullpunktes für die Winkelzählung wird ein Punkt, der von der Erde aus leicht beobachtbar ist, definiert. Im Altertum waren solche herausragenden Zeitpunkte die Tag- und Nachtgleichen im Frühjahr und im Herbst. An diesen Tagen ging die Sonne im Stern­bild Widder ♈ (Frühling) bzw. Waage ♎ (Herbst) auf. Der Frühlingspunkt ♎ ist noch heute der Null­punkt der Winkelzählung in der Ekliptik. (Inzwischen liegt der Frühlingpunkt, d. h. der Ort auf der Um­lauf­bahn, an dem im März die Tag- und Nachtgleiche beobachtet wird, aber im Stern­bild Fische ♋!) Der Winkel wird von diesem Punkt im Gegenuhrzeigersinn (vom Nordpol aus gesehen) von 0° bis 360° gezählt.

In diesem Koordinatensystem lassen sich die Orte der Planeten mit den Bahn- und Umlaufdaten gut mit allen Korrekturen berechnen. Um zu den von der Erde aus beobachteten Koordinaten zu kommen, verschiebt man den Mittelpunkt des Systems in den Erdmittelpunkt (die Sonne läuft dann auf einer Bahn um die Erde). Das ist das in der Astronomie verwendete Ekliptikalsystem. In diesem geozentrischen Koordinatensystem verwendet man die ekliptikale Länge λ und die ekliptikale Breite β zur Beschreibung des Stern­ortes. (Da sich die Sonne in der Ekliptikebene bewegt, ist β_☉ = 0!)

Die Definition der Sternzeichen gibt Rätsel auf. Gleichwohl sind sie sehr alt, denn sie kommen in allen Steinzeitkulturen auf allen Kontinenten in nahezu identischer Zusammenstellung vor (nach Wolfgang Schlosser und Jan Cierny, "Sterne und Steine - Eine praktische Astronomie der Vorzeit", 1996. Darmstadt. Wissenschaftliche Buchgesellschaft). Da fragt man sich, ob die originelle Interprätation von Kai Helge Wirth ("Der Ursprung der Sternzeichen". 2000. Verlag Art and Science, ISBN 978-3-8311-0780-3.) mit topographischen Abbildern der Handelwege in Europa, richtig sein kann. Wie gesagt, originell ist sie allemal.

Das Äquatorialsystem

Das Äquatorialsystem dürfen wir nicht mit dem Koordinatensystem der Mercator-Seekarten verwechseln, obwohl der Äquator in beiden Systemen eine Koordinate darstellt. Die Rolle des Nullmeridians übernimmt der "Süd­meri­dian". Der wird definiert als der Meridian, über dem jeder Stern (auch die Sonne) kulminiert, denn die Kulmination definiert die Himmelsrichtung Süden. Der Meridian, der durch den Sternenort und den Nordpol geht, heißt "Stundenkreis", der Kleinkreis durch den Sternenort parallel zum Äquator ist der "Parallelkreis". Da sich die Erde dreht, verändert sich der Stun­den­win­kel des Sterns kontinuierlich. Um also eine Sternenkarte anzulegen eignet er sich nicht. Dazu gibt es das Rek­tas­zen­sionsystem.

Im Äquatorialsystem wird entlang des Himmels­äquators der "Stun­den­win­kel τ" (oder t) ausgehend vom Süd­meri­dian der Winkel im Zeitmass von 0h bis 24h im Ge­gen­uhr­zei­ger­sinn gezählt. Dabei entsprechen 24h im Zeitmass 360° im Winkelmass, also 1 h ent­spricht 15°, 1 m ent­spricht 0,25° = 15′ und 1 s schließlich 0,004167° = 15″.

Die "De­kli­na­tion δ" wird wie im Rek­tas­zen­sionsystem vom Äquator aus bis +90° noch Norden bzw. bis -90° nach Süden gezählt.

Das Äquatorialsystem braucht man nur, um eine Ver­bin­dung der Beobachtung (Höhe über dem Horizont) mit der Sternentafel (Höhe über dem Himmelsäquator) her­zu­stel­len, und um die Drehung der Erde relativ zur un­be­weg­lichen Himmelsschale zu berücksichtigen.

Für die Navigation mit Fixsternen braucht man die Jah­res­zeit, also die Stellung der Erde auf ihrer Bahn um die Sonne nicht zu berücksichtigen; der Durchmesser der Erdbahn ist vernachlässigbar gegenüber dem (unendlichen) Durchmesser der Himmelsschale.

