Kursbestimmungen

Wenn man bei einem Törn weiss, wohin man will, bestimmt man zunächst den Kurs, mit dem man los­se­geln will. Dabei unterscheidet man drei Berechnungsmethoden, die man je nach Entfernung vom Start- zum Zielort anwendet. Als nächstes interessiert bei der Törnplanung die Entfernung zwischen den beiden Orten. Die kann man aber in keinem der hier dargestellten Fälle aus der Karte ablesen: man muss immer rechnen.

1. Für kurze Entfernungen, d. h. wenn man die Erdoberfläche als eben annehmen kann, verwendet man die Methode der mittleren Breite. Diese Berechnung entspricht dem Ablesen des Winkels zwischen der Nordrichtung und der Verbindungslinie der beiden Orte auf der Seekarte. Die Mer­ca­tor-Projektion ist ja winkelgetreu, aber nicht flächengetreu (damit kann man den Kurs, aber nicht die Entfernung direkt aus der Karte entnehmen).
2. Ist die Entfernung zu groß und muss man die Kugelgestalt der Erde berücksichtigen, rechnet man nach der Methode der Loxodrome. Die wird man anwenden, wenn Start- und Zielort nicht auf der gleichen Karte eingezeichnet sind.
3. Schließlich für sehr weite Entfernungen — wenn man über mehrere Zeitzonen den kürzesten Weg sucht — verwendet man die Methode der Orthodrome.

• Einfluß der Strömung,
• Einfluß der Bewegung des Ziels (Treffpunktproblem),
• Besteckversetzung,
• Einfluß des Windes.

Aus den Ortskoordinaten nach der Methode der mittleren Breite

Für unsere Betrachtungen ist die Erde eine Kugel (was ja exakt nicht stimmt: sie ist kartoffelförmig). Wenn die Entfernungen nicht allzu groß sind, kann man die Erdoberfläche aber als eben betrachten, ohne einen zu großen Fehler zu machen; das Rechnen wird dann einfacher. In der Praxis nimmt man die einfachere Methode der mittleren Breite bis zu einer Entfernung von etwa 100 sm (andere Quellen sagen bis 10°, also 600 sm), darüber die Methode der der gemittelten Breite (Loxodrome), die von einer Kugelgestalt der Erde aus­geht. Nun sei nicht verschwiegen, dass die mit einer der beiden genannten Methoden er­mittelte Ent­fer­nung nicht notwendigerweise die kürzeste ist. Auf der Kugel liegt die kürzeste Entfernung zwischen zwei Orten auf einem Großkreis, so dass man als dritte Berechnungsart noch die Großkreisnavigation (Or­tho­dro­me), nach den Regeln der sphärischen Trigonometrie, kennen sollte, wenn man nicht auf oder dicht an einem Meridian — also nach Norden oder Süden — segelt.

Für eine Fahrt von Nor­der­ney (53° 42′ N, 007° 10′ E) nach Helgoland (54° 11′ N, 007° 53′ E) kann man die Erde als eben ansehen. Es ergibt sich das linke Bild in recht­wink­ligen Kar­ten­ko­or­di­na­ten.

Das blaue, recht­wink­lige Dreieck hat die Katheten a Län­gen­dif­fe­renz und b Brei­ten­dif­fe­renz. Die Hy­po­te­nuse ist die Ent­fer­nung, der Win­kel α der Kar­ten­kurs­win­kel.

Wegen der Verzerrung der Mercatorprojektion ent­spricht die Bodenminute (ein 21.600stel des Erd­umfangs) nur auf einem Meridian oder dem Äquator einer Seemeile. Die Breitenkreise sind Kleinkreise und haben einen geringeren Um­fang, deshalb ist die Bogenminute dort kürzer und gehorcht der Be­zie­hung Δx = Δλ·cos φ, wobei φ die geographische Breite ist. (Ableitung des Zusammenhanges siehe unter Sphärische Trigonometrie.) Zur Vereinfachung setzt man zur Entfernungsberechnung die mittlere Breite φ_m ein, die das arithmetische Mittel der beiden Ortsbreiten von Anfangs- und Endhafen der Reise ist

• φ_m = (53° 42′ + 54° 11′) ⁄ 2 = 53° 56,5′ = 53,94°.
• a = Δλ′ = Δλ · cos φ_m = 43′ · cos (53,94°) = 25′, (Δλ in Bogenminuten oder sm),
• b = Δφ = 29′ (in Bogenminuten oder sm).

Der Winkel α des Dreiecks ergibt sich aus der Definition des Tangens: tan α = Gegenkathete ⁄ Ankathete.

• tan α = (Δλ · cos φ_m) ⁄ Δφ = a ⁄ b = 25′ ⁄ 29′ = 0,862 ⇒ α = 41,6°.

