Auszug aus
Astronomia Danica

Theoremata Generalia.

Solutioni Triangulorum inservientia.

Theoremata Geometrica ad solutionem Triangulorum facientia, vel ad extra considerantur, & ideo priora & generaliora vocantur: vel Canonum confectionem, qui analyses triangulorum numeris expediunt, ingrediuntur; & ideo magis specialia sunt, quippe ad Sinus Tangentes & secantes unice restricta. Haec autem, ad superiorum differentiam, Enunciata nobis appellantur.

Theoremata.

1. Linea sive recta, sive Circularis, cadens super lineam homogeniam, facit duos angulos duobus rectis aequales.
   Ergo dato illorum uno, alter est dati complementum ad semicirculum , seu 180 grad.
2. Anguli ad verticem sunt aequales; Proinde dato uno quatuor angulorum, qui fiunt ad punctum intersectionis duarum linearum homogeniarum, dantur tres anguli reliqui, primo in genere: sunt enim complementa dati ad mensuram totius circuli; deinde in specie per Theorema praemissum.
3. Omne Triangulum propositum in duo rectangula resolvi poterit, demissa ab uno angulorum in latus oppositum linea homogenia perpendiculari; commode, scilicet, ut haec dato angulo fiat opposita.
4. In omni Triangulo plano tres anguli duobus rectis seu 180 grad sunt aequales. Ideo datis trianguli rectilinei duobus angulis, tertius est complementum datorum ad duos rectos seu 180 grad.
5. In Triangulo sphaerico tres anguli duobus rectis sunt majores. Ubi notandum, quod etsi de quovis sphaerico triangulo Geometrice & ἀκριβῶς, verum fuerit: tamen in exili admodum triangulo sphaerico, ubi nullum laterum unum gradum excesserit, vix ac ne vix quidem excessus talium trium angulorum supra duos rectos dignoscatur, & ideo huiusmodi sphaerici trianguli solutio a plani analysi non differat.
6. Linea recta incidens in parallelas, angulos hinc inde aequales facit.
7. Si intra triangulum rectilineum uni laterum parallela ducatur, secat reliqua latera proportionaliter. Fiunt enim sic utrobique triangula aequiangula, & ideo latera proportionalia habentia.
8. Quia omnis ratiocinatio fit per lineas rectas, perspicuum est in analysi trianguli plani, pro angulis; in sphaerici vero pro angulis simul & arcubus seu lateribus, eorum sinus, id est, subtensarum in Circulo semisses, vel Tangentes, vel etiam secantes, substitui. Hae autem lineae quaenam fuerint, & quibus modis analysi accommodari debent, breviter nunc exponendum est.

Sinuum Tangentium & Secantium Definitiones.

Super A centro describatur Circulus BC, & in uno ejus Quadrante toti Pragmatriae suffecturo, concipiatur punctum quodcunque D, ducaturque AD radius, & ad oppositos Circuli Diametros DE & DF. Quoniam igitur Sinus rectus anguli seu arcus alicujus definiri potest, Linea recta a termino arcus propositi, sub eundem perpendiculariter in radium descendens, erit DE Sinus rectus arcus concepti DC, seu anguli DAC. Item DF Sinus rectus complementi arcus DC, id est arcus DB, seu anguli DAB.

Porro quia Sinus versus anguli seu arcus alicujus recte dici potest, Portio Semidiametri a termino sinus recti, in ea , ad .peripheriam continuata: igitur sinus versus arcus DC erit linea EC. Item Sinus versus complementi arcus DC, seu arcus DB, est linea FB. Notandum autem, quod licet sinus versi; quos nunc descripsimus, apud Maginum & alios in usu sint; nos tamen illis posthabitis, rectos perpetuo usurpamus. Tantum de sinibus vel lineis intra Quadrantem Circuli: Sequitur de Tangentibus, quippe lineis extra Circulum, item Secantibus per Circulum ductis.