Das Rek­tas­zen­sionssystem

Das Rek­tas­zen­sionssystem ähnelt Äquatorialsystem, bis auf den Koordinatenursprung auf dem Himmels-Äquator: das ist der Frühlingspunkt. Mit diesem Trick kann man Sternenkoordinaten angeben, die von der irdischen Zeit unabhängig sind (Früher waren diese Tabellen noch in "Sternenzeit").

Analog zur (geographischen) Breite φ und Länge λ als Ortsangaben auf der Erdkugel, gibt man die "Orte" der Sternprojektionen auf der Himmelskugel als "Rek­tas­zen­sion α" und "De­kli­na­tion δ" an. Die Rek­tas­zen­sion α zählt vom Frühlingspunkt in östlicher (entgegen dem Uhr­zei­ger­sinn) Richtung entlag des Himmelsäquators von 0° = Frühlingspunkt bis 360° oder — im gebräuchlicheren Zeitmass — von 0 h bis 24 h (24 h = 360°, 1 h = 15°, 1° = 0,066 h = 4 m).

Die De­kli­na­tion δ wird vom Himmelsäquator (0°) nach Norden bis +90°, nach Süden bis -90° gezählt.

Der Navigationsstern Beteigeuze im Sternbild Orion hat z.B. die Sternkoordinaten α = 5 h 52 m 21 s, δ = 7° 23,9´ N.

Das Horizontalsystem

Das Horizontalsystem ist das "natürlich-intuitive" Koordinatensystem zur Beobachtung der Sterne. Es bildet ab, was wir unmittelbar sehen: über dem kreisförmigen Horizont steigen Sterne auf, erreichen einen Höhe­punkt und gehen wieder unter. Der höchste Punkt der Sternenbahn liegt genau in Südrichtung.

Zur Definition eines (dreidimensionalen Kugel-) Koordinatensystems braucht es einen Basiskreis auf dem die Breitenwinkel von einem Nullpunkt aus gezählt werden und Meridiane (Längenkreise), die den Basiskreis rechtwinklig und die sich alle in einem Pol schneiden. Auf den Meridianen wird der Höhenwinkel gemessen; Nullpunkt ist der Schnittpunkt mit dem Basiskreis. Die Höhe wird zum Zenit hin positiv, zum Nadir hin negativ angegeben.

Da die Astronomie eine sehr alte Wissenschaft ist, deren heutige Wurzeln von den Arabern (während der Kreuzzüge) nach Europa kam, gibt es einige ungewohnte Bezeichnungen.

Der (obere) Schnitt­punkt der Meridiane ist der Zenit. Er liegt genau über dem Beobachter. Da die Meridiane (Groß-)Kreise sind, die sich auch unterhalb des Horizonts ausdehnen, schneiden sie sich auch unter dem Beobachter: im Nadir. Die Ver­bin­dungslinie von Zenit und Nadir (Achse) geht durch den Beobachter und den Erdmittelpunkt.

Auf den Meridianen wird vom Horizontkreis aus der Winkel zum Zenit positiv hin (der zum Nadir negativ) angegeben. Der Winkel heißt Höhe (h).

Auf dem Horizontkreis wird der Winkel vom Süd- oder Mittagsmeridian aus im Uhr­zei­ger­sinn gezählt (von Süd über West nach Nord und Ost). Der horizontale Winkel heißt Azimut (A) oder Stun­den­win­kel. (Das Horizontalsystem wird deshalb auch Azimutsystem genannt.)

Im dem Horizontalsystem kann man nun mit der sphärischen Trigonometrie berechnen, wie hoch ein Stern zu einer beliebigen Zeit über dem Horizont stehen wird, wenn man weiß, wie hoch er an dem Tage zu Mittag steigen wird. Wir verwenden das Pol­drei­eck, bei dem ein Eckpunkt A mit dem Zenit zu­sam­menfällt und der zweite C mit dem Kul­mi­na­tions­punkt des Sterns auf dem Süd­meri­dian. Der dritte Punkt B ist der Sternort zu der vorgegebenen Zeit.

Die Sonne bewegt sich von der Erde aus ge­se­hen auf einem Großkreis (da der Mittelpunkt des Bahnkreises mit dem Erdmittelpunkt zu­sam­men­fällt). Im Horizontsystem ist daher das Pol­drei­eck sphärisch und recht­winklig. Leider hat der Bahnkreis eine Neigung zum Horizont, die — wegen der Stellung der Rotationsachse der Erde zur Ekliptik — von der Jah­res­zeit abhängt.