Die Länge c der Hypotenuse (Abstand der Orte) erhält man aus der Definition des Sinus als

• .

Beispielrechnung

Mit dem Rechenschieber führt man die Berechnung in zwei Schritten aus.

1. Läufer über φ_m auf Skala S, 1 (oder 10) auf C unter Läuferstrich, Läufer auf Δλ verschieben (Er­geb­nis 1 merken); wenn  Δλ′ kleiner als Δφ, auf Skala C unter den Läuferstrich (über das Er­geb­nis der Multiplikation) Läufer auf das Ergebnis der Division (1 oder 10 auf C) und auf T den Winkel ab­le­sen. IstΔλ′ kleiner als Δφ, so liest man auf T den Cotangens (von rechts) ab.
2. Sinus des Winkels merken und Läufer über Ergebnis 1 auf D einstellen und den gemerkten Si­nus­wert auf C unter den Läuferstrich stellen. Unter 1 (oder 10) auf C liest man auf D das Ergebnis ab. Da die Werte der Winkelfunktionen für Winkel < 90° immer kleiner als 1 sind, ist die Abschätzung der Kommastelle abhängig von Δλ in Bogenminuten.
   Nun muss man nur noch aus dem Dreieckswinkel auf den Kartenkurs schließen.

Dabei muss man unterscheiden, ob die Längendifferenz der Ortskoordinaten größer ist als die Brei­ten­dif­ferenz, oder umgekehrt und ob man den Tangens oder den Cotangens abgelesen hat (wenn man die klei­nere durch die größere Zahl teilt, erhält man mit dem Tangens den spitzesten Winkel!).

• a = Δλ < b = Δφ, Tangens ablesen,
• oder
• a = Δλ > b= Δφ, Cotangens ablesen.

Vom Dreieckswinkel zum rechtweisenden Kurs

Aus den Ortskoordinaten nach der Methode der gemittelten Breite (Loxodrome)

Die oben dargestellte Berechnung der Längendifferenz in Bogenminuten in das Längen­maß Seemeilen liefert genaue Werte nur, solange die Änderung des Cosiunuswertes linear angesehen werden kann, also für kleine Breitendifferenzen. Eine genauere Methode, Bogenminuten auf Brei­ten­gra­den in Seemeilen umzurechnen benutzt Kugelkoordinaten. Die verwendeten Formeln werden durch In­te­grie­ren der Differentialgleichung für die Kurslinie auf der Kugel erhalten.

Die Loxodrome schneidet alle Meridiane unter dem gleichen (Kurs-)Winkel. Wenn man sie über den Zielpunkt weiter fährt, bewegt man sich auf einer Spirale — man kommt also nicht am Startpunkt an, son­dern nähert sich einem der Pole. Wenn der Winkel, unter dem die Loxodrome die Meridiane schneidet, 90° beträgt, bewegt man sich i. A. auf einem Breitenkreis (Kleinkreis, nur der Äquator ist auch ein Groß­kreis. Beträgt der Schnittwinkel 0°, so bewegt man sich auf einem Meridian (Großkreis).

Ableitung der Formeln für Kugelkoordinaten

Die Erde wird in erster Näherung — und besonders für diese Berechnungen — als Kugel mit dem Radius R = 6.371 km angesehen. Die Kugelkoordinaten benutzen einen Vektor vom Erdmittelpunkt mit der Länge R des Erdradius, dessen Lage im Kugelraum durch die Längen- und Breitenwinkel angegeben wird. Man stellt sich nun vor, dass dieser Vektor von den Koordinaten des Startortes zu denen des Zielortes gedreht wird. Dabei muss der Breitenwinkel, der durchlaufen wird, der Differenz der Breitenkoordinaten und der Längenwinkel der Längendifferenz der Orte folgen. Im "ebenen" Dreieck gilt für die Entfernung (Hypo­te­nuse) wieder die Tangensdefinition.

Die Länge der Strecke b entlang des Brei­ten­krei­ses ist b = R · Δλ · cos φ_A, die Länge der Strecke a entlang des Meridians ist a = R · Δφ. (Δλ und Δφ im Bogenmaß!)

Damit ergibt sich für den Winkel β im Dreieck ABC (der Dreieckswinkel ist unabhängig von R):

In dieser Gleichung trennt man die Variablen und erhält:

Nun differenziert man diese Gleichung, d.h. man ersetzt die Änderung der Winkelkoordinaten des Vek­tors durch infinitesimale Änderungen.