Ulterius, ab A centro Circuli, per terminum arcus propositi D, linea AD infinite educatur, & erigantur a terminis diametri perpendiculares lineae CG, & BH , incidentes in infinite eductam AH. Quoniam igitur Tangens peripheriae alicujus est linea recta extremo Diametri (quippe ad quam dicta peripheria pertingit) perpendicularis in radium per arcus dati terminum continuatum; erit CG Tangens arcus CD, seu anguli DAE; item BH Tangens arcus ipsius complementi, nempe BD, seu anguli BAD.

Denique Secans peripheriae, quia recta linea est per peripheriae datum terminum in Tangentem ejusdem ducta, erit AG Secans arcus propositi CD, seu anguli DAE: Sed & AH Secans complementi ejusdem est, seu arcus BD, vel anguli BAD.

Hactenus Sinuum Tangentium & Secantium definitiones fuere; sequuntur; quae ex illis in analysin trianguli propositi emanant.

Enunciata.

1. Dato arcus alicujus Sinu, Tangente, vel etiam Secante; datur in Canone ejusdem arcus complementi ad grad. 90 Sinus, Tangens,.& Secans; ut dato D E sinu recto arcus C D , ipse arcus C D datur ,.& ideo complementum ejus DB,.& per consequens Sinus rectus hujus D F. Idem in Tangentibus.& Secantibus ex Canone acquirendis contingit, ut heic nil nisi usus expetatur; cui quoque emendatio pro secundis minutiis commendabitur, quum ad primas saltim, vel earum particulas, numeri se extendant.
2. Omnis anguli Sinus rectus·proportionalis est lateri a quo idem angulus subtenditur;.& contra.
   Quare etiam per conversionem terminorum in regula proport. ut sinus anguli unius dati ad sinum anguli alterius ; sic latus unum datum ad latus aliud quaesitum eorum, quae eosdem subtendunt trianguli angulos.
   Hoc vero Enunciatum, cujus usus in analysi creberrimus est, per 7 Theor. praeced. sic demonstratur.
   Sit triangulum quodvis ABC,.& producatur AB latus in E, ut AE fiat aequalis BC. Porro factis AE & BC sic aequalibus, iisque radiis constitutis, describatur arcus EH, qui est mensura anguli ad A, cujus sinus rectus est EF;.& arcus BG, qui est mensura anguli ad C, cujus sinus rectus est BD. Igitur intra Triangulum rectangulum AEF, quoniam BD parallela est basi EF, erit ut AB latus oppositum angulo ad C, ad BD sinum rectum anguli ejusdem: Sic AE latus, id est, ex hypothesi, BC , quod opponitur angulo ad A , ad sinum rectum ejusdem anguli, nempe EF ; quod erat ostendendum.
3. Si angulus datus obtusus fuerit, cum ejus complemento ad semicirculum, hoc est, 180 grad. operandum est.
4. In omni triangulo rectangulo posito uno laterum circa angulum rectum radio seu sinu toto, erit alterum circa rectum Tangens anguli sibi oppositi, ut in figura penultima huc revocata. Nam posito latere trianguli rectanguli A E D radio A E, erit D E tangens anguli DA E. Aut posito DE radio, erit A E tangens anguli ADE. per 7 Theor. hujus.
5. Ex eodem ratiocinio, radius AC est medium proportionale inter G C tangentem arcus D C.& tangentem complementi ejus B H. Nam ut C G ad AC, sic AB.ad BH.
6. Radius est medium proportionale inter secantem anguli.& sinum rectum ejusdem anguli, ut in eadem figura. Nam ut A G secans anguli ad A, est: ad A C radium, sic rursus AD radius est ad D E sinum rectum ejusdem anguli ad A.
   Igitur in triangulo sphaerico rectangulo, ut radius AD se habet ad sinum anguli D A E, nempe DE, sic se habet A H secans anguli reliqui ADE , seu FA D, ad secantem lateris A E, id est:, lateris oppositi angulo reliquo ad D.
   Quoniam per haec pauca Enunciata, velut ratiocinationis quaedam directoria, analysis trianguli propositi ferme peragitur, proinde, dum compendio studemus, caeteris proportionibus , quae e sinibus tangentibus.& secantibus inter se multifariam adhuc elici potuissent, supersedendum fuit. Tantum de primo membro.

