Des
Apollonius von Perga
sieben Bücher über Kegelschnitte

nebst dem durch Halley wieder hergestellten
achten Buche.

Deutsch bearbeitet von
H. Balsam.

Dabei ein Anhang, enthaltend:

Die auf die Geometrie der Kegelschnitte bezüglichen Sätze aus Newtons "philosophiae naturalii principia mathematica."

Berlin, 1861.
Verlag von Georg Reimer.

Erste Erklärungen.

Wenn von einem Punkte nach dem Umfang eines Kreises, der nicht in derselben Ebene mit dem Punkt liegt, eine gerade Linie gezogen und nach beiden Seiten verlängert wird, und, indem der Punkt fest bleibt, im Umfang des Kreises herumgeführt wird, bis sie wieder an den Ort zurückkehrt, von wo sie sich zu bewegen anfing, so nenne ich die von der geraden Linie beschriebene Oberfläche, welche aus zwei Theilen besteht, die am Scheitel unter sich zusammenhängen, und welche beide ins Unendliche fortgehen, da ja die erzeugende gerade Linie ins Unendliche verlängert ist,

1. Die Kegeloberfläche.
2. Den Scheitel derselben den festen Punkt.
3. Die Achse die gerade Linie, welche durch den festen Punkt und den Mittelpunkt des Kreises gezogen wird.
4. Kegel nenne ich den Körper, der von dem Kreis und dem Theil der Kegeloberfläche, der zwischen dem Kreis und dem Scheitel liegt, begrenzt wird.
5. Scheitel des Kegels den Punkt, der auch Scheitel der Kegelfläche ist.
6. Achse die Linie, welche vom Scheitel nach dem Mittelpunkt des Kreises gezogen wird.
7. Grundfläche den Kreis selbst.
8. Gerade Kegel nenne ich diejenigen, deren Achse senkrecht auf der Grundfläche steht.
9. Schiefe Kegel, deren Achse nicht senkrecht auf der Grundfläche steht.
10. Von jeder in einer Ebene befindlichen krummen Linie nenne ich einen Durchmesser eine solche Gerade, welche, von der krummen Linie ausgehend, alle mit einer gewissen Linie parallelen Sehnen, die in derselben gezogen werden, halbiert.
11. Scheitel den Endpunkt des Durchmessers, der sich in der krummen Linie befindet.
12. Jede der erwähnten parallelen Linien eine zu dem Durchmesser gehörige Ordinate.
13. Auf ähnliche Weise nenne ich auch, wenn zwei in einer Ebene liegende krumme Linien gegeben sind, einen Querdurchmesser eine solche Linie, die alle in jeder derselben einer gewissen Geraden parallel gezogenen Sehnen halbiert.
14. Scheitel der Linien nenne ich die Endpunkte der Durchmesser auf ihnen.
15. Längsdurchmesser zweier solcher Kurven nenne ich eine solche Gerade, die, zwischen beiden liegend, alle mit einer gewissen Geraden parallelen von beiden Kurven begrenzten Linien halbiert.
16. Konjugierte Durchmesser einer und zweier Kurven nenne ich zwei solche Linien, von denen jede ein Durchmesser ist, und die der andern parallel gezogenen Linien halbiert.
17. Achse einer und zweier Kurven nenne ich eine solche Linie, die ein Durchmesser ist, und senkrecht auf den von ihr halbierten Linien steht.
18. Konjugierte Achsen einer oder zweier Kurven nenne ich gerade Linien, die konjugierte Durchmesser sind, und senkrecht auf einander stehen.

• 
  Lehrsatz 1. Die geraden Linien, welche vom Scheitel, einer Kegeloberfläche nach solchen Punkten, die auf ihr liegen, gezogen werden, befinden ich ganz in ihr.
  Sei eine Kegelfläche mit dem Scheitel A gegeben und in ihr ein Punkt B angenommen, sei ferner die gerade Linie ACB gezogen; so wird behauptet, dass ACB auf der Oberfläche liegt. Angenommen, sie liege nicht darin; so sei DE die gerade Linie, die die Fläche erzeugt, FE der Kreis, durch den sie geführt wird. Wenn nun A fest bleibt und die gerade Linie DE durch den Kreis EF herumgeführt wird, muss sie einmal den Punkt B treffen. Dann hätten also zwei gerade Linien die selben zwei Endpunkte, was unmöglich ist. Also liegt die von A nach B gezogene Linie nicht außerhalb der Kegelfläche und folglich in derselben.
