Sphä­ri­sche Trigonometrie

Anwendungen

Die Orthodrome

Die kürzesten Verbindungslinie zwischen zwei Punkten A und B auf der Kugel liegt auf einem Groß­kreis. Die Fahrt auf der Orthodrome ist also die kürzeste Route von A nach B. Dieser Groß­kreis — sofern er nicht der Äquator oder ein Breitenkreis ist — schneidet jeden Me­ri­di­an unter einem anderen Winkel. Das hat den Nachteil, dass man ständig den Kurs wechseln muss.

Mit dem Pol bilden die beiden Punkte A unf B ein — in aller Regel schiefwinkliges — sphä­ri­sches (Pol-)Drei­eck ABC, denn die Punkte A und B liegen auf Me­ri­di­anen. Wenn man die Koordinaten der Punkte A und B kennt, sind die Seiten a und b bekannt und der ein­ge­schlos­sene Winkel γ (das ist der Län­gen­unter­schied von A und B) gegeben, und die Seite c und die Winkel α und β sind gesucht. Das ist die Haupt­auf­gabe III im sphä­ri­schen Dreieck. Also kann die Seite c nach der Formel

be­rech­net werden. Die Winkel berechnet man analog der Haupt­auf­gabe I im schiefwinkligen sphä­ri­schen Dreieck:

Wenn man also von A nach B segeln will, sind der Startkurs α und der Ankunftskurs β bekannt.

Aber wie findet man die Schnittwinkel in den Punkten D und E auf der Orthodrome mit den zwichen A und B liegenden Me­ri­di­ane? In den Hauptaufgaben V und VI beim schiefwinkligen sphä­ri­schen Dreieck haben wir den Trick kennen gelernt: man erzeugt aus einem schiefwinkligen Dreieck zwei rechtwinklige, indem man die sphä­ri­sche Höhe h von einer Ecke aus einzeichnet. Sie hat den Fußpunkt S, und ist die Höhe in jedem beliebigen Dreieck, das C und S als zwei seiner Ecken hat, und dessen dritte Ecke auf dem Groß­kreis der Orthodrome liegt. Mit der Verwendung von rechtwinkligen sphä­ri­schen Dreiecken werden die Berechnungen einfacher.

Zunächst aber müssen die Koordinaten des Scheitelpunktes gefunden werden. Das ist mit der Neper­schen Regel recht einfach. Im Dreieck ASC mit dem rechten Winkel bei S (∢CSA) werden die Stücke an­ge­ord­net: AS^* α AC γ CS^* (der Winkel ∢ACS ist γ im Dreieck ACS!). Bekannt sind AC und α, also nicht-an­lie­gende Stücke zum gesuchten Bogen CS. Man erhält für den Kom­plementärwinkel der Scheitelbreite die Formel:

• cos CS^* = sin AC · sin α = sin CS = sin AC · sin α
•  
• Und als Formel für die Scheitellänge AS:
•  
• cos γ = cot c · cot CS^*

Die Berechnung an einem Beispiel wird im Abschnitt Navigation ausgeführt.

Die Berechnung der Tageslänge

Die Sonne — und die Sterne — bewegen sich von der Erde ausgesehen auf Kreisen um einen imaginären Punkt. Die größte Höhe über dem Horizont erreicht die Sonne etwa zu Mittag (außer wenn gerade "Sommer­zeit" angesagt ist). Die Tageslänge hängt von der Jah­res­zeit ab. In der Abbildung ist der sphä­risch-tri­gono­metrische Zusammenhang vereinfacht dargestellt (der Durch­mes­ser der Erde ist hier vernachlässigt, d. h. der "wahre" Horizont fällt mit dem "scheinbaren" zu­sam­men).