Doctrina Prosthaphaeretica.

Regulae aurea ubique absolvendae accommodata.

Fundamentum Prosthaphrereseos est, ut radius seu sinus totus, nempe numerus 10000000, ( vel ad plures siphras extensus) primo loco inter data Regulae aureae proportionis constituatur.

Radius autem inter διδόμενα conceditur, ut in triangulis rectangulis; vel non conceditur, ut in caeteris unica instituta proportione contentis. Rursus modo radius datur, vel primo loco Regulae, uti requiritur, apparet; vel saltim aliquo sequentium,.& ideo heic translatione indiget. Quare juxta hanc considerationem Doctrina. haec ordine proponitur,.& ad tres Regulas generales restringitur.

Prima Regula Prosthaphaereseos.

Quando radius primum obtinet Regulae locum ,.& duo sequentes termini sunt Sinus recti; perficitur prosthaphaeresis pro inventione termini quasi hoc modo.

1. Minor datorum reliquorum arcus,.& complementum majoris invicem addantur.& subtrahantur,.& tam summae quam differentia: arcuum quaerantur Sinus recti.
2. Si minor arcus complemento majoris fuerit major, vel aequalis, semissis aggregati Sinuum erit quartus terminus quaesitus. Ergo heic Sinus inventi invicem adduntur, &c.
3. Sin vero minor arcus complemento majoris minor fuerit, semissis differentiae erit quartus terminus quaesitus. Ergo heic Sinus inventi ab invicem subtrahuntur &c.

Demonstratio.& exemplum casus prioris.

Praecedentis praecepti declaratio in praesenti Diagrammate.& adjecto exemplo satis manifesta est. Sit major arcus datorum DE grad. 65, minor vero FgG gra. 54, quorum ille angulus est BAC; hic latus BA trianguli rectanguli BCA, cujus mensura est arcus FG, seu saltim sinus rectus ejusdem;.& angulus ad C rectus; propositum est hinc invenire latus BC,.& arcum eidem correspondentem; quod facile contingit per Enunciat. 2..& 1.

Idem per prosthaphaeresin.

Apodixis haec est, ut FH subtensa arcus FH ex aggregato.& differentia, cujus summa dupla est arcus dati minoris FG, est ad FN , summam ex aggregati.& differentiae Sinibus: Sic dimidium FH, hoc est, FL vel BA ad dimidium FN, id est FR seu BC quaesitum, per Theorem. 7.

Demonstratio.& Exemplum casus posterioris.

Sit data primum obliquitas Solis maxima grad. 23 minut. 32, quae in adjecto Diagrammate per arcum D G, seu angulum B AC repraesentatur. Sit quoque major arcus datus BF grad. 50, cujus sinus rectus est: T F seu AB. Igitur in Triangulo rectangulo ACB quaeritur hinc sinus B C, unde postea ejus arcus constat, nempe declinatio Solis congruens 20 gr. 2. Facile autem per7 Theor. BC habetur hoc modo:

Sed per prosthaphaeresin hoc modo:

Apodixis.& hic ex ipso Diagrammate patet, ac notis numerorum transactioni adscriptis. Nam quum oporteat RM aequalem esse B C: Erit primum ut F H ad dimidium F B; sic F N ad dimidium ejus F R. Sublata vero MN de F M, remanet L M, cujus semissis est R M aequalis B C.

Porro quum sinus totus primum regulae locum obtinet,.& unus sequentium terminorum, vel etiam ambo, non sunt sinus recti, sed tangentes vel alii quicunq; numeri, modo non fuerint radio majores; tunc illis qui non sunt Sinus recti adduntur ad finem siphrae sufficientes, ut Sinibus aequentur,.& si e Tabula Sinuum hisce arcus congruentes quaerantur, ac si Sinus recti essent, ac tractentur juxta praescriptam regulam primam prosthaphaereseos;.& rursus numero quarto quaesito provenienti tot Siphrae auferantur, quot prius erant adjectae.