• 
  Lehrsatz 2. Wenn in einer der beiden am Scheitel zusammenstoßenden Flächen zwei Punkte angenommen und durch eine gerade Linie verbunden werden, diese aber weder selbst, noch in ihrer Verlängerung den Scheitel trifft, so liegt sie innerhalb der Oberfläche, ihre Verlängerung aber ausserhalb derselben.
  Sei eine Kegelfläche mit dem Scheitel A gegeben, der Kreis, um den die erzeugende Linie herumgeführt wird, sei BC, und in einer der beiden am Scheitel zusammenstossenden Flächen seien zwei Punkte D und E angenommen und durch eine gerade Linie verbunden, so behaupte ich, dass DE innerhalb der Fläche liegt, ihre Verlängerung aber ausserhalb. Man ziehe AD, AE und verlängere sie, bis sie den Grundkreis in den Punkten B,C schneiden, und ziehe BC, so wird BC innerhalb des Kreises, also auch innerhalb der Kegelfläche liegen. Man nehme nun in DE einen beliebigen Punkt F an, verbinde AF und verlängere es, bis es BC im Punkte G trifft. Weil nun G innerhalb der Kegelfläche liegt, wird auch AG und also auch der Punkt F innerhalb derselben liegen müssen; und auf die nämliche Weise wird gezeigt werden können, dass alle an dem Punkte von DE innerhalb der Kegelfläche liegen; daher liegt also DE selbst innerhalb. Man verlängere nun DE zum Punkte H, so wird behauptet, dass EH ausserhalb der Kegelfläche sich befinde. Sei, wenn es möglich ist, ein Punkt H derselben nicht ausserhalb, und werde AH gezogen, so muss dieselbe verlängert, entweder den Umfang des Kreises oder innerhalb desselben die Ebene treffen; was nicht geschehen kann, denn sie trifft die verlängerte BC hier im Punkte K. Also liegt EH ausserhalb der Kegelfläche. Die Linie DE selbst nun liegt also innerhalb, ihre Verlängerung ausserhalb der Kegelfläche.
• 
  Lehrsatz 3. Wenn ein Kegel von einer durch den Scheitel gelegten Ebene geschnitten wird, so ist der Schnitt ein Dreieck.
  Sei ein Kegel mit dem Scheitel A gegeben, die Grundfläche der Kreis BC, und werde derselbe von einer Ebene durch den Scheitel A geschnitten, welche in der Kegelfläche die Linien AB, AC bildet, und in der Grundfläche die gerade Linie BC; so wird behauptet, dass ABC ein Dreieck sei. Die gerade Linie zwischen A und B muss aber nach § 1. in der Kegelfläche und zugleich auch in der schneidenden Ebene liegen nach der Erklärung der Ebene; also ist sie der Durchschnitt der beiden Flächen, auf dieselbe Weise AC, und BC ist eine gerade Linie als Durchschnitt zweier Ebenen; also ist ABC ein Dreieck. Wenn also ein Kegel von einer Ebene durch den Scheitel geschnitten wird, so ist der Durchschnitt ein Dreieck.
• 
  Lehrsatz 4. Wenn eine der beiden Flächen, die am Scheitel zusammenstoßen, durch eine der Grundfläche parallele Ebene geschnitten wird, so wird der Theil der Ebene, der innerhalb der Kegelfläche liegt, ein Kreis sein, dessen Mittelpunkt in der Achse ist; der Körper aber, der von diesem Kreise und demjenigen Theil der Kegelfläche begrenzt wird, welcher zwischen der schneidenden Ebene und dem Scheitel liegt, ist ein Kegel.