Der Beobachter steht im Mittelpunkt M der Him­mels­ku­gel, über ihm ist der Zenith Z und der Himmel trifft auf den Horizont, der das Gesichtsfeld begrenzt. Die Hori­zont­ebene ist ein Groß­kreis, der auf der Achse MZ senk­recht steht. Die Sterne bewegen sich im Verlaufe eines Tages auf Kleinkreisen (hier blau) mit den Mit­tel­punkten auf der Achse MP, der Weltachse. Die Groß­kreis­ebene senkrecht zur Weltachse ist der Him­mels­äqua­tor (hier rot). Der höchste Punkt der Sternenbahn vom Be­ob­ach­ter aus gesehen, ist der (obere) Kul­mi­na­tions­punkt K_O, der die Süd­rich­tung (S) definiert. "Westen" (W) ist rechts vom Beo­bach­ter, der nach Süden blickt, "Osten" (E) links, und "Norden" (N) liegt hinter ihm. Alle Sterne gehen im Osten auf (Aufgangspunkt A) und im Westen unter (Untergangspunkt U).

In der Abbildung sind zwei durch je eine Groß­kreisebene und ihre senkrechte Mittelachse definierte Ko­or­di­na­ten­systeme enthalten: das Ho­ri­zont­system und das Reaktaszensionssystem. In beiden Koor­dina­ten­sys­temen ist jedoch die Südrichtung als Bezugspunkt in der Groß­kreisebene festgelegt. Damit sind die Sys­teme durch den Groß­kreis durch P und Z mit einander verbunden.

Aus historischen Gründen muß eine Nomenklatur eingeführt werden (die unterschiedlichen Bezeichnungen beziehen sich auf das jeweilige Koor­dina­ten­system). Im Ho­ri­zont­system misst man den Winkel zwischen dem Groß­kreis durch den Zenith Z, auf dem der Stern G steht, und dem Me­ri­di­an, der durch den Südpunkt geht, von Süd nach Westen von 0° bis 360°. (Es gibt auch andere Konventionen!) Man nennt diesen Winkel Azimuth a. Der Win­kel zwischen dem Äquator und dem Stern G heißt Höhe h. Der Azimuth a gibt die Richtung an, in der die Sonne steht, gemessen vom OrtsMe­ri­di­an.

Auf den ersten Blick sieht die Abbildung rechts aus wie die oben links. Sie stellt aber ein anderes Ko­or­di­na­ten­system dar: das Rektaszensionssystem. Der blaue Groß­kreis ist hier der Himmelsäquator, die darauf senk­recht stehende Achse durchstößt die Himmelskugel im Himmelspol. Der Winkel zwischen dem Me­ri­di­an, auf dem der Stern steht, und dem der oberen Kul­mi­na­tion des Sterns heißt hier der Stun­den­win­kel t oder die Rektaszension α, und der Winkel vom Äquator zum Pol heißt Deklination δ des Sterns. Im Rektaszensionssystem bewegt sich der Stern auf einem Kleinkreis parallel zum Äquator. Der Me­ri­di­an der oberen Kul­mi­na­tion ist die Süd­rich­tung im Ho­ri­zont­system. Der Stun­den­win­kel gibt die Zeit seit der Kul­mina­tion an, er kann in Grad umgerechtet werden, weil der Vollkreis mit 360° in 24 Stunden (= 1 Tag) durchlaufen wird. Ein Stun­den­win­kel von 1 Stunde entspricht deshalb 360° ⁄ 24 h = 15 ° ⁄ h. Da die Deklination δ eines Sterns von der irdischen Zeit — in erster Näherung — unabhängig ist, kann man für jeden Stern die Deklination, also den Abstand von der Äquatorebene, in einer Tabelle angeben. (Da gegenüber dem Durchmesser der Sonnenbahn der Erddurchmesser nicht vernachlässigbar ist, ändert sich die Deklination der Sonne täglich! Sie kann im ekliptikalen Ko­or­di­na­ten­system berechnet werden.)

Legt man nun das Ho­ri­zont­system und das Rektaszensionssystem so über­einander, dass die Mittelpunkte zusammenfallen und der Pol P des Rektaszensionssystem (blau) auf dem Südme­ri­di­an (rot) des Ho­ri­zont­sytems (schwarz) liegt, erhält man die nebenstehende Abbildung. Das gelb gefüllte Dreieck PZG ist das "Navi­ga­tions­drei­eck"; es er­mög­licht die beobachteten Höhe h des Sternenorts G in Beziehung zu setzen mit der Tageszeit t und dessen Deklination δ, denn die Seite PG liegt im Rektaszensionssystem, die Seite ZG im Horizontsystem und die Seite PZ in beiden.