Exemplum I.

Sit trianguli plani rectanguli A B C data; praeter angulum rectum ad C, ·etiam Basis B A 351 p. Item angulus ad A grad. 24 1 quaeritur ex hisce latus B C.

Regula juxta 2 Enunciatum ita stabit.

Sed prosthaphaeresis ita habet, juxta 2 Casum.

Ergo sublatis ultimis quatuor siphris, quaesitum latus B C est: 143 P· fere.

Exemplum 2, ubi neuter sequentium terminorum est sinus rectus.

Sit in adjecto Orthogonio AB C, latus C A datum 8 p. angulus .autem ad A gr. 36 mi. 53; Ergo per 4 Theor. erit angulus ad B grad. 5 3 minut. 7 dum triangulum propositum planum fuerit, Sed si absque hoc angulo ex datis quaeratur latus B C, invenitur illud per 4 Enunciat. posito enim C A radio, erit B C Tangens anguli dati ad A; Nam

Prosthaphaeresis autem in hoc exemplo ex praecedente admonitione talis est.

Haec transfiguntur juxta 1 casum regulae, hoc modo:

Remotis igitur a sine sex siphris, provenit latus B C 6 p. Postremo, quando sequentes termini, dati radio majores reperiuntur, aut alter duntaxat major erit, aut uterque. Si alter tantum radio major fuerit, dividatur ille per radium, retentis scilicet in eodem tot numeris,qui siphrls in radio gradibus pares fuerint; & quotiente servato, cum retentis pro sinu recto ponendis proceditur.

Facta autem prosthaphaeresi, multiplicatur datus minor numerus per Quotientem prius servatum; factus inde ad inventum semissem additur,.& provenit quartus Quaesitus.

Exemplum

In apposito Triangulo rectangulo Sphaerico A B C , dantur praeter rectum angulum ad C, etiam angulus ad A grad. 30 cum latere opposito B C grad. 23 min. 30. Unde quaeritur latus A C , per 4 Enunciat. Nam

Per Prosthaphaeresin sic praxis expeditur.

Quando vero uterque sequentium terminorum datorum radio major fuerit; Dividatur uterque seorsim per radium servatis quotis ; &; abscissorum quaerantur e tabula Sinuum arcus, per quos prosthaphaeresis juxta praescripta perficitur, invento autem semissi adduntur facti, qui fiunt tum ex quoto tertii numeri in residuum secundum, tum ex quoto secundi in totum tertium , aut versa vice, si iubet. Aggregatum autem ex illis tribus dabit quartum Quaesitum.

Exemplum.

Sit in triangulo A B C, angulo recto ad C, data Basis AB gra. 60 , angulus autem ad A grad.30.

Ex his quaeratur angulus reliquus ad B. Ergo per 5.& 6 Enunciata est:

Idem per prosthaphaeresin ex praescriptis.

Additus factus ex quoto tertii, nempe unitate, in residuum secundi 0000000, qui ideo est 0000000, .seu nullus;& ex tertio toto, nempe 17320508, per 2, utputa quorum de secundo. Est igitur in hoc exemplo idem factus, scilicet 34641016 quartus Quaesitus ut prius.

Succedit etiam in hisce Calculus, si demantur a fine numeri qui majores sunt radio, donec ad Sinus rectos redigantur.

Item si Tangens vel Secans sicubi in proportionem incidens, se duobus siphris ultra radium Circuli extenderit, ut primus ad Sinistram pro quoto habeatur, & ultimus ad dextram rejiciatur, reliqui vero pro Sinu recto sumantur. Srd praxis in hisce non tam praecise quaesita dabit , nisi arcus pro secundis rectissime fuerint emendati, & ex Opere Palatino depromti. Quod etiamsi pragmatriae Superiori contingat: tamen adhuc in illa prosthaphaeresis certior erit, & a vero sensibiliter non differet.