Dann integriert man über den gesamten Winkel­än­derungs­bereich. Das Integral der Differentialgleichung schaut man in einer Integraltabelle nach, meine Schul­formel­samm­lung liefert:

Nun ist wegen der Beziehungen zwischen Winkelfunktionen sin x = cos (90° - x), sodass wir erhalten:

Die Integration der aufgestellten Differentialgleichung von λ_A bis λ_B liefert also:

Die Länge der Seite c = Δs ergibt sich aus der Definition des Sinus:

Kürzeste Strecke aus den Ortskoordinaten (Orthodrome)

Um auf der kürzesten Verbindungslinie von A nach B zu kommen, muss man sich auf der Kugel auf einem Groß­kreis bewegen. Für Segler hat das den Nachteil, dass der Groß­kreis jeden Meridian unter einem an­de­ren Winkel schneidet, man also den Kurs kontinuierlich ändern muß (zur Berechnung der Loxo­drome, die einen konstanten Kurs fahren läßt).

Die Orthodrome liegt definitionsgemäß auf einem Groß­kreis und ist eine Seite im sphä­rischen Pol­drei­eck ABPol. Zur Be­rech­nung der Länge der Kurs­linie wendet man den Seiten­cosinus­satz an in der Form:

• cos c = sin φ_A · sin φ_B + cos φ_A · cos φ_B · cos (λ_A - λ_B)

Zur Berechnung der Winkel im Poldreieck (die ja dem Start- und Ankunftskurs entsprechen) formen wir die Gleichungen des Seiten­sinus­satzes, die α bzw. β enthalten, um in:

Für die Berechnung der Kurse zwischen Start und Ziel wird nun ein Fixpunkt auf dem Kurs-Groß­kreis de­fi­niert, der ein rechtwinkliges sphä­risches Dreieck erzeugt, indem man vom Nordpol das (sphärische) Lot auf den Kurs-Groß­kreis fällt. Man nennt den Fixpunkt Scheitelpunkt, weil er dem Nordpol am näch­sten liegt, also der "höchste" Punkt des Groß­kreises ist. (Liegt auf der Kurslinie Land, über das man nicht segeln kann, nimmt man die der Kurslinie an nächsten liegende Landspitze als Scheitel und macht die Berechnung zwei Mal.) Vom Scheitelpunkt aus kann man die Längen von Wegpunkten mit vorgegebener Breite auf dem Groß­kreis berechnen und den Winkel, unter dem der Groß­kreis den Meridian des Weg­punk­tes schneidet. Aus diesem ergibt sich der Steuerkurs am Wegpunkt.

Der Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt ist eine Ecke in jedem der beiden recht­winkligen Dreiecke APS und BPS. Im Dreieck APS sind bekannt der Winkel α und die Seite AP. Im Dreieck BPS sind bekannt die Seite BP und der Winkel PBS (= 180° - β). In beiden Dreiecken ist der Winkel bei S gleich 90°. Mit den drei bekannten Stücken eines Drei­ecks kann man alle anderen berechnen.

Man stellt die Gleichungen für die unbekannten Seiten AS und BS auf (s. Neper´schen Regel und setzt sie in die Beziehung AS = AB + BS ein (AB ist die orthodrome Entfernung von A und B!). Nach ein bißchen Arithmetik erhält man:

Dabei sind φ_A die Breite des Start- oder Zielortes (oder eines anderen Ortes auf dem Groß­kreis), und α ist der Startwinkel.

Die Wegpunktkoordinaten

Da der Winkel PS(WP) definitionsgemäß ein rechter ist, sind alle roten Dreiecke, die einen Wegpunkt auf der (grünen) Kurslinie als Ecke haben, rechtwinklig. Bekannt sind in diesen Dreiecken der Winkel SP(WP) = λ_S - λ_WP, und die Seiten P(WP) = 90° - φ_WP und PS = 90° - φ_S. Mit der Neper´schen Regel findet man leicht die Formel:

Mit der analogen Überlegung erhält man als Formel für den Dreieckswinkel α_WP beim Wegpunkt die Formel:

Beide Formeln eignen sich vorzüglich zur Berechnung mit dem Rechenschieber!

Beispielrechnung

Die Fahrt soll von Porto in Portugal

• φ_Porto = 41° 09′ 28,0″ N = 41,1578°,
• λ_Porto = 008° 38′ W = -8,6333°
• (südliche Breiten und westliche Längen werden negativ angegeben)

nach Port of Spain auf Trinidad gehen

• φ_PoS = 10° 40′ 19,9″ N = 10,6722°,
• λ_PoS = 061° 32′ W = -61,5333°

Die Entfernung c beträgt cos c = sin φ_Porto · sin φ_PoS + cos φ_Porto · cos φ_PoS ·  cos (λ_Porto - λ_PoS) =
= sin 41,1578° · sin 10,6722° + cos 41,1578° · cos 10,6722° · cos (-8,6333° - (-61,5333°)) =
= 0,6581 · 0,1852 + 0,7529 · 0,9827 · 0,6032 = 0,1219 + 0,4463 = 0,5678.
⇒ c = 55,4° = 3323′ = 3.323 sm.