Die halbe Tageslänge ist der Winkelabstand des Südmeridians S vom Untergangspunkt U. Gesucht ist also eine Formel für den Winkel ∢SPG = t, wenn G = U. Bekannt sind im Navi­ga­tions­drei­eck: die Länge des Kreisbogens PZ, das ist der Kom­ple­men­tär­win­kel der geo­gra­fischen Breite φ des Beobachters im Ho­ri­zont­systems: PZ = 90° - φ. Die Länge der Seite GZ ist der Kom­ple­men­tär­win­kel der Höhe h: GZ = 90° - h (im Untergangspunkt wird sie Null sein). Die Länge der Seite GP ist der Komp­lemen­tär­winkel der Deklination δ: PG = 90° - δ. Der Winkel am Pol, ∢ZPG, ist der gesuchte Stun­den­win­kel t, und der Winkel am Zenith, ∢PZG = 180° - a (es ist der Ergänzungswinkel zu ∢HZS, dem Azimuth!).

Bekannte Stücke:

• PZ = 90° - φ
• GZ = 90° - h
• GP = 90° - δ

Gesuchtes Stück:

• ∢GPZ = τ

Zur Berechnung der Stücke im Navigationsdreieck verwendet man den Seitencosinussatz im schiefwinkligen sphä­ri­schen Dreieck, denn man kennt die drei Seiten (1. Hauptaufgabe):

• cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos α

Setzt man nun die Stücke ein:

• a = ZG = 90° - h
• b = PZ = 90° - φ
• c = PD = 90° - δ
• α = ∢GPZ = t

erhält man:

• cos (90° - h) = cos (90° - φ) · cos (90° - δ) + sin (90° - h) · sin (90° - φ) · cos t

und mit sin (90° - α) = cos α und cos (90° - α) = sin α

• sin h = sin φ · sin δ + cos h · cos δ ·cos t

Diese Gleichung wird nun aufgelöst nach cos t:

Wenn — bei Sonnenauf- und untergang — h = 0 und sin h = 0 und cos h = 1 sind, vereinfacht sich die Formel zu:

Mit dieser Formel hat die kaiserliche deutsche Marine nach dem Lehrbuch der Navigation von 1906 die Kompassmissweisung bestimmt. Der Winkel t der Untergangsrichtung wurde bestimmt, wenn die Sonne 4 ⁄ 5 ihres Durchmessers über dem Horizont steht. (Wegen der Refraktion der Atmosphäre!)

Die Deklination der Sonne

Zur Berechnung der Deklination δ der Sonne muß ein weiteres Ko­or­di­na­ten­system eingeführt werden: das Ekliptikale System. Die Ekliptik ist die Ebene, auf der die Planeten auf Ellipsen um die Sonne kreisen. Die Ebene ist gegenüber dem Himmelsäquator um ε = 23° 27′ geneigt. Ihre Achse durchstößt die Him­mels­kugel im ekliptikalen Nordpol N_ε. (Der Him­mels­äquator fällt ja mit dem der Erde zusammen, ebenso die Erd­ach­se mit der Weltachse, die die Him­mels­kugel im (Nord-)Pol P durch­stößt.) Da auch die Mittelpunkte des Äqua­tor­sys­tems und des Ek­lip­tik­sys­tems zusammen fallen, schnei­den sich die beiden Ebenen (die Schnitt­linie geht durch den gemeinsamen Mittelpunkt M). Und da die Kugel ja den "Einheitsradius 1" hat, gibt es zwei Schnittpunkte der Schnittlinie mit der Himmelskugel: den Früh­lings­punkt ♈ und den Herbstpunkt ♎. Ver­ein­ba­rungs­gemäß zählt man den Winkel auf der Ekliptik von Früh­lings­punkt aus entgegen dem Uhrzeigersinn.

