Newtons Theorie

Isaac Newton wusste, dass Massen einander anziehen (der Apfel fällt vom Baum). Diese An­zie­hungs­kraft nannte er Gravitation nach dem lateinischen Wort gravis: "schwer". Nun ist of­fen­sicht­lich, dass die Gravitation der Sonne zu einem Kollaps des Sonnensystems führen muss, wenn nicht eine Gegenkraft wirkt, die die Massenanziehung kompensiert. Da sich die Planeten um die Sonne "drehen", lag es nahe, die Zentrifugalkraft als diese Gegenkraft anzunehmen. Mit dieser Annahme (Drittes Newtonsches Axiom) konnte er die Bewegung zweier Planeten theoretisch berechnen, und siehe da: die Keplerschen Gesetze kamen heraus, wenn er statt Kreisbahnen elliptische Bahnen der Planeten annahm (Erstes Kepler­sches Gesetz). Der Beweis, dass es elliptische Bahnen sein müssen, gelang erst Albert Einstein in der "All­gemeinen Relativitätstheorie".

Newton entwickelte die Differentialrechnung, um den Ellipsenumfang berechnen zu können. Und er erfand den Begriff des "Systems", um seine Formeln entwickeln zu können. Gelegentlich leidet die phy­si­ka­lische Anschaulichkeit einwenig unter dem — scheinbar willkürlich — definierten "Systems".

Bei den Planetenbewegungen besteht dieses "Systems" aus den beiden Massen, die um ihren gemeinsamen Schwerpunkt kreisen. Physikalisch ist das der Punkt, an dem keine Kräfte herrschen, da sich sowohl die Anziehungskräfte der beiden Massen aufheben und an dem — offensichtlich — keine Fliehkraft herrscht.

 

Skizze

Wenn r1 und r2 die Abstände der Massen m1 und m2 vom Schwerpunkt sind, gilt die Beziehung: Formel

Für das System Erde-Mond kann man die Lage des Punktes auf der Verbindungslinie berechnen. Für die x-Koordinate des Schwerpunktes gilt: Formel

Wenn wir den Abstand vom Erdmittelpunkt aus berechnen, wird r1 = 0 und r2 = r, und Gleichung vereinfacht sich zu:

Formel

Da der mittlere Erdradius 6.371 km beträgt, liegt der Schwerpunkt des Systems Erde-Mond ungefähr 1.600 km unter der Erdoberfläche. Um diesen Punkt rotiert also das System Erde-Mond mit der Ge­samt­masse von 6,046 · 1024 kg mit der Um­lauf­frequenz des Mondes um die Erden (siderische Umlaufzeit tS 27d 7h 43m 11,5s).

Für die Entfernung des Schwerpunktes Erde — Sonne von der Erde gilt analog:

Der Schwerpunkt liegt - erwartungsgemäß - nahe an der Sonne.

Formel

Die Fliehkraft Z wird nach der nebenstehenden Formel berechnet. Dabei sind m die Masse des rotierenden Sys­tems, die Winkelgeschwindigkeit /T (Dreh­ge­schwin­dig­keit, T ist die Zeit für eine vollständige Umdrehung 2π) und r der Abstand von der Drehachse (Hebelarm).

Formel

Die Gravitationskraft gehorcht nach Newton der Glei­chung rechts, wobei γ die Gravitationskonstante ist (γ = 6,6726 · 10-11m2kg-2), m1 und m2 die beiden Massen und r ihr Abstand. Die Gravitation wirkt auf den Mittelpunkt der Masse als wäre die gesamte Masse in diesem Punkt vereinigt.

Formel
Daten des Systems Sonne — Erde — Mond

Masse der Sonne mSonne =

1,99·1030 kg

Masse der Erde mErde =

5,973·1024 kg

Masse des Mondes mMond =

7,348·1022 kg

mittlerer Bahnradius der Sonne rSonnenbahn =

1,496·1011 m

mittlerer Bahnradius des Mondes rMondbahn =

3,844·108 m

mittlere siderische Umlaufzeit der Sonne tE =

365d 6h 3m = 3,156·107 s

mittlere siderische Umlaufzeit des Mondes tS =

27d 7h 43m = 2,360·106 s

Gravitationskonstante γ =

6,6726·10-11Nm2kg-2

mittlerer Sonnenradius rSonne =

1,392·109 m

mittlerer Erdradius rErde =

6,371·106 m


Mit diesen Daten berechnen wir die Fliehkraft und die Gravitation im System Erde – Mond für die Rotation um den Erdmittelpunkt:

  • Formel
  • Formel

Im Rahmen der Rechengenauigkeit des Taschenrechners sind die beiden Kräfte im System Erde — Mond tatsächlich gleich. Die Prüfung, ob das auch für das System Erde — Sonne gilt, mag jeder selbst durchführen.

Nun hat Newtons Physik einen Schönheitsfehler: sie gilt für Kreisbahnen und punktförmige Massen. Schon Newton erfand daher die "Störungsrechnung". Im Prinzip formuliert man dabei ein idealisiertes Gesetz und schaut dann, was bei kleinen Änderungen, die sich der Realität nähern, passiert — unter der Annahme, das Gesetz gilt weiter.

So wollen wir vorgehen. Dass die Bewegung der Himmelskörper umeinander keine Kreisbahnen sind sondern Ellipsen, kann hier vernachlässigt werden. Schauen wir aber einmal was die Ausdehnung der Himmelskörper auf Gravitation und Fliehkraft für eine Auswirkung hat.


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