Der Startkurs in Porto ergibt sich aus der Berechnung:

• 
• oder linearisiert:
• cos β = [sin φ_PoS - sinφ_Porto · cos c] ⁄ cos φ_Porto · sin c =
• = [sin 10,6722° - sin 41,1578° · 0,4618] ⁄ cos 41,1578° · sin 55,4° =
• = [0,1852 - 0,6581 · 0,5678] ⁄ 0,7529 · 0,8231 =
• = - 0,1888 ⁄ 0,6197 = - 0,3042
• ⇒ β = 107,71°

Das Ergebnis ist β = 108°. Den Startkurs (relativ zur Nordrichtung) erhält man offensichtlich, wenn man den Dreieckswinkel von 360° abzieht: Startkurs = 360° - 108° = 252°.

Und der Ankunftskurs in Port of Spain wird berechnet aus der Formel:

Das Ergebnis ist α = 46,87°; der navigatorische Sachverstand sagt einem: der Steuerkurs ergibt sich durch Addition von 180°: Ankunftskurs = 180° + 46,9° = 227°.

Die Breite des Scheitelpunktes wird berechnet mit der Formel:

• cos φ_S = sin α · cos φ_PoS = sin 46,87° · cos 10,6722° = 0,7172;
  ⇒ φ_S = 44,1762°

Die Länge des Scheitelpunktes kann man nicht direkt berechnen (s. weiter oben auf dieser Seite), weil sie kein Winkel im Poldreieck ist. Aber das Dreieck APS ist ein rechtwinkliges Poldreieck, d. h. der Winkel ASP beim Scheitel ist 90°. Man findet also eine Beziehung für die Längendifferenz von Endpunkt zum Scheitel Δλ = λ_PoS - λ_S:

• tan (λ_S - λ_PoS) = cot α ⁄ sin φ_PoS =
• = cot 46,87° ⁄ sin 10,6722° = 0,937 ⁄ 0,185 = 5,065;
• ⇒ λ_S - λ_PoS = 78,83°, und daraus
• λ_S = 78,83° + (-61,53°) = 17,3°

Die Koordinaten des Scheitels sind also:
φ_S = 44° 10′ 34,3″ N,
λ_S = 017° 18′ E.

Berechnung von Wegpunkten auf der orthodromen Kurslinie:

Mit den Koordinaten des Scheitelpunktes und der vorgegebenen Länge λ_WP eines Wegpunktes kann man mit dem Rechenschieber bequem die Breite φ_WP des Wegpunktes nach der oben angegebenen Formel berechnen. Da eine Segelstrecke von 3.300 sm etwa 3 Wochen dauert, wurden die Längen für 25 Weg­punkte berechnet. Dann kann man täglich den Kurs ändern.

Wenn man mit dem Rechenschieber diese Berechnung ausführt, legt man zunächst die Längen der ge­wünschten Wegpunkte in einer Tabelle fest, und berechnet im Kopf die Differenz λ_S - λ_WP und trägt des Cosinus dieser Differenz in die Tabelle ein. Da die Breite φ_WP des Wegpunktes nach der Formel

• tan φ_WP = tan φ_S · cos(λ_S - λ_WP)

berechnet wird, in der tan φ_S eine Konstante für die Orthodrome ist, stellt man den Läufer über den Wert des Tangens der Scheitelbreite, und schiebt den Wert für cos(λ_S - λ_WP) aus der Tabelle auf der Zunge un­ter den Läuferstrich. Unter der 1 (oder 10) auf der Zunge findet man auf der Tangensskala den Winkel der Breite des Wegpunktes. Wenn man dessen Cosinus gleich notiert, kann man den zugehörigen Kurs­win­kel nach der Formel leicht auszurechnen:

• sin α = cos φ_S ⁄ cos φ_WP

Auf der Orthodrome ändert man den Kurs im Verlaufe des Törns kontinuierlich von 252° bis 227°. Berechnet man den Kurs nach der Loxodrome, beträgt der konstante Kurswinkel 237°. Die Entfernung zwischen Porto in Portugal und Port of Spain auf Trinidad ist bei konstantem Kurs 3.348 sm, auf der Orthodrome nur 3.323 sm. Der Entfernungsunterschied beträgt also etwa 25 sm! Aber da man auf so einer Reise ja wenig zu tun hat, kommt die Rechnerei gelegen — für knapp einen Tag Zeitersparnis.

Interessanter wird der Unterschied beim Fliegen. Von New York (40° 43′ N, 74° 0′ W) nach Frankfurt ( 50° 7′ N, 8° 41′ O), oder nach Tokyo (35° 41′ N, 139° 46′ O) beträgt die Einsparung je ungefähr 70 sm. Aber auf diesen Strecken kann man nicht segeln.