Legt man das Ekliptikalsystem so auf das Äquatorsystem, dass die Mittelpunkte zusammenfallen und der Pol der Ekliptik N_ε auf dem Mittagsmeridian liegt, erhällt man die nebenstehende Abbildung. Der Abstand der Sonne G vom Frühlingspunkt ist die ekliptikale Länge λ der Sonne, der Abstand δ die Deklination der Sonne. Sie nimmt von Frühlingspunkt ♈ mit wachsender Länge λ zu bis zum Maximum am Sommersonnenwendepunkt, dann wieder ab bis zum Wintersonnenwendepunkt. Die Berechnung von δ in Anbhängigkeit von λ berechnent man im Dreieck ♈FG, in dem der ∢G♈F = ε und ∢♈FG = 90° (alle Großkreise durch den Pol schneiden alle Meridiane im rechten Winkel). Es gilt Die Seiten eines allgemeinen Dreiecks verhalten sich wie die Sinuswerte der den Seiten gegenüberliegenden Winkel.

Da sin 90° = 1 ergibt die Umformung:

• sin δ = sin λ · sin ε

Oben wurde erwähnt, dass sich die Deklination der Sonne täglich ändert. Das wird an der Abbildung ver­ständlich. Am Frühl­ings­punkt ♈ ist δ = 0 und die Mittagshöhe der Sonne h_☉ = ε und der Tag hat 12 Stunden. (Ist leicht mit den oben abgeleiteten Formeln für δ = 0 zu berechnen.) Nun werden die Tage länger, bis die Sonne den oberen Punkt ihrer Bahn erreicht hat; δ = ε. Dieser Punkt liegt 90° vom ♈-Punkt entfernt. Da die Sonne den ♈-Punkt nach einem vollen Umlauf von 360° wieder erreicht und dabei ein Jahr (zu 365,2472 = 365 d 5 h 56 m (Sonnen-)Tagen) vergangen ist, ist das ¼ Jahr nach dem Früh­lings­punkt­durch­gang. Es entspricht also ein Tag einem Fortschreiten der Sonne auf ihrer ekliptischen Bahn um 0,9856° Mit diesem Wert kann man die Deklination δ für jedes Datum berechnen, wenn man weiss, wann der Durch­gang durch den Frühl­ings­punkt war — leider nicht mit dem Rechenschieber, denn man muss bei einer Genauigkeit von einer Minute mit 4 Stellen nach dem Komma rechnen.

Leider ist die Wirklichkeit nicht so ideal. Man muss den ♈-Punkt jährlich bestimmen. Im Jahr 2014 war der Zeitpunkt am 20. März um 17:57 h MEZ, und 2021 wird er am 20. März um 10:37 MEZ sein. Die Gründe werden auf Astronomie-Sites ausführlich erklärt. Wie Kepler in seinem 2. Gesetz postulierte, bewegt sich die Erde auch nicht mit gleichmäßiger Geschwindigkeit auf einer Kreis­bahn um die Sonne. Definiert man den Sonnentag als Zeitdifferenz zwi­schen zwei Me­ri­di­an­durch­gängen der Sonne, und den Ster­nen­tag ebenso bezogen auf Me­ri­di­an­durch­gänge eines Fixsterns, so ist der Sonnentag jahreszeitabhängig kürzer oder läger als der Ster­nen­tag. Denn die Erde bewegt sich auf ihrer elliptischen Bahn um die Sonne umso schneller, je näher sie der Sonne steht (2. Kep­ler­sches Gesetz). Dies ist leicht zu korrigieren: man führt einen mittleren Sonnentag ein, der dem konstanten Umlauf der Sonne auf der Äquatorebene entspricht. Das reicht dann für die Zeit­mes­sung im täglichen Leben. Nicht aber für die Navigation, denn der wahre Sonnentag kann bis zu ¼ Stunde länger oder kürzer sein als der mittlere. Man muss also einen Parameter zum Ausgleich erfinden. In dem kann man dan komfortabel alle Einflüsse zusammenfassen, die auf die Um­lauf­ge­schwin­dig­keit der Erde einen Einfluss haben: neben der elliptischen Form auch die An­zie­hungs­kräf­te der anderen Planeten, des Mondes, etc. Diesen Zeit-Ausgleichsparameter nennt man Zeitgleichung:

• wahre Zeit = mittlere Zeit + Parameter.

