Das Dreieck

Definition

Unter den Formen von geometrischen Figuren nimmt das Dreieck eine herausragende Stellung ein. Die Beschäftigung mit dem Dreieck ist sehr alt — in der Mathematik und in der Mystik. Fast alle Probleme der Berechnung in der Ebene lassen sich durch geschickte Wahl von Dreiecken lösen, weil man jedes n-Eck (n > 3) in mehrere Dreiecke zerlegen kann. Der Satz des Pythagoras:

  • a2 + b2 = c2
scheint wesentlich älter als sein Namensgeber zu sein. Pythagoras hat diese Beziehung vermutlich bereits in Ägypten kennen gelernt. Nach einem in Kahun in Ägypten gefundenen Papyrus war die Beziehung 32 + 42 = 52 bereits 4.000 v. Chr. bekannt.

Die Ägypter haben mit solchen Zahlentripeln rechte Winkel, z. B. an der Pyramidenbasis, konstruiert. Sie brauchten nur ein Seil mit Knoten im Abstand der "magischen" Zahlen, das sie zwischen den Knoten staff spannten. Die Pyramidenseiten konnten sie mit dem "Indischen Kreis" nach einer Himmelsrichtung aus­rich­ten.

Auch dem Navigator ist das Dreieck vertraut: bei der Abstandsmessung durch Versegelung, das Strom­dreieck zur Bestimmung der Kursversetzung, bei der Peilung zur Bestimmung des Schiffsortes.

Die mathematische Definition des Dreiecks lautet:

  • Schneiden sich drei Geraden in drei Punkten, so entsteht ein Dreieck.

Ein Dreieck hat drei Ecken A, B, und C, drei Seiten a, b und c und drei Winkel α, β und γ. Dabei hat die einer Ecke gegenüberliegende Seite den gleichen Kleinbuchstaben, der Winkel an der Ecke den ent­spre­chen­den kleinen griechischen Buchstaben. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°. Die drei Eckpunkte eines Dreiecks definieren eine Ebene (deshalb wackelt ein dreibeiniger Tisch nicht).

Dreiecksarten

Ihrer Form nach unterscheidet man folgende Dreiecksarten:

Die Dreicksarten

spitzwinkliges Dreieck stumpfwinkliges Dreieck rechtwinkliges Dreieck
spitzwinkliges Dreieck
alle Seiten sind ungleich lang,
alle Winkel α, β, γ sind < 90°
stumpfwinkliges Dreieck
alle Seiten sind ungleich lang,
ein Winkel α ist > 90°
rechtwinkliges Dreieck
alle Seiten sind ungleich lang,
ein Winkel γ ist 90°

gleichschenkliges Dreieck gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck gleichseitiges Dreieck
gleichschenkliges Dreieck
zwei Seiten sind gleich lang,
zwei Winkel α = β sind gleich
gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck
zwei Seiten sind gleich lang,
ein Winkel γ = 90°, die beiden anderen α = β = 45°
gleichseitiges Dreieck
alle Seiten sind gleich lang,
alle Winkel α = β = γ = 60°

Ähnlichkeitssätze im Dreieck

Das Ähnlichkeitskriterium von Dreiecken ist von herausragender Bedeutung für die Berechnung unübersichtlicher Zusammenhänge, die sich auf Dreiecke zurückführen lassen. In ähnlichen Dreiecken sind nämlich die Verhältnisse von Seitenlängen gleich. Archimedes verwendet diese Argumentation in seiner Bestimmung der Zahl π.

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie

  • in zwei Winkeln (trivial: die Winkelsumme der drei Winkel ist 180°),
  • in allen Verhältnissen entsprechender Seiten,
  • in einem Winkel und im Verhältnis einer anliegenden Seite,
  • im Verhältnis zweier Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel
übereinstimmen.
(siehe auch: Grundprobleme im schiefwinkligen Dreieck).)

Der Umkreis

Umkreis Jedes Dreieck hat einen Umkreis (blau), auf dem die Ecken liegen. (Auch der Kreis definiert eine Ebene.) Die Seiten des Dreiecks sind Sehnen des Umkreises (Sehnendreieck).

Den Mittelpunkt M des Umkreises findet man als Schnittpunkt der Mit­tel­senk­rech­ten (rot) der Dreiecksseiten. Im spitzwinkligen Dreieck liegt der Mit­tel­punkt des Umkreises innerhalb des Dreiecks, bei stumpfwinkligen liegt er außerhalb, und bei rechtwinkligen Dreiecken liegt er auf der Hy­po­the­nuse (Kreis des Thales). Die Hypothenuse des recht­wink­ligen Drei­ecks ist ein Durchmesser des Umkreises.

Beispiele für die Anwendung der Sätze des Euklid über Kreis und Gerade in den Navi­ga­tions­auf­gaben sind die Ortsbestimmungen durch Kreuzpeilung und durch zwei Horizontalwinkel.


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