Fahrt in der Strömung

Fährt man z. B. im Tidenrevier, wird man in aller Regel mit dem Tidenstrom konfrontiert. Da man die Strömung mit Bordmitteln nicht messen kann, entnimmt man ihre Richtung und Geschwindigkeit der Karte bzw. dem Gezeitenatlas. Da die Stromgeschwindigkeit abhängig ist vom Alter der Gezeit, muss man ein wenig rechnen oder einfach schätzen.

Die nebenstehende Skizze stellt das Problem dar. Vom Startort zum Zielort entnimmt man den Kartenkurs KaK der Karte, oder berechnet ihn aus den Kartenkoordinaten der beiden Orte. Die Strömung — in der Skizze kommt sie schräg von vorn — be­ein­flusst nicht nur die Richtung (KüG), die das Boot tatsächlich nimmt, sondern auch seine wirkliche Geschwindigkeit (FüG). Um überhaupt am Zielort anzukommen, muss man also gegen die Strömung steuern. Die Kurskorrektur kann man natürlich be­rech­nen.

Die roten Pfeile im Parallelogramm mit der FüG auf der Ver­bin­dungs­linie Start-Ziel als Diagonale stellen die Ein­heits­vek­toren dar. Ihre Länge ent­spricht der Strecke, die das Boot in einer Stunde zurück legt. Wir erkennen ein Dreieck mit den bekannten Seiten FdW und Strom­ge­schwin­dig­keit, und dem bekannten Winkel der Strö­mungs­rich­tung β. Gesucht sind im Vektordreieck die Seite FüG und der Winkel α.

Die beiden kongruenten Dreiecke sind im allgemeinen schief­wink­lig, d. h. kein Winkel ist recht (= 90°), allerdings sind nicht alle Winkel notwendiger Weise spitz (< 90°). Man kann also zur Be­rech­nung prin­zi­piell den Sinussatz anwenden. Da der bekannte Winkel β der län­geren der beiden be­kann­ten Seiten Strom und FdW gegenüber liegt, handelt es sich um das dritte Grund­problem (es ist sicher anzunehmen, dass die Fahrt durch das Wasser schneller ist als die Strömungs­ge­schwindigkeit, also liegt β der längeren Seite gegenüber).

• 
• Mit dem gesuchten Winkel α lautet die Formel also:
• 

Die FüG ergibt sich nach dem Sinussatz mit dem Winkel γ, der sich aus der Winkelsumme im Dreieck und der Summe der beiden anderen Winkel ergibt: γ = 180° - (α + β). Da er i. d. R stumpf (γ gt; 90°) ist, nimmt man mit dem Rechenschieber den Supplementwinkel 180° - γ: γ = α  + β. Zusammengefaßt verwendet man den Sinussatz in der Form:

und erhält die Länge des Vektors FüG als Strecke, die man pro Stunde tatsächlich zurück legt.

Beispielrechnung

Ein Boot segelt mit FdW = 6 kn (FdW) den rwKaK = 45° durch einen Kanal zwischen 2 Inseln, in der ein Strom mit SG = 2,5 kn in rwRichtung 95° versetzt zu einem 30 sm entfernten Ort. Welchen Kurs muss das Boot zum Ziel steuern, und wie lange braucht es zum Ziel?

Besonders einfach ist die Rechnung mit einem Unique Navigator, der hat nämlich Sinus- und Tan­gens­skalen auf dem Körper und auf der Zunge. Man kann also durch Sinus bzw. Tangens dividieren. Man bildet also die Verhältnisse FdW ⁄ sin α = SG ⁄ sin α auf dem Rechenschieber ab:

1. Man stellt den sin β unter die FdW,
2. schiebt den Läufer auf die Strömungsgeschwindigkeit,
3. und liest auf der Sinuskala den Wert für α ab.
   • 
   • bewegt man den Läufer auf die Winkelsumme β + α  auf der Sinusskala und liest die FüG ab.

und hat mit einer Einstellung beide Aufgaben gelöst!

• Man liest ab:
• α = 18,6°,
• WüG = 7,3.

Mit FüG = FdW ⁄ WüG · FdW = 6 ⁄ 7,3 · 6 = 4,94 erhält man die tatsächliche Geschwindigkeit über Grund zu 5 sm.

Etwas umständlicher ist die Rechnung mit einem gewöhnlichen Rechenschieber. Man muss die Glei­chun­gen des Sinussatzes umformen:

• 
• Man stellt die "10" der C-Skala über "50°" auf der Sinusskala und schiebt den Läufer über "2,5" auf C.
• 
• unter den Läuferstrich schiebt man die "6" der Zunge, und liest unter "10" auf C den Winkel auf der Sinusskale ab: α = 18,6°.
• 

Zur Berechnung der FüG lösen wir den Sinussatz nach FüG auf:

• 
• Zuerst lesen wir den sin β = sin 50° = 0,766 auf dem Rechenschieber ab und notieren den Wert, dann stellen wir die "10" der Zungenskala C über 69° auf der Sinusskala und schieben den Läufer auf die "6" auf C
• 
• unter den Läuferstrich stellen wir 0,766 auf C und lesen auf D die FüG = 7,3 sm ab.
• 

Mit einem üblichen Rechenschieber muss man zwar ein Zwischenergebnis aufschreiben, aber die Rechnung ist trotzdem sehr einfach und schnell.

