Sphärische Trigonometrie

Um Rechenregeln für das Drei­eck ABC abzuleiten, fällen wir das Lot von C auf die Ebene MAB (Fußpunkt D) und die Lote von C auf die Strecke MA (Fuß­punkt E) und MB (Fuß­punkt F). Setzt man den Kugelradius gleich 1, so ist die Länge der Strecke CE gleich sin b (Gegen­kathete zum Winkel b im rechtwinkliges Dreieck CME) und die Länge der Strecke CF ist gleich sin a (Gegenkathete zum Winkel a im rechtwinkliges Dreieck CMF). Da a, b und c auf Groß­kreisen liegen, sind die Winkel BMC = a, AMC = b und AMB = c (a, b, c im Bogenmaß).

Die Lote haben ebene Dreiecke erzeugt, in denen genügend Größen bekannt sind, um die übrigen zu berechnen. Für die Länge des Lotes CD können wir zwei Ausdrücke finden: CD ist die Gegenkathete zu α im Dreieck CDE und die Gegenkathete zu β im Dreieck CDF. CD = sin α · sin b = sin β · sin a; die Gleichung teilen wir durch sin β und sin a und erhalten:

Mit dem gleichen Formalismus und den Loten auf die Ebenen AMC bzw. BMC den Sinussatz:

sin a : sin b : sin c = sin α : sin β : sin γ

Im Dreieck CEM sind be­kannt der Winkel <CME und die Hypotenuse = 1. Die Strecke EM (Ankathete zu <b) erhalten wir aus der Definition des Cosinus cos b = ME. Ebenso ist MF = cos a. Fällen wir das Lot von F auf AM (Fußpunkt G), erhalten wir ein ebenes Dreieck MFG, in dem der Winkel <c und die Hypotenuse bekannt sind. Für die Länge der Strecke GM erhalten wir cos c = GM / cos a => GM = cos c · cos a. Fällen wir nun das Lot von D auf FG (Fußpunkt H), so erhalten wir ein Dreieck DFH, in dem der Winkel <DFH = c (die Schenkel stehen paarweise senkrecht aufeinander) ist.

In diesem Dreieck ist die Länge der Hypotenuse DF aus dem Dreieck CDF zu berechnen: cos β = DF / sin a => DF = sin a · cos β. Damit ist die Länge DH durch Umformen aus sin c = DH / (sin a · cos β) => DH = sin c · sin a · cos β.
Die Strecke EM hatten wir schon berechnet EM = cos b; gleichzeitig ist EM = GM + EG (EG = DH!). Fehlt uns noch die Strecke GM. Die liegt im Dreieck FGM, in dem wir FM = cos a und den Winkel GMF = <c kennen. Wir erhalten cos (<c) = GM / FM => GM = cos c · cos a. Das setzen wir in die Summengleichung ein:
 EM = GM + DH = cos b = cos c · cos a + sin c · sin a · cos β.

Dasselbe Spiel für die Ebenen ACM und BCM führt zu den anderen beiden Gleichungen des Seitencosinussatzes:

So wie das Rechnen im rechtwinkligen e­be­nen Dreieck einfacher ist, ist auch das Rech­nen im rechtwinkligen sphärischen Drei­eck ein­facher. Für die Navigation auf dem Groß­kreis erzeugt man deshalb ein rechtwinkliges Dreieck, indem man vom Nordpol aus das Lot auf den Groß­kreis fällt, auf dem man fahren will (Kurs-Groß­kreis). Der Schnittpunkt C des Lotes mit dem Groß­kreis, der dem Nordpol am nächsten liegt heißt "Scheitel S".

Im Dreieck ABC ist also der Winkel γ bei C ein rechter (γ = 90°).