His igitur exemplis quae reliquimus , omnes casus prosthaphaereseos includuntur, ubicunque radius primum regulae locum obtinuerit.Et certe quanquam interdum exiguum aut nullum Compendium prosthaphaeresis afferat, ut in postremis hujus regulae casibus; tamen jucundum est,.& ad xxx utile, illam sic universalem efficere, ut factus ex duobus quibuslibet numeris ad multiplicandum propositis per solam additionem.& Subductionem obtingat. Quae praxis admodum expedita est:, quam soli Sinus recti, ut in primis exemplis, suffecerint.

Secunda Regula Prosthaphaereseos.

Allgemeine Lehrsätze.

die zur Berechnung der Dreiecke dienen.

Die geometrischen Lehrsätze sind zur Lösung der Dreiecke aufgestellt, entweder werden sie äußerlich betrachtet und deswegen erste und allgemeinere genannt, oder zur Vollendung in Verzeichnisse eingehen, die die Untersuchungen der Dreiecke durch Zahlen darlegen; und deshalb sehr besonders sind, da sie ja einzig auf Sinus, Tangens und Sekans beschränkt sind. Diese aber, zum Unterschied der höheren, werden unsere Sätze genannt.

Die Lehrsätze.

1. Eine gerade oder kreisförmige Linie, die auf eine gleichartige trifft, erzeugt zwei gleiche Winkel zwischen den beiden Geraden.
   Also zu einer gegebenen jener, ist das Komplement zum Halbkreis der anderen gegeben oder zu 180°.
2. Die Winkel an der Spitze sind gleich; deshalb sind durch einen gegebenen der vier Winkel, die am Schnittpunkt zweier gleichartiger Linien gebildet werden, die drei übrigen gegeben, der erste an sich: denn sie sind Komplemente des gegebenen zum Maß des ganzen Kreises, ferner insbesondere durch den vorausgeschickten Satz.
3. Jedes vorgeschlagene Dreieck kann in zwei rechtwinklige zerlegt werden, durch das Lot von einem Winkel auf die gegenüberliegende Seite; passend nämlich, dass der rechte Winkel dem gegebenen gegenüber läge.
4. In jedem ebenen Dreieck sind drei Winkel gleich zwei rechter Winkel, oder 180°. Deshalb sind in einem geradlinigen Dreieck zwei Winkel gegeben, ist der dritte das Komplement zu den beiden rechten oder 180°.
5. In einem sphärischen Dreieck sind drei Winkel größer als zwei rechte. Wo anzumerken ist, was auch über irgendein sphärisches Dreieck geometrisch und genau wahr gewesen wäre: denn in einem ziemlich schmalen sphärischen Dreieck, wo keine der Seiten ein Grad überstiege, kaum oder nie, würde zwar ein so großer Überschuss der drei Winkel über die beiden rechten gefunden werden, und deshalb unterscheidet sich die Lösung irgendeines sphärischen Dreiecks von der Berechnung eines ebenen nicht.
6. Eine gerade Linie, die Parallelen schneidet, erzeugt daher hier gleiche Winkel.
7. Wenn innerhalb eines geradlinigen Dreiecks eine Parallele zu einer Seite gezogen wird, schneidet sie die übrigen Seiten proportional. Denn so entstehen auf beiden Seiten gleichwinklige Dreiecke, und deshalb haben sie proportionale Seiten.
8. Weil jede Berechnung für Winkel durch gerade Linien gemacht wird, wird in der Untersuchung der ebenen Dreiecke offenbar; bei sphärischen aber zugleich durch Winkel und Bögen oder Seiten, wird deren Sinus, d. i. im Halbkreis der Sehnen, oder Tangenten oder auch Sekanten, ersetzt. Aber welche diese Linien gewesen wären, und auf welche Weise sie der Untersuchungsmethode angepasst werden müssen, wird jetzt kurz dargestellt.

Die Definitionen von Sinus, Tangens und Sekans.