Der wahre und der scheinbare Wind

Bereits im ersten Segelkurs lernt man, dass es drei Winde gibt: den wahren, den scheinbaren und den Fahrt­wind. Gesegelt wird nach dem scheinbaren Wind — jedenfalls, was die Segelstellung angeht. In den Lehrbüchern findet man dann ein Diagramm und die Erklärung, der scheinbare Wind ergäbe sich durch Vek­tor­ad­di­tion aus Fahrt- und wahrem Wind.

Der wahre Wind bläst aus einer Richtung mit einer Stärke, die man beim still­liegen beobachtet. Den Fahrtwind fühlt man, wenn man bei Flaute unter Mo­tor fährt. Bewegt man sich in einem Windfeld, dann kann man die beiden „Win­de“ nicht getrennt wahrnehmen: es ergibt sich der scheinbare Wind als Mischung der beiden vorgenannten Luftbewegungen.

Da „Wind“ beschrieben wird mit Richtung und Stärke, kann man ihn durch einen Pfeil symbolisieren: der Winkel zu einer vor­ge­ge­be­nen Re­fe­renz­rich­tung (beim Segeln die Nordrichtung) gibt die Wind­rich­tung an (die Pfeilspitze zeigt in die Richtung, in die der Wind bläst!), die Länge des Pfeiles die Wind­stär­ke.

Solche Pfeile nennt man Vektoren, und man kann nach den Re­geln der Vek­tor­al­ge­bra mit ihnen „rechnen“. Grafisch addiert man Vek­to­ren, in dem man parallel verschiebt bis das Ende des einen mit der Spitze des anderen zu­sam­men­fält. Das Ad­di­tions­er­geb­nis ist dann der Pfeil vom Ende des zweiten zur Spitze des ersten Vektors. (Die nebenstehende Abbildung ist als Prinzipbild für die Vektorzerlegung gedacht; sie gibt nicht die wahren Verhältnisse wieder.)

Mit den Augen eines Trigonometriekenners sieht man ein schiefwinkliges Dreieck mit drei Seitenlängen (den Wind­stär­ken) und drei Winkeln (den relativen Wind­rich­tun­gen). Man könnte also mit dem Rechen­schieber rechnen (wenn ’mal die Windanlage an Bord aus­ge­fal­len ist).

In dem Dreieck kennt man drei Stücke: den Winkel α (das ist die beobachtete Windrichtung relativ zur Bootsachse d. i. zum rechtweisenden Kurs rwK), die Stärke des Fahrtwindes (das ist die Geschwindigkeit im Wasser FdW) und die Stärke des scheinbaren Windes (die misst man mit dem Anemometer an Bord). Gesucht sind in der Regel Richtung und Stärke a des wahren Windes. Die Richtung (zu Nord) ergibt sich aus dem Winkel β, der ja der Kurswinkel rwK ist.

Wir kennen also zwei Seiten und den ein­ge­schlos­se­nen Winkel — eine typische Aufgabe für den Co­si­nus­satz:

Für den Rechenschieber einfacher wird die Rechnung, wenn man diese Formel umformt. Man ergänzt mit +2·b·c und -2·b·c und stellt etwas um:

• a² = (b² + 2·b·c + c²) - (2·b·c - 2·b·c·cos α) =
• = (b + c)² - 2·b·c·(1 + cos α)
• Da (1 + cos α) = 2·cos²(α ⁄ 2) erhält man:
• a² = (b + c)² - 4·b·c·cos²(α ⁄ 2)

Mit dieser Formel muss man nur (b + c)² und 4·b·c·cos²(α ⁄ 2) notieren. Den Winkel β zwischen Kurs rwK und wah­rem Wind berechnet man mit dem Sinussatz (die Quo­tien­ten aus dem Sinus jeden Winkels und der ge­gen­über­lie­gen­den Seite sind gleich).

Beispielrechnung

Ein Boot segelt mit 6 kn auf Kurs rwK = 35°. Der scheinbare Wind weht mit 11 kn (4 Beaufort) aus 330°. Aus welcher Richtung und mit welcher Stärke bläst der wahre Wind?

Der Winkel α beträgt α = (360° - 330°) + 35° = 65°. Mit α und den Seiten b (Stärke des scheinbaren Windes) und c (Stärke des Fahrt­windes) berechnen wir die Seitenlänge a, die die Stärke des wahren Windes repräsentiert.