  Es sei eine Kegelfläche mit dem Scheitel A und dem Grundkreis BC gegeben, und es werde dieselbe durch eine dem Kreis BC parallele Ebene geschnitten, welche die Kegelfläche in der Linie DE durchschneidet; so wird behauptet, dass DE ein Kreis sei, der seinen Mittelpunkt in der Achse bat. Es sei der Mittelpunkt F des Kreises BC genommen und von F nach A gezogen, welche Linie der schneidenden Ebene in G begegne, ferner durch AF eine Ebene gelegt, welche den Grundkreis in der geraden Linie BC, die schneidende Ebene in der geraden DE trifft; endlich nehme man in der Linie DE auf der Kegelfläche einen beliebigen Punkt H, ziehe AH, verlängere es, bis es dem Grundkreis in K begegnet und ziehe GH und FK. Da nun die Ebenen DHE und BKC parallel sind, werden auch die in denselben befindlichen Durchschnittslinien DE und BC, sowie GH und FK parallel sein, weshalb
  1. FA : GA = FB : GD
  2. FA : GA = FK : GH
  3. FA : GA = FC : GE
  also: FB : GD = FK : GE, und da nun FA = FK = FC, muss auch GD = GH = GE sein.
  Da nun dasselbe von allen in DE auf der Kegelfläche angenommenen Punkten gezeigt werden kann, so ist bewiesen, dass die Durchschnittslinie DE ein Kreis ist und ihren Mittelpunkt in der Achse AF hat.
  Es erhellt ausserdem aus der Erklärung, dass der von dem Kreis DE und demjenigen Theil der Kegelfläche, der zwischen diesem Kreis und dem Scheitel A liegt, eingeschlossene Körper ein Kegel ist, und es ist zugleich gezeigt, dass der gemeinschaftliche Durchschnitt der schneidenden Ebene und des durch die Achse gelegten Dreiecks ein Durchmesser des in der schneidenden Ebene befindlichen Kreises ist.
• 
  Lehrsatz 5. Wenn ein schiefer Kegel durch eine Ebene geschnitten wird, die durch die Achse geht und senkrecht auf der Grundfläche steht und dann von einer zweiten, die senkrecht auf der ersten steht und von dem durch die erste gebildeten Achsendreieck ein ähnliches Dreieck dergestalt abschneidet, dass die Winkel an der Grundlinie verwechselt liegen, so ist der Durchschnitt der zweiten Ebene mit dem Kegel ein Kreis. Man nennt diesen Kreis einen Wechselschnitt.
  Es sei ein schiefer Kegel mit dem Scheitel A und der Grundfläche BC gegeben; derselbe werde durch eine auf der Grundfläche senkrechte und durch die Achse gehende Ebene geschnitten, welche das Achsendreieck ABC giebt, ferner durch eine zweite auf der Ebene ABC senkrechte Ebene, welche von dem Dreieck ABC nach dem Scheitel A zu ein ähnliches Dreieck AGK abschneidet, dessen Winkel an der Grundlinie aber verwechselt liegen, so nämlich, dass der ∠AKG = ∠ABC ist, und es sei der Durchschnitt dieser zweiten Ebene mit der Kegelfläche die Linie GHK; so wird behauptet, dass GHK ein Kreis ist.
  Man nehme in den Linien GHK, BC zwei beliebige Punkte H, L an und fälle von ihnen auf die zuerst gelegte Ebene des Dreiecks ABC Lothe, so müssen diese, weil die Ebenen lotbrecht stehen, die Durchschnittslinien BC,GK der beiden Ebenen BC und GHK mit ABC treffen. Seien also diese Lothe HF und LM. Es werde nun durch F mit BC eine Parallele DFE gezogen, so wird die durch FH und DE gelegte Ebene mit der Grundfläche parallel und also ihr Schnitt DHE in dem Kegel ein Kreis sein, dessen Durchmesser DE ist, also ist:
  1. HF² = DF · FE.
     Da ferner nach Annahme ∠AKG = ∠ABC, und ∠ABC = ∠ADE ist, ist das ΔEFK ~ ΔGFD, und also muss EF : GF = FK : DF oder
  2. EF · DF = GF · FK
  sein, also ist HF² = GF · FK.
  Da nun dasselbe für alle Punkte des Schnitts GHK bewiesen werden kann, ist gezeigt, dass dieser ein Kreis, und dass sein Durchmesser GK ist.
