Die Nepersche Regel
im rechtwinkligen sphärischen Dreieck

Der schottische Mathematiker John Napier (latinisiert Neper), 1550-1617, publizierte 1614 ein Lehrbuch zur sphärischen Trigonometrie, in dem er die Logarithmen der Sinuswerte entwickelte Mirifici Logarith­morum Canonis Constructio. Die Loga­rith­men­rechnung erleichtert die Multipikation und Division der typisch fünfstelligen Zahlenwerte. Er war der Lehrer von Edmund Gunter, der das wohl erste Buch zur ebenen und sphärischen Trigonometrie und ihrer Anwendung in der Navigation in englischer und nicht in lateinischer Sprache schrieb.

Er stellte eine leicht zu merkende Regel zum Aufstellen von Formeln für die Berechnung des recht­wink­ligen spärischen Dreiecks auf: Neper´sche Regel (Propositiones quaedam eminentissimae ad Triangula shpaerica, mira facilitate resolunda. enthalten in: Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, Paris 1620). Leseprobe

rechtw. sphär. Dreieck

Im nebenstehenden Dreieck soll der Punkt C der Scheitel des Grosskreises durch B und C sein. Der Winkel γ ist dann ein rechter (90°). Dieses "recht­wink­lige Poldreieck" ist für die Groß­kreis­navigation und in der Astronavigation wichtig. Deshalb nennt man es auch das "Navigationsdreieck".

Wie in der ebenen Trigonometrie reicht die Kenntnis von drei Stücken des Dreiecks (je drei Winkel und Seiten) um alle anderen berechnen zu können. In recht­wink­ligen Dreieck ist ein Winkel schon bekannt: γ = 90°, man braucht also nur noch 2 weitere zu kennen.

Mit einem Satz Formeln kann man die Probleme lösen — ähnlich den Grundproblemen des schief­wink­ligen Dreiecks. Neper hat für diesen Satz eine einfache Merkregel aufgestellt.

Man ebnet das spärische Dreieck ein und benennt Winkel und Seiten in der üblichen Weise (Ecken: große Buchstaben, Seiten: den kleinen Buchstaben der gegenüberliegenden Ecke, Winkel: kleine grie­chische Buchstaben, die der Eckenbezeichnung entsprechen). Dann schreibt man sie in einer Reihe auf, sodass man nicht über die Ecke C gehen muss:

a* β c α b* oder b* α c β a*.

Dabei bedeutet der *, dass man für die Katheten statt des Winkels dessen Komplement (a* = 90° - a bzw. b* = 90° - b) nehmen muss.

Neper Schema

Neper´sche Regel

Im rechtwinkligen spärischen Dreieck ist der Cosinus eines jeden Stückes

  1. gleich dem Produkt der Cotangenten der anliegenden,
  2. gleich dem Produkt der Sinusse der nicht anliegenden Stücke.

(der rechte Winkel gilt nicht als Stück).

Aus der Neper´sche Regel ergeben sich 10 Formeln zur Berechnung des rechtwinckligen sphärischen Dreiecks. Man muss nun nur noch feststellen, welche der Stücke man kennt und welches man berechnen will. Wie man das macht, soll kurz gezeigt werden, weitere Anwendungsbeispiele gibt es bei der Weg­punkt­be­rechnung für die Grosskreisnavigation.

Anwendungsbeispiel

Bei vielen Problemen der terrestrischen und der astronomischen Navigation erleichtert man sich die Berechnung, in dem man ein rechtwinkliges (Pol-)Dreieck konstruiert. Man fällt vom Pol aus ein Lot auf einen (schiefliegenden) Groß­kreis und nennt den Fußpunkt den Scheitel des Groß­kreises. In der Astronavigation wäre das der Kulminationspunkt der Gestirnsbahn.

Skizze Skizze Astonomie

In der terrestrischen Groß­kreis­navi­ga­tion berechnet man den Abstand eines Punktes WP auf der Fahrt­linie (grün) vom Startpunkt A oder B indem man die Entfernungen vom Startpunkt zum Scheitel von der Entfernung des WP vom Scheitel abzieht. Bekannt sind die Breiten und Längen von Scheitel und Start­punkt und er Kurswinkel am Startpunkt (α bzw. β).

In der Astronavigation berechnet man im Prinzip den Abstand eines Ster­nen­ortes vom Him­mels­nord­pol (Zenith) aus der (bekannten) Zeit, die seit der Kul­mina­tion über dem Null-Meridian verstrichen ist und der bekannten Kulminationshöhe des Sterns (aus einer Tabelle). (Man sieht übrigens schön, dass man auch den Zeitpunkt des Ster­nen­auf- und Un­ter­ganges für die Stand­ort­be­stim­mung verwenden kann.)

In beiden Fällen rechnet man aber in einem rechtwinkligen Poldreieck, es läßt sich also zur Herleitung der Formeln die Neper´sche Regel anwenden.

Groß­kreis­navi­ga­tion

Im Dreieck BPS sind bekannt die Seitenlängen PB und PS und der Dreieckswinkel bei B (180° - β). Gesucht ist die Seite BS. Nach Neper nennen wir BS = a, (180° - β) = β, den PB = c, den Winkel am Pol = α, die Seite PS = b. Da gesuchte Stück a und die bekannten Stücke c und b "liegen nicht an", also ergibt sich die Formel:

cos (90° - a) = sin c · sin (90° - b)

Astronavigation

Hier gehen wir analog vor und nennen die Seite (Kulminationspunkt - Ster­nen­ort) = a, den Drei­ecks­win­kel beim Ster­nen­ort = β, die Seite (Zenit - Ster­nen­ort) = c, den Winkel am Zenith = α, die Seite (Zenith - Kulminationspunkt) = b. Hier wird der Winkel α eingeschlossen von den beiden Seiten c und b, die Formel lautet also:

cos α = cot c · cot(90° - b)

Beide Formeln sehen ungewohnt aus. Nun ja, man braucht noch ein bißchen Winkel­funk­tions­arith­metik, um zu der Rechenregel zu kommen. Aber wir sehen: man kann die Formeln ableiten und braucht sie nicht zu memorieren. Und solange das Wetter schön ist, gibt es ja auf dem Segelschiff genügend Zeit um sie abzuleiten. Wenn das Wetter nicht gut ist, sieht man sowieso keine Sterne und dann kann man ja immernoch das GPS verwenden.


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