Das rechtwinklige Dreieck

Berechnung der vier Grundprobleme

Skizze Das rechtwinklige Dreieck ist die Grundlage der ebenen und der sphärischen Trigonometrie. Da die Größe eines Winkels bekannt ist (der rechte hat 90°) und es den Satz des Pythagoras gibt, wird die Berechnung der anderen Größe leichter. Im Grunde löst man alle trigonometrischen Probleme, in dem man rechtwinklige Dreiecke sucht. Seine Seiten haben besondere Bezeichnungen: die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse, die beiden anderen Seiten, die den rechten Winkel einschließen, sind die Katheten. Am rechtwinkligen Dreieck werden auch die Winkelfunktionen definiert.

Es zeigt sich nämlich, dass die Größe des Winkels vom Längenverhältnis der Seiten abhängt. So ist die Funktion Sinus des Winkels α als Verhältnis des Gegenkathete zur Hypotenuse definiert: sin α = a ⁄ c, die Funktion Cosinus von α als Verhältnis des Ankathete zur Hypotenuse: cos α = b ⁄ c.

Mit den Winkelfunktionen kann man die vier Grundaufgaben der Berechnung aller Größen im Dreieck (3 Seiten und 3 Winkel) lösen, wenn man nur zwei zusätzlich kennt (das dritte, der rechte Winkel, hat 90°).

Die vier Grundaufgaben im rechtwinkligen Dreieck

gegeben ist die Hypotenuse c und ein anliegender Winkel α;	β = 90° - α a = c · sin α b = c · cos α

gegeben ist die Hypotenuse c und eine Kathete, z. B. a;	sin α = a ⁄ c β = 90° - α b = a · cot α

gegeben ist eine Kathete a und ein Winkel α;	β = 90° - α b = a · cot α c = a ⁄ sinα

gegeben sind die beiden Katheten a, b.	tanα = a ⁄ b β = 90° - α c = a ⁄ sin α

Beispiel für die Anwendung:

Skizze Es sind z. B. gegeben α und b. Aus den Definitionen der Winkelfunktionen:

sin α = a ⁄ c und
cos α = b ⁄ c.

Beide Gleichungen löst man nach c auf und erhält: a ⁄ sin α = b ⁄ cos α ⇒ a = b·(sin α ⁄ cos α) = b·tan α.

Damit kann man die Seite a berechnen. Die Seite c erhält man aus der Gleichung 2. Und der Winkel β ist β = 90° - α.

Analog kann man die anderen Grundprobleme nachvollziehen.

Alternative zur Berechnung des zweiten Grundproblems mit dem Rechenschieber

Gegeben sind die Kathete a und die Hypotenuse c.

Da Ingenieure häufig die Längen der Hypotenuse und einer Kathete kennen und die Länge der zweiten Kathete und die Winkel des Dreiecks wissen wollen, hat Alwin Oswald Walther an der TH Darmstadt 1934 die pythagoreische Skala mit Werten von √ 1 - x²) auf Rechenschiebern des System Darmstadt eingeführt.

Ein Rechenbeispiel ist im Abschnitt "Rechenschieber" ausgeführt.