• 
  Lehrsatz 6. Wenn ein Kegel von einer durch die Achse gehenden Ebene geschnitten und von einem Punkt der Kegelfläche, der nicht in dieser schneidenden Ebene liegt, eine Parallele mit einem auf der Grundlinie des entstandenen Achsendreiecks in der Grundfläche errichteten Loth gezogen wird, so trifft diese Parallele die Ebene des Achsendreiecks, und wird, über diesen Durchschnitt hinaus bis wieder an die Kegelfläche verlängert, von derselben halbiert.
  Sei ein Kegel mit dem Scheitel A und dem Grundkreis BC gegeben und werde derselbe von einer durch die Achse gelegten Ebene geschnitten, so dass das Achsendreieck ABC entsteht; wird ferner von einem beliebigen Punkt M im Umfang des Grundkreises die Linie MN senkrecht gegen BC, und von einem beliebigen in der Kegelfläche angenommenen Punkt D die Linie DE parallel mit MN gezogen, so wird behauptet, dass DE der Ebene des Achsendreiecks ABC begegnet und, nach der andern Seite bis zu ihrem Durchschnitt mit der Kegelfläche verlängert, durch die Ebene des Dreiecks ABC halbiert werde.
  Man ziehe AD, verlängere es, bis es dem Umfang des Grundkreises in K begegnet, und fälle von K auf BC das Loth KHL, so wird KH parallel MN, also auch parallel DE sein. Man ziehe nun AH; da nun in dem Dreieck AHK DE parallel mit HK gezogen ist, muss es, verlängert, AH treffen und da AH in der Ebene ABC liegt, ist bewiesen; dass DE dieser Ebene begegnet; sei nun der Durchschnittspunkt F, und werde DF verlängert, bis es der Kegelfläche in G begegnet, so ist noch zu zeigen, dass DF = FG ist. Da aber die Punkte G und L sowohl in der Kegelfläche, als in der Ebene des Dreiecks AKH liegen, welche durch den Scheitel A des Kegels geht, müssen sie sich mit diesem in gerader Linie befinden. Nun ist aber in dem Dreieck AKL DG parallel der Basis gezogen, also KH : HL = DF : FG und da KH = HL, ist auch DF = FG. q. e. d.
• 
  Lehrsatz 7. Wenn ein Kegel von einer durch die Achse gelegten Ebene und zugleich von einer andern Ebene, deren Durchschnittslinie mit der Grundfläche senkrecht auf der Grundlinie des durch die erste Ebene entstandenen Achsendreiecks oder ihrer Verlängerung steht, geschnitten wird, so werden diejenigen Linien, welche vom Umfang des durch die zweite Ebene entstandenen Kegelschnitts, parallel der in der Grundfläche befindlichen Durchschnittslinie gezogen werden, die gemeinschaftliche Durchschnittslinie der beiden gelegten Ebenen treffen, und auf der andern Seite bis zur Kegelfläche verlängert, von dieser Durchschnittslinie halbiert werden. Wenn der Kegel gerade ist, so steht die in der Grundfläche befindliche Linie senkrecht auf der Durchschnittslinie der schneidenden Ebene und des Achsendreiecks, ist aber der Kegel schief, so ist das nur dann der Fall, wenn die Ebene des Achsendreiecks senkrecht auf der Grundfläche des Kegels steht.
  Sei ein Kegel mit dem Scheitel A und dem Grundkreis BC gegeben, und werde derselbe von einer durch die Achse gelegten Ebene in dem Dreieck ABC und von einer zweiten Ebene geschnitten, deren Durchschnittslinie DE mit dem Grundkreis senkrecht auf BC oder seiner Verlängerung steht. Sei nun der durch die zweite Ebene erzeugte Kegelschnitt DFE und FG ihr Durchschnitt mit der Ebene des Achsendreiecks, und werde endlich von einem beliebigen Punkt H des Kegelschnitts eine Parallele HK mit DE gezogen, so wird behauptet, dass HK die Linie FG schneidet, und darüber hinaus bis zum Kegelschnitt verlängert durch FG halbiert werde.