Der Winkel ACB ist also "recht" (der 90° - Winkel des Dreiecks, da C der Scheitel des Bahn­groß­kreises ist).

Wenn wir also wissen, dass das Zentral­gestirn über dem Nullmeridian (auf der Erde ist das der Meridian von Greenwich) mit der Höhe h₀ = 23° kulminiert (es ist dann auf dem Nullmeridian definitionsgemäß Mittag, 12:00h Ortszeit), dann können wir berechnen, wie hoch er über einem Ort, der 2 Stunden östlich liegt, über dem Horizont steht. Wir brauchen nur die Nepersche Regel anzuwenden.

Nepersche Regel:
Im rechtwinkligen sphärischen Dreieck ist der Cosinus eines jeden Stücks gleich dem Produkt der Co­tan­gen­ten der anliegenden Stücke, wenn die Stücke so angeordnet werden, dass man nicht über den rechten Winkel geht. Dabei ist zu beachten, dass die Katheten durch ihre Komplemente ersetzt werden (hier sind a = BC und b = AC die Katheten und c = AB die Hypotenuse; das Komplement von b ist b^* = 90° - b).

Da die gesuchte Höhe h = 90° - c, also c = 90° - h ist, wollen wir c berechnen. Der Winkel α (Azimut) ist 2 h oder α = 2 ⁄ 24 · 360° = 30°. Außerdem kennen wir ja h₀ = 90° - b = 23°. Die Seite b ist eine Kathete und c die Hypotenuse des sphärischen Dreiecks.

Nach Neper lautet die Formel, die das zu berechnende und die beiden bekannten Stücke enthält:

• cos α = cot (90°-b) · cot c
• Aufgelöst nach cot c:
• cot c = cot (90° - h) = (cos α) ⁄ (cot (90° - b))
• Aus den Phasenbeziehungen der Winkel wissen wir:
• tan α = 1 ⁄ cot α und cot (90°-α) = tan α.
• Damit ergibt sich:
• cot c = cot (90° - h) = tan h = (cos α) · tan h₀
• tan h = 0,866 · 0,4245 = 0,3676; h = 20,2°

Wenn man diese Beziehung für Azimutwerte von -90° bis +90° berechnet und plottet, ergibt sich die Bahn des Zentral­gestirns aus der Sicht des Beobachters.

Analog kann man auch andere Fragen mit dem Pol­drei­eck beantworten:

1. Wenn die Höhen h und h₀ bekannt sind: die Zeit, die seit der Kulmination verstrichen ist bzw. wie weit östlich oder westlich man vom Nullmeridian entfernt ist.
2. Wenn die Höhe h und der Azimut (also der Zeitraum vor oder nach Mittag) bekannt sind: die Kulminationshöhe h₀ des Zentral­gestirns.

Im Horizontsystem hängen alle Berechnungen von der Kulminationshöhe h₀ der Sonne über dem Horizont ab. Und die ändert sich mit der Jah­res­zeit und der geographischen Breite des Beobachters. Die scheinbare Bahn der Sonne um die Erde verdeutlich das. Da die Erdachse gegenüber der Ebene, auf der sich die Sonne bewegt (Ekliptik), um 23,45° geneigt ist, aber immer auf den selben Punkt zeigt, kann man leicht bestimmen, in welche Richtung die Erdachse zeigt. Man benutzt dazu einen der beiden Punkte der Bahn an denen der Winkel maximal ist. Das sind die Tag- und Nachtgleichen im Frühling und im Herbst. Vereinbarungsgemäß nimmt man als Bezugspunkt den Frühlingpunkt. Damit hat man das Rek­tas­zen­sionssystem definiert. Es gibt das Maß für die Neigung der Erdachse zur Sonnenbahn an, und gestattet die Bestimmung von h₀ an jedem Tag des Jahres. Da die Bahn der Erde um die Sonne elliptisch ist und die Bahngeschwindigkeit den Keplerschen Gesetzen folgt, ist es etwas komplexer, die Mittagshöhe für jeden Tag zu brechnen. Zum Glück gibt es jählich herausgegebene Tabellen der De­kli­na­tion δ der Sonne und der — für die Navigation — wichtigen Fixsterne.

In der Astronavigation interessieren die Keplerschen Gesetzen allerdings nicht weiter: da nimmt man für den Himmel und die Erde konzentrische Kugeln mit dem Erdmittelpunkt als Mittelpunkt an. (Die Korrektur des unregelmäßigen Umlaufs ist in den Tabellen der De­kli­na­tion δ enthalten.)