Um den Mittelpunkt A wird ein Kreis BC gezeichnet, es ist ausreichend, zu Vereinfachung in einem dessen Quadranten, wird irgendein Punkt D genommen, und der Radius AD gezogen, und zu den gegenüberliegenden Durchmessern des Kreises DE und DF. Weil demnach der Sinus des Bogens oder irgendeines Bogens bestimmt werden kann, wird eine gerade Linie vom Endpunkt eines ausgewählten Bogens, senkrecht auf denselben auf dem Radius gefällt, DE wird der Sinus des gewählten Bogens DC sein, oder des Winkels DAC. Ebenso ist DF der Sinus des komplementären Bogens DC, d. i. des Bogens DB, oder des Winkels DAB.

Weil ferner der Versin irgendeines Winkels oder Bogens recht genannt werden kann, ist der Abschnitt des Halbmessers vom Ende des Sinus auf jener zur Kreislinie fortgeführten: also wird der Versin des Bogens DC die Strecke EC sein. Ebenso der Versin des zu DC komplementären Bogens, oder der Bogen DB, ist die Linie FB. Es ist aber anzumerken, was obgleich die Versine, welche wir jetzt beschrieben haben, sind bei Magini und anderen im Gebrauch; wir stellen jene hintan, und verwenden jedoch den echten Sinus. So viel zum Sinus oder den Linien innerhalb des Quadranten des Kreises: es folgt zu den Tangenten, nämlich den Linien außerhalb des Kreises, ebenso zu den durch den Kreis hindurch gezogenen Linien, den Sekanten.

Weiterhin, die Linie AD aus dem Mittelpunkt des Kreises A durch den Endpunkt D des gewählten Bogens wird unendlich herausgezogen, und eine senkrechte Linie CG vom Schnittpunkt des Durchmessers errichtet, und die Linie BH, die die ins Unendliche verlängerte Linie AH schneiden. Weil demnach der Tangens irgendeines Durchmessers eine gerade Linie außerhalb der Kreisbahn ist (er berührt nämlich die genannte Kreislinie) die senkrecht auf dem fortgeführten Radius durch den Endpunkt des gegebenen Bogens ist; CG wird der Tangens des Bogens CD sein, oder des Winkels DAE; ebenso ist BH der Tangens des komplementären Bogens selbst, nämlich BD oder des Winkels BAD.

Schließlich ist der Secans periphär, weil er eine gerade Linie ist vom gegebenen Endpunkt der Kreisbahn zum Tangens desselben gezogen, es wird AG der Sakans des gewählten Bogens CD sein, oder des Winkels DAE. Aber auch AH ist der Sekans dessen Komplements, oder des Bogens BD, oder des Winkels BAD.

Insoweit sind die Definitionen des Sinus, Tangens und Sekans gemacht worden; und es folgen welche sich aus diesen bei der Berechnung des gewählten Dreiecks ergeben.

Die Sätze.