  Die Linie HK erfüllt genau die Voraussetzung des vorigen Lehrsatzes, weshalb die Richtigkeit der Behauptung erhellt. Es ist nun entweder der Kegel ein gerader, oder das Achsendreieck ABC senkrecht auf der Ebene des Grundkreises BC, oder keines von beiden der Fall.
  Sei nun erstens der Kegel ein gerader, so steht die Ebene ABC auf der Grundfläche BC senkrecht, und da DG senkrecht auf BC steht, muss es auf der Ebene ABC und also auf FG rechtwinklig sein. Derselbe Schluss wird noch Statt finden, wenn der Kegel nicht gerade, aber die Ebene des Achsendreiecks ABC senkrecht auf der Grundfläche BC ist. Ist nun aber keine von beiden der Fall, so kann DG nicht senkrecht auf FG stehen. Denn wäre DGF ein Rechter, so müsste, da DGB nach Annahme ein Rechter ist, DG ein Loth auf der Ebene ABC und also auch die Ebene BDC lothrecht auf ABC sein, was gegen die Annahme ist.
  Zusatz. Hieraus erhellt, dass die Linie FG ein Durchmesser des Kegelschnitts DFE ist, da sie alle in demselben einer gegebenen Richtung parallel gezogenen Linien halbiert; und es erhellt zugleich, dass ein Durchmesser die parallelen Linien, die er halbiert, unter schiefem Winkel durchschneiden könne.
• 
  Lehrsatz 8. Wenn ein Kegel von einer durch die Achse gelegten Ebene und von einer zweiten Ebene so geschnitten wird, dass die Durchschnittslinien dieser Ebenen mit der Grundfläche senkrecht auf einander stehen, der Durchmesser aber des durch die zweite Ebene entstandenen Kegelschnitts mit einer der an den Scheitel anstossenden Seiten des in der ersten Ebene liegenden Achsendreiecks entweder parallel ist oder jenseit des Scheitels des Kegels zusammentrifft, und wenn sowohl die Kegelfläche als die schneidenden Ebenen ins Unendliche erweitert werden, so setzt sich auch der Kegelschnitt ohne Ende fort und eine von einem beliebigen Punkt desselben mit der in der Grundfläche befindlichen Durchschnittslinie gezogene Parallele schneidet auf dem Durchmesser vom Scheitel an gerechnet immer eine gewisse Länge ab.
  Sei ein Kegel mit dem Scheitel A und der Grundfläche BC gegeben, und werde derselbe von einer durch die Achse gelegten Ebene so geschnitten, dass das Achsendreieck ABC entsteht und von einer zweiten Ebene, deren Durchschnitt DE mit der Grundfläche senkrecht auf BC steht, und welche mit der Kegelfläche die Durchschnittslinie DFE hat; der Durchmesser dieses Kegelschnitts sei FG, welcher mit AC entweder parallel ist, oder jenseit des Scheitels A zusammentrifft, so wird behauptet, dass sich der Kegelschnitt DFE ins Unendliche fortsetze, wenn die Kegelfläche und die schneidende Ebene ins Unendliche erweitert werden. Man verlängere zugleich die Linien AB, AC, FG, so werden nach Voraussetzung AC, FG über C und G verlängert niemals zusammentreffen. Sei nun H ein beliebiger Punkt der verlängerten FG und werde durch H die Linie KHL parallel mit BC und MHN parallel mit DE gezogen, so wird die durch KL, MN gelegte Ebene parallel der durch BC, DE gehenden Grundfläche des Kegels, und folglich ihr Durchschnitt mit der Kegelfläche ein Kreis sein. Da nun die Punkte D, E, M, N sowohl in der zweiten schneidenden Ebene als in der Kegelfläche liegen, so ist gezeigt, dass der Kegelschnitt bis zu den Punkten M, N sich fortsetzt, und also auch ins Unendliche sich fortsetzen wird, wenn sowohl die Kegelfläche als die schneidende Ebene gehörig erweitert werden.