Koordinatentransformation

Damit man mit den Sternentafeln umgehen kann, muß man die angegebenen Werte für die Rek­tas­zen­sion a in den Stun­den­win­kel τ umrechnen. Und das ist einfach, da die Bezugsebenen des Äquatorial- und des Rek­tas­zen­sionssystems zu­sam­men fallen. Nur der Nullpunkt, an dem man die Zählung des Stun­den­win­kels bzw. der Rek­tas­zen­sion beginnt, unterscheidet sich. Nun steht im Navigations-Weltbild mit der starren Erde und der rotierenden Sternenschale der Frühlingspunkt nach einer Drehung von 360° (oder 24h) exakt an der selben Stelle wie am Tag davor. Wir brauchen daher alle ganzzahligen Vielfachen von 360° bzw. 24h nicht zu berücksichtigen. Die Umrechnungsformel lautet daher einfach:

• Stun­den­win­kel τ = Stun­den­win­kel des Frühlingspunktes - Rek­tas­zen­sion a.

Der Stun­den­win­kel des Frühlingspunktes ergibt sich wiederum aus der Ortszeit des Frühlingspunktes. Den erhält man aus der Rek­tas­zen­sion der Sonne zum Beobachtungszeitpunkt aus Tabellen, z.B. im Nautischen Jahrbuch. Die Formel lautet:

• Stun­den­win­kel des Frühlingspunktes = Frühlingspunkt - Ortszeit =
• = UTC + Rek­tas­zen­sion der Sonne -/+ geographische Länge λ
• Das Vorzeichen der geographische Länge λ ist + für östliche, - für westliche Längen.

Hier ist nun endlich die Formel, die die geographische Länge λ mit der Uhrzeit und einer beobachteten Sternenkoordinate korreliert! Wir müssen nur noch den Stun­den­win­kel des Fixsterns bestimmen. Dazu brauchen wir das Horizontsystem, in dem wir die Messung durchführen.

Nun ist die Erde innerhalb der Himmelsschale ja nicht fixiert: sie rotiert um die Erdachse. Steht man auf dem Nordpol, so bewegen sich die Sterne scheinbar auf konzentrischen Kreisen. Ein Beobachter auf dem Äquator sieht die Sterne im Verlaufe einer Nacht auf geraden Linien über den Himmel ziehen. Und ein Navigator in den mittleren Breiten sieht die meisten Sterne auf Kreisbögen von Ost nach West wandern; nur die Sterne in der Nähe des Polarsterns bewegen sich scheinbar auf Kreisen um den Himmelsnordpol.

Der Navigator in den mittleren Breiten wird bei genauer Beobachtung feststellen, die Sterne erreichen auf ihrem Weg alle einen höchsten Punkt vom Aufstieg im Osten zum Untergang im Westen. Und der liegt genau im Süden, für alle Sterne. Die Höhe dieses Kul­mi­na­tions­punktes über dem Horizont hängt noch dazu von der geographischen Breite ab, von der aus der Navigator den Sternenhimmel betrachtet. Wir beobachten die Sterne also in einem dritten Koordinatensystem dem "Horizontsystem". Davon aber an anderer Stelle.

Sehen wir uns an, wie das Problem sich trigonometrisch darstellt. Zunächst müssen wir den Beobachter­horizont durch den Himmels­äquator ersetzen, also von Horizontkoordinaten in Äquatorkoordinaten um­rech­nen.

Im nebenstehenden Bild sind das Äquatorsystem (rote Linien) und das Horizontsystem (blaue Linien) über­ein­an­der gelegt. Das ist zulässig, denn in beiden Systemen wird ja vom "Süd­meri­dian" aus gezählt, auf dem der Stern kulminiert. Das grün unterlegte Dreieck ist ein Pol­drei­eck (alle Seiten sind Meridiane (Großkreise!) und eine Ecke ist der Pol P, die anderen sind der Zenith Z des Be­ob­ach­ters und der Sterneort S).

Die Länge der Seite PZ ist gleich der geographischen Breite φ des Beobachters, die Länge der Seite ZS ist 90° - δ, Länge der Seite PS ist 90° - h. Bei den Winkeln gilt: ZPS = τ (Stun­den­win­kel), PZS = a (Azimut), PSZ = λ (geogr. Länge Beob.). Man kann nach den Regeln der Trigonometrie aus drei bekannten Größen die anderen drei des Pol­drei­ecks berechnen.

Ein Rechenbeispiel wird im Abschnitt sphärische Trigonometrie am Beispiel der der Deklination der Sonne ausgeführt.

© Rainer Stumpe, URL: http://www.rainerstumpe.de/