1. Zu dem Sinus, Tangens oder auch Sekans irgendeines Winkels, wird im Verzeichnis desselben Winkels der Sinus, Tangens und Sekans des Komplements zu 90° gegeben; wie dem gegebenen Sinus DE der Bogen CD, ist der Bogen CD selbst gegeben, und deshalb dessen Komplement DB, und folglich der Sinus dessen DF. Ebenso gelingt es, die Tangenten und Sekanten aus der Liste zu verschaffenden, wenn sie zum Gebrauch verlangt werden, wem auch die Verbesserung durch Sekunden und Minuten empfohlen werden wird, wenn mindestens zur Hauptrolle oder deren Teile, sich die Zahlen erweitern.
2. Jeder Sinuswert des Winkels steht im Verhältnis der Seite von dem derselben Winkel aufgespreizt wird; und umgekehrt.
   Deshalb durch Umwandlung der Terme nach der Regel der Proportionalität, dass der Sinus eines einzigen gegebenen Winkels zum anderen Sinus wird; so eine gegebene Seite zur anderen gesuchten Seite derer, die von deren Winkel des Dreiecks aufgespreizt werden.
   Aber dieser Satz, dessen Gebrauch sehr häufig ist, wird mit der 7. Theorie so bewiesen.
   Es sei ABC irgendein Dreieck, und die Seite AB wird bis E gezogen, sodass AE gleich lang ist wie BC. Weiterhin AE und BC so gleich gemacht, und von deren aufgestellten Radien wird der Bogen EH beschrieben, der das Maß ist des Winkels bei A, dessen Sehne ist EF, und der Bogen BG, der das Maß für den Winkel bei C ist, dessen Sehne ist BD. Deshalb ist im rechtwinkligen Dreieck AEF, weil BD parallel ist zur Basis EF, wird die Seite AB das Gegenüberliegende zum Winkel bei C, zur Sehne BD sein desselben Winkels. So die Seite AE, das ist, nach der Hypothese, BC, das dem Winkel bei A gegenüberliegt, zur Sehne desselben Winkels, nämlich EF, was zu beweisen war.
3. Wenn der gegebene Winkel ein stumpfer gewesen wäre, ist mit dessen Komplement zum Halbkreis, das ist, 180°, zu arbeiten.
4. In jedem rechtwinkligen Dreieck ist eine der Seiten am rechten Winkel auf dem Radius gelegen, oder dem ganzen Sinus, es wird der andere rechte am Tangens des Winkels sich gegenüber sein, wie in der hier vorletzten Abbildung zurückgerufen. Denn durch die gelegte Seite des Dreiecks im Viereck AED mit dem Radius AE, wird DE der Tangens des Winkels DAE sein. Ober DE auf den Radius gelegt, wird AE der Tangens des Winkels ADE nach dessen 7. Lehrsatz sein.
5. Mit demselben Schluss ist der Radius AC die mittlere Proportionale zwischen dem Tangens GC des Bogens DC und dessen komplementären Tangens BH. Denn wie CG zu AC, so verhält sich AB zu BH.
6. Der Radius ist die mittlere Proportionale zwischen dem Sekanten des Winkels und dem wahren Sinus desselben Winkels, wie in derselben Abbildung. Denn wie sich der Sekans des Winkels an A zu dem Radius AC verhält, so wie andererseits der Radius AD zum wahren Sinus DE desselben Winkels bei A.
   Deshalb gilt im rechtwinkligen sphärischen Dreieck, wie sich der Radius AD zum Sinus des Winkels DAE verhält, nämlich DE, so verhält sich der Sekans AG des übrigen Winkels ADE, oder FAD, zum Sekans der Seite AE, d. ist, der gegenüberliegenden Seite zum übrigen Winkel bei D.

Da nun durch diese wenigen Sätze, gleichsam einige Richtungsweisende der Berechnung, wird die Berechnung in der Regel ausgeführt, also solange wir uns der Sammlung widmen, werden die anderen Verhältnisse, die aus den Sinus, Tangens und Sekanten untereinander an vielen Stellen auftreten immer gefunden werden können, es wird darüber hinwegzusetzen sein.

Die Lehre von der Prosthaphaerese.

Die überall passenden darzustellenden goldenen Regeln.

Die Grundlage der Prosthaphaerese ist, dass der Radius oder ganze Sinus, nämlich die Zahl 10.000.000 (oder um mehrere Ziffern ausgedehnt) an die erste Stelle unter den Gegebenen des Verhältnisses der goldenen Regel aufgestellt werde.

Der Radius aber wird unter den gegeben erlaubt, wie in den rechtwinkligen Dreiecken; oder nicht erlaubt, wie bei den übrigen die eine einzige aufgestellte Proportion erfordern. Wird andererseits nur der Radius gegeben, entweder an erster Stelle der Regel, ist offenkundig die Benutzung erforderlich; oder mindestens die irgendwohin nachfolgenden, verlangt es deshalb jetzt durch Umwandlung. Deshalb neben dieser Erwägung wird die Lehre in folgender Reihenfolge vorgestellt, und auf drei allgemeine Regeln beschränkt.

Die erste Regel der Prosthaphaerese.

Quelle: Astronomia Danica des Christian Longomontanus.

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