  Es erhellt zugleich, dass es möglich ist, in dem Kegelschnitt durch eine Parallele mit DE jede beliebige Länge, vom Durchmesser FH von F gerechnet, abzuschneiden. Denn sei FX irgendeine gegebene LäRnge, so wird die durch X mit DE gezogene Parallele, wie eben von der durch H gelegten gezeigt ist, den Kegelschnitt in zwei Punkten schneiden müssen.
• 
  Lehrsatz 9. Wenn ein Kegel von einer Ebene, die beide Schenkelseiten eines Achsendreiecks trifft, und weder der Grundlinie parallel noch ein Wechselschnitt ist, durchschnitten wird, so ist der entstandene Kegelschnitt kein Kreis.
  Sei ein Kegel mit dem Scheitel A und der Grundfläche BC gegeben, und werde derselbe von einer Ebene, die weder der Grundfläche parallel noch ein Wechselschnitt ist, geschnitten, so dass der Kegelschnitt DKE entsteht, so wird behauptet, dass DKE kein Kreis sei. Angenommen er wäre ein Kreis, so erweitere man die schneidende Ebene, bis sie die Grundfläche in der Linie FG schneidet, und fälle vom Mittelpunkt H der Grundfläche BC ein Loth HG auf diese Durchschnittslinie; dann lege man durch HG und die Achse des Kegels eine Ebene, welche die Kegelfläche in den Geraden AB und AC trifft, so werden die Punkte D, E, in denen diese Geraden die schneidende Ebene DKE treffen, mit G in gerader Linie liegen, da sie in der Durchschnittslinie der Ebenen ABC, DKE liegen müssen. Sei nun K ein beliebiger Punkt des Kreises DKE, und werde durch K eine Parallele KL mit FG gezogen, so wird dieselbe nach § 7 in ihrem Durchschnittspunkt M mit DE halbiert, und da dieses von allen mit FG parallel gezogenen Sehnen des Kreises DKE gilt, muss DE ein Durchmesser dieses Kreises sein. Da also DE auf KM und folglich auch auf FG lotbrecht steht, ist FG und deshalb auch die Ebene DKE lotbrecht auf der Ebene ABC. Man ziehe nun noch durch M die Parallele NMX mit BC, so wird, da auch KL parallel FG ist, die durch KL, MX gelegte Ebene der Grundfläche parallel und also ein Kreis sein. Nun wäre:
  KM² = NM · MX = DM · ME, also ΔNMD ähnlich ΔMXE und Winkel ANX gleich Winkel AED, also der Schnitt DKE ein Wechselschnitt, was gegen die Annahme ist. Also ist gezeigt, dass DKE nicht ein Kreis sein kann.
• 
  Lehrsatz 10. Wenn in einem Kegelschnitt zwei Punkte angenommen werden, so wird ihre Verbindungslinie innerhalb des Kegelschnitts und deren Verlängerung ausserhalb desselben fallen.
  Nach § 2 fällt eine solche Verbindungslinie innerhalb des Kegels, also auch innerhalb des Kegelschnitts.
• 
  Lehrsatz 11. Wenn ein Kegel von einer durch die Achse gelegten Ebene und von einer zweiten Ebene so geschnitten wird, dass die Durchschnittslinien der beiden Ebenen mit der Grundfläche senkrecht auf einander stehen und wenn der Durchmesser des durch die zweite Ebene erhaltenen Kegelschnitts einer Schenkelseite des Achsendreiecks parallel ist, so ist das Quadrat einer von einem beliebigen Punkt des Kegelschnitts in der zweiten Ebene parallel der in der Grundfläche befindlichen Durchschnittslinie bis zum Durchmesser hin gezogenen Linie gleich dem Rechteck aus dem durch diese Linie vom Durchmesser nach dem Scheitel hin abgeschnittenen Stück und einer andern Länge, welche sich zu dem den Scheitel des Kegels mit dem des Kegelschnitts verbindenden Stück ebenso verhält wie das Quadrat der Grundlinie des Achsendreiecks zu dem Rechteck aus den beiden übrigen Seiten. Ein Kegelschnitt dieser Art heisst eine Parabel.