• a² = (b + c)² - 4·b·c·cos²(α ⁄ 2)

Der erste Term der Gleichung ergibt (b + c)² = (11 + 6)² = 17² = 289. Den cos(α ⁄ 2) = cos(65° ⁄ 2) = cos 32,5° = 0,84 quadrieren wir (= 0,71), mul­ti­pli­zieren mit 4 · 11 · 6 und erhalten 187,8. Die Differenz der beiden Terme ist a² = 289 - 187,8 = 101,4; a = 10,1. ⇒ Der wahre Wind bläst mit 10 kn = 3 Bft.

Nach dem Sinussatz ist sin β = b ⁄ a · sin α = 11 ⁄ 10,1 · sin 65° = 0,987; β = 80°. Damit ist der Winkel γ zwischen scheinbarem und wahrem Wind 180° - 65° - 80° = 35°, und der wahre Wind kommt aus 330° - 35° = 295° (achterlicher als der scheinbare).

Berechnung von Richtung und Stärke des scheinbaren Windes aus Kurs und wahrem Wind

Interessanter könnte die Frage sein, mit welchem Kurs kann ich bei maximal möglicher Geschwindigkeit bei gegebener (wahrer) Windstärke und -richtung segeln? Die meisten Yachten fahren mit 80° bis 100° zum scheinbaren Wind am schnellsten. Die Frage bei der Törnplanung ist ja oft, wie steuere ich optimal, wenn das Ziel gegen den vorhergesagten Wind liegt?

Im Grunde ist das eine Optimierungsaufgabe. Man berechnet den Kurs bei einer Geschwindigkeit, die man erreichen mit 80° zum scheinbaren Wind erreichen kann. Stellt fest, wie weit man beim Kreuzen fah­ren muss und wie lange man zu dieser Strecke braucht. Im zweiten Schritt nimmt man den Kurs höher am Wind, und berechnet, wie lange man bei der dadurch reduzierten Geschwindigkeit brauchen wird. Nach ein paar Iterationen wird man einen optimalen Kurs gefunden haben.

Messung in der Praxis

Dieses Beispiel ist analog der Anleitung von Snodgrass "Wind and Drift Problems" gestaltet. Ein Besucher, Herr C. N., dieser Seite wies mich darauf hin, dass man bei einer Wende die Richtung des wahren Winds auf dem Kompass im den Augenblick ablesen kann, wenn der Wind genau von vorne kommt. Die Ge­schwin­dig­keit des wahren Winds erhält man aus der Differenz der Anzeigen von Logge und Anemometer.

Besteckversetzung

Beim Segeln — besonders im Gezeitenrevier mit seinen Gezeitenströmungen — wird man bei einer Pei­lung nach längerem Koppeln feststellen, dass der beobachtete Ort O^b und der gekoppelte Ort O^k nicht übereinstimmen. Der Grund liegt in der Wind- und Stromversetzung, die man beim Koppeln nicht quan­titativ berücksichtigen konnte. Durch das Bestimmen der Besteckversetzung kann man (wenn die Strom­ver­setzung bekannt ist) ein Gefühl für die Windversetzung des Bootes bekommen.

Die Besteckversetzung BV ist Richtung und Entfernung des ge­kop­pel­ten Schiffsortes O^k zum beobachteten Ort O^b. Die Skizze zeigt das rechtwinklige Dreieck (γ = 90°), in dem die Berechnung durch­ge­führt wird. Es ist außer γ kein Drei­ecks­win­kel bekannt. Die Be­rech­nung von Kurs und Entfernung aus den Koordinaten der Orte liefert die Lösung. Die Rechnung liefert den Winkel der BV α^BV, der sich mit β zum Gegenkurs des rwK ergänzen muss.

Die Lösung des Problems ist das Berechnen von Richtung und Ent­fer­nung der beiden Orte O^b und O^k nach der bekannten Me­tho­de der mittleren Breite.

(Diese Aufgabe wird von Burns Snod­grass in seinem Buch Teach Yourself the Slide Rule für die Flugzeugnavigation er­läu­tert: dort gibt es ja nur den Wind, der das Flugzeug ab­lenkt. Deshalb be­kommt man dort auch die Versetzung für die Kurs­kor­rek­tur zum weiteren Koppeln heraus. Beim Navigieren eines Segelbootes fin­det man nur die Summe der Strom- und Wind­ver­set­zung.)

Beispielrechnung

Eine Jacht steuert den Kurs rwK = 262° und bestimmt den Schiffsort durch Peilung:

• O^{b: 2200}:  φ = 54° 34,0′ N, λ = 011° 22,9′ E.

Der gekoppelte Ort hat die Koordinaten:

• O^{k: 2200}: φ  = 54° 3l,0′ N, λ = 011° 23,4′ E.

Bestimme die Besteckversetzung.

