Das DreieckDefinitionUnter den Formen von geometrischen Figuren nimmt das Dreieck eine herausragende Stellung ein. Die Beschäftigung mit dem Dreieck ist sehr alt — in der Mathematik und in der Mystik. Fast alle Probleme der Berechnung in der Ebene lassen sich durch geschickte Wahl von Dreiecken lösen, weil man jedes n-Eck (n > 3) in mehrere Dreiecke zerlegen kann. Der Satz des Pythagoras:
Die Ägypter haben mit solchen Zahlentripeln rechte Winkel, z. B. an der Pyramidenbasis, konstruiert. Sie brauchten nur ein Seil mit Knoten im Abstand der "magischen" Zahlen, das sie zwischen den Knoten staff spannten. Die Pyramidenseiten konnten sie mit dem "Indischen Kreis" nach einer Himmelsrichtung ausrichten. Auch dem Navigator ist das Dreieck vertraut: bei der Abstandsmessung durch Versegelung, das Stromdreieck zur Bestimmung der Kursversetzung, bei der Peilung zur Bestimmung des Schiffsortes. Die mathematische Definition des Dreiecks lautet:
Ein Dreieck hat drei Ecken A, B, und C, drei Seiten a, b und c und drei Winkel α, β und γ. Dabei hat die einer Ecke gegenüberliegende Seite den gleichen Kleinbuchstaben, der Winkel an der Ecke den entsprechenden kleinen griechischen Buchstaben. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°. Die drei Eckpunkte eines Dreiecks definieren eine Ebene (deshalb wackelt ein dreibeiniger Tisch nicht). DreiecksartenIhrer Form nach unterscheidet man folgende Dreiecksarten:
Ähnlichkeitssätze im DreieckDas Ähnlichkeitskriterium von Dreiecken ist von herausragender Bedeutung für die Berechnung unübersichtlicher Zusammenhänge, die sich auf Dreiecke zurückführen lassen. In ähnlichen Dreiecken sind nämlich die Verhältnisse von Seitenlängen gleich. Archimedes verwendet diese Argumentation in seiner Bestimmung der Zahl π. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie
(siehe auch: Grundprobleme im schiefwinkligen Dreieck).) Der UmkreisJedes Dreieck hat einen Umkreis (blau), auf dem die Ecken liegen. (Auch der Kreis definiert eine Ebene.) Die Seiten des Dreiecks sind Sehnen des Umkreises (Sehnendreieck). Den Mittelpunkt M des Umkreises findet man als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten (rot) der Dreiecksseiten. Im spitzwinkligen Dreieck liegt der Mittelpunkt des Umkreises innerhalb des Dreiecks, bei stumpfwinkligen liegt er außerhalb, und bei rechtwinkligen Dreiecken liegt er auf der Hypothenuse (Kreis des Thales). Die Hypothenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist ein Durchmesser des Umkreises. Beispiele für die Anwendung der Sätze des Euklid über Kreis und Gerade in den Navigationsaufgaben sind die Ortsbestimmungen durch Kreuzpeilung und durch zwei Horizontalwinkel.
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