  Sei ein Kegel mit dem Scheitel A und der Grundfläche BC gegeben und werde derselbe von einer durch die Achse gelegten Ebene, die das Achsendreieck ABC bildet, und von einer zweiten Ebene geschnitten, deren Durchschnitt DE mit der Grundfläche senkrecht auf der Grundlinie BC des Achsendreiecks steht, und welche in der Kegelfläche die Linie DFE bildet, deren Durchmesser FG parallel. der Seite AC des Achsendreiecks ist; werde ferner in der zweiten Ebene von F aus unter rechtem Winkel gegen FG eine Linie FH gezogen, so dass FH : FA = BC² : BA · CA ist, und endlich von einem beliebigen Punkte K des Kegelschnitts bis zum Durchmesser hin eine Parallele KL mit der Linie DE; so wird behauptet:
  KL² = FL · FH.
  Man ziehe noch durch L die Parallele MN zu der Linie BC, so wird die durch KL, MN gelegte Ebene der Grundfläche parallel und ihr Durchschnitt mit der Kegelfläche ein Kreis sein; da nun nach Annahme DE senkrecht auf BC, ist auch KL senkrecht auf LM und also KL² = ML · LN. Es ist aber
  
  1. ML : FL = BC : AC,
  2. LN : FA = BC : AB, woraus
  3. ML · LN : : FL · FA = BC² : AC · AB
  oder nach Annahme
  4. ML · LN : FL · FA = FH : FA, und also:
  5. KL² = ML · LN = FL · FH. q.e.d.
  Die Linie FH oder die constante Seite des Rechtecks, dessen andere Seite die Abscisse ist, und welches dem Quadrat der Ordinate gleich ist, heisst Latus rectum oder Parameter. [zurück]
• 
  Lehrsatz 12. Wenn ein Kegel von einer durch die Achse gelegten Ebene und von einer zweiten Ebene geschnitten wird, so dass die Durchschnittslinien beider Ebenen mit der Grundfläche senkrecht auf einander stehen, und wenn der Durchmesser des durch die zweite Ebene entstandenen Kegelschnitts mit der einen Schenkelseite des in der ersten befindlichen Achsendreiecks jenseit des Scheitels des Kegels zusammentrifft, so wird das Quadrat einer von einem Punkt des Kegelschnitts bis zum Durchmesser hin parallel mit der in der Grundfläche befindlichen Durchschnittslinie gezogenen Ordinate gleich sein einem Rechteck, zu dessen einer Seite (der Länge) das Stück des verlängerten Durchmessers, das von dem Aussenwinkel des Achsendreiecks am Scheitel des Kegels abgeschnitten wird, dasselbe Verhältniss hat, als das Quadrat einer vom Scheitel des Kegels parallel dem Durchmesser des Kegelschnitts bis zur Grundfläche gezogenen Linie zu dem Rechteck der hierdurch in der Grundlinie des Achsendreiecks gebildeten Abschnitte, und dessen andere Seite (die Breite) die von der Ordinate auf dem Durchmesser abgeschnittene Abscisse ist, wenn dieses Rechteck noch vermehrt wird um ein anderes von gleicher Breite, das ähnlich und ähnlich gelegen ist mit einem andern, dessen Seiten das auf dem Durchmesser vom Aussenwinkel an der Spitze des Achsendreiecks abgeschnittene Stück und die Länge des vorerwähnten Rechtecks sind. Ein Kegelschnitt dieser Art heisst eine Hyperbel.
  Sei ein Kegel mit dem Scheitel A und der Grundfläche BC gegeben, und werde er von einer Ebene durch die Achse geschnitten, welche das Achsendreieck ABC bildet, und von einer zweiten, welche die Grundfläche in der Linie DE senkrecht auf BC und die Kegelfläche in der Linie DFE durchschneidet, deren Durchmesser GF verlängert mit der Seite AC des Achsendreiecks jenseit des Scheitels in H zusammentrifft. Werde ferner vom Scheitel A mit FG die Parallele AK bis zu ihrem Durchschnitt mit BC und in F in der schneidenden Ebene DFE ein Loth FL auf FG gezogen, so dass AK² : BK · CK = FH : FL ist; sodann von einem beliebigen Punkte M des entstandenen Kegelschnitts bis zum Durchmesser hin die Linie MN parallel mit DE, endlich von N parallel mit FL die Linie NOX, welche von der Verbindungslinie HL in X getroffen wird, und durch L und X die Linien LO, XP parallel mit FN, so wird behauptet:
  MN² = FN · XN.