Berechnen wir zunächst die Richtung und die Entfernung nach der Methode der mittleren Breite.

Berechnen des Winkels α^BV aus dem Verhältnis von Längendifferenz und Breitendifferenz, wobei man die kleinere Zahl durch die größere dividiert und aus tan α^BV den Winkel α^BV = 5,3° erhält.

tan α^BV = (Δλ · cos φ_m) ⁄ Δφ = (0,008° · cos 54,542°) ⁄ 0,050° = 0,0046° ⁄ 0,05° = 0,093 ⇒ α^BV = 5,3°

• β = (rwK - 180°) - α^BV = (262° - 180°) - 5,3° = 76,7°
• α = 180° - 76,7° - 90° = 13,3°
• sin α^BV = Δλ ⁄ BV ⇒
• BV = Δλ ⁄ sin α^BV = 0,3′ ⁄ sin 5,3° = 3,24 sm

Die Besteckversetzung um 22:00h beträgt 3,24 sm in Richtung 5° 18′ .

Das Treffpunktproblem

Das Handbuch "Seemannschaft", 24. Auflage, erläutert an dem folgenden Beispiel, wie man das Problem, einem bewegliches Ziel zu begegnen, durch Kartenkonstruktion lösen kann. Viel einfacher geht das mit dem Sinussatz und dem Rechenschieber.

Eine Motoryacht hat um 12.10h über Sprechfunk an Norddeich Radio gemeldet, dass sie infolge Motor­schadens in Not sei; um 12:15h gibt sie ihren Standort bei Leucht-Heultonne 1 an (φ = 53° 52,1′ N und λ = 007° 58,9′ E). Sie teilt gleichzeitig mit, dass sie bei ESE-Windstärke 6 und ablaufendem Wasser mit 2,5 kn in Richtung rw 290° treibe. Welchen Kurs muss eine andere Yacht, die um 12:15h bei der Leuchttonne Scharhörnriff steht (φ = 53° 58,6′ N und λ = 008° 08,8′ E), bei einer Fahrt von 8 kn steuern, und wie viel Zeit wird sie benötigen, um die in Not befindliche Yacht zu treffen?

In so einem Falle wird man zunächst die bei­den Standorte in der Karte eintragen und die Peilung zum Havaristen feststellen. In der Skizze erkennt man sofort, dass die Fahrt­strecke, bzw. die Fahrt­ge­schwindig­keit des Helfers, zum Treffpunkt (grün) sich zu der Strecke (bzw. die Abtreibgeschwindigkeit), um die die rote Jacht abgetrieben wird (rot), verhält wie sin α zu sin γ. Der Winkel zwischen Südrichtung und Peilung der Jacht um 12:15h (42°, berechnet) und der Winkel zwischen Peilungslinie und Nordrichtung beim Havaristen ist identisch (Winkel an Pa­ral­le­len!). Damit ist der Winkel γ gleich 360° - Triftwinkel + Peilung = 360° - 290° + 42° = 112°. Daraus errechnet man den Winkel α, um den die Peilung um 12:15h zu korrigieren ist um den Steuerkurs zu erhalten. In der ersten Berechnung kann man die FdW (8 kn) des Helfers als seine Geschwindigkeit ein­setzen.

In einem zweiten Schritt wird dann die FüG des Helfers, die durch Strom- und Wind­be­schic­kung (2,5 kn, 290°) sich von der FdW unter­schei­den wird, berechnet und die erste Rechnung mit realistischen Ge­schwin­dig­keiten wiederholt.

Die Kurse des Havaristen und den Steuerkurs trägt man nun in die Karte ein, misst die Entfernung vom Standort zum Schnittpunkt und kann mit der FüG die voraussichtliche Zeit bis zum Treffen ausrechen. Die Entfernung der Schiffsorte um 12:15 h wird mit 8,74 sm berechnet; es gibt keine einfache Möglichkeit, die Entfernung zum Treffpunkt auszurechnen: das macht man mit der Karte.

Wenn während der Fahrt zum Treffpunkt der Wind dreht oder sich die Stromrichtung und -geschwindigkeit ändern, muss man die Berechnungen erneut vom Koppelort ausführen. Nach "Seemannschaft" wird zeich­ne­risch der Kurs zu 239° ermittelt. Dieser Kurs enthält aber noch keine Korrektur durch Beschickung, die im Rechenbeispiel gleich der Abdrift des Havaristen gesetzt wurde. Der durch Abdrift — wie sie hier festgestellt wurde — auf die Entfernung von ca. 10 sm verursachte Fehler beträgt knapp 0,5 sm.

In Burns Snodgrass Anleitungsbuch Teach Yourself the Slide Rule wird das Treffpunktproblem ebenfalls ausgeführt.

© Rainer Stumpe, URL: www.rainerstumpe.de/
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