Die so korrigierte Zeit benutzt man zur Berechnung des Deklination δ der Sonne.

Die Deklination δ der Sonne über dem Himmelsäquator kann man mit der oben abgeleiteten Formel sin δ = sin λ · sin ε einfach berechnen. Die Umlaufzeit der Erde um die Sonne (gemessen zwischen den beiden Kul­mi­na­tionen der Sonne an zwei Tagen, die in aufeinander folgenden Jah­ren das gleiche Datum haben) beträgt 365 Tage 6 h 9 m 9,54 s (365,25636 d). Das ent­spricht einem Um­lauf­win­kel von 360°. Pro Grad Fort­schritt auf der Bahn braucht die Erde also 1,014601 Tage (1 d 21 m 1,526 s), oder pro Tag legt sie 0,98561° zurück. Wir können also den Ort der Erde für jede Zeit auf ihrer Um­lauf­bahn durch den Winkel λ beschreiben. Dazu müssen wir nur wissen, wann der Frühl­ings­punkt ♈ pas­siert wurde und wieviele Tage seit diesem Zeitpunkt ver­strichen sind. Das gelingt mit dem Julianischen Datum, wenn man weiß, wann der Durch­gang der Sonne durch den Frühl­ings­punkt stattfand. Im Jahr 2016 fand das am 20. März um 05:30 h statt. Nun müssen wir zunächst die Julianischen Daten der bür­ger­lichen ausrechnen. Nehmen wir das Datum, an dem wir λ bestimmen wollen als den 05.08.2016 an, der Son­nen­stand soll für 12:00 h UTZ bestimmt werden.

Die Formel zur Umrechnung des bür­ger­lichen in das julianische Datum JD lautet:

• JD = J · 365,2422 + (M + 1) · 30,6001 + S + T + UT ⁄ 24 + 1.720.996,5
•  
• dabei ist:
  • Monat 1 oder 2 (Januar oder Februar): J = JJJJ - 1 und M = MM + 12
  • Monat größer als 2: J = JJJJ, M = MM
  • Anzahl der Schalttage S = (ganzzahliger Teil J ⁄ 100) - (ganzzahliger Teil J ⁄ 400)
  • T ist das Tagesdatum

Die Sonne ist auf ihrer Bahn also 136,2868° vom Frühl­ings­punkt ♈ entfernt.

Zur Berechnung der Höhe δ der Sonne über dem Äquator (Deklination) benutzt man das rechtwinklige sphä­ri­sche Dreieck mit den Seiten λ und δ und dem Winkel ε. Die Formel lautet:

• sin δ = sin λ · sin ε

Mit dieser Formel berechnet man die Deklinationstabellen. Die Korrektur der Zeitgleichung bringt man beim Julianischen Datum an.

Dieser Rechengang setzt voraus, dass die Schiefe der Ekliptik ε konstant sei. Exakt gilt das nur in begrenzten Zeiträumen, da die Neigung der Erdachse relativ zur Bahnebene vielen Einflüssen unterliegt, die Teils von Planetenkonstellationen, teils von Masseverschiebungen auf der Erde beeinflusst werden (sieh z. B. die Überlegungen zum Milanković-Zyklen).

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• [sphä­ri­sche Trigonometrie - Grundlagen]
• [Das rechtwinklige sphä­ri­sche Dreieck]
• [Das schiefwinklige sphä­ri­sche Dreieck]
• [Anwendungen der sphä­ri­sche Trigonometrie] (Orthodrome, Tageslänge, Deklination der Sonne)
• [Anwendungen der sphä­ri­sche Trigonometrie] (Sonnenhöhe, indischer Kreis)
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