  Man ziehe noch durch N die Linie RS parallel mit BC, so wird die durch MN, RS gelegte Ebene parallel der Grundfläche, also ihr Durchschnitt mit der Kegelfläche ein Kreis, und da nach Annahme DE senkrecht auf BC, also auch MN senkrecht auf RS ist,
  1. MN² = RN · NS sein. Nun ist
  2. RN : FN = BK : AK,
  3. NS : HN = CK : AK, also
  4. RN · NS : FN · HN = BK · CK : AK²,
  aber nach Annahme BK · CK : AK² = LF : HF = XN : HN, also
  5. RN ·NS : FN ·HN = XN : HN, und
  6. MN² = RN ·NS = FN ·XN. q.e.d.
  Die Linie LF heisst der Parameter oder das Latus rectum, die Linie HF das Latus transversum.
• 
  Lehrsatz 13. Wenn ein Kegel von einer durch die Achse gelegten Ebene und von einer zweiten Ebene geschnitten wird, die beide Schenkelseiten des durch die erste entstandenen Achsendreiecks trifft und weder parallel der Grundfläche noch ein Wechselschnitt ist, und wenn die Durchschnittslinien der beiden Ebenen mit der nöthigenfalls erweiterten Grundfläche senkrecht auf einander stehen, so ist das Quadrat einer von einem beliebigen Punkt des Kegelschnitts parallel der in der Grundfläche befindlichen Durchschnittslinie bis zum Durchmesser gezogenen Ordinate gleich einem Rechteck, zu dessen einer Seite (der Länge) der Durchmesser des Kegelschnitts dasselbe Verhältniss hat, als das Quadrat einer vom Scheitel des Kegels parallel mit dem Durchmesser bis zu der erweiterten Grundfläche gezogenen Linie zu dem Rechteck aus den beiden Abschnitten, welche durch diese auf der verlängerten Grundlinie des Achsendreiecks entstehen, und dessen andere Seite (die Breite) eine der beiden zu der Ordinate gehörigen Abscissen ist, wenn dieses Rechteck noch vermindert wird um ein anderes von gleicher Breite, das ähnlich und ähnlich gelegen ist mit dem zwischen dem Durchmesser und der vorerwähnten Länge des ersten Rechtecks enthaltenen. Ein Kegelschnitt dieser Art heisst eine Ellipse.
  Sei ein Kegel mit dem Scheitel A und der Grundfläche BC gegeben und werde derselbe von einer durch die Achse gelegten Ebene, welche das Achsendreieck ABC bildet, und von einer zweiten Ebene geschnitten, die mit den beiden Seiten AB, AC oder ihren über B und C hinaus gehenden Verlängerungen in den Punkten E und D zusammentrifft, und weder der Grundfläche parallel noch ein Wechselschnitt ist, und deren Durchschnittslinie GF mit der nöthigenfalls erweiterten Grundfläche senkrecht auf der nöthigenfalls verlängerten BC steht. Sei ELD der hierdurch entstandene Kegelschnitt und ED sein Durchmesser, und werde in E in der Ebene ELD ein Loth EH errichtet, so dass, wenn AK eine von dem Scheitel des Kegels parallel mit ED bis zur Grundfläche gezogene Linie ist, ED : EH = AK² : BK · CK ist, ferner von einem beliebigen Punkt L des Kegelschnitts die Ordinate LM parallel mit der Durchschnittslinie FG gezogen und endlich in M eine Parallele mit EH, die der von D nach H gezogenen Verbindungslinie in X begegnet, und in X und H die Parallelen XO und HN mit DE, so wird behauptet:
  ML² = EOXM.
  Man ziehe noch durch M die Linie PR parallel mit BC, so ist ähnlich wie in den früheren Sätzen:
  
  1. LM² = PM · MR,
  2. PM : EM = BK : AK,
  3. MR : DM = CK : AK, also
  4. PM · MR : EM · DM = BK · CK : AK²,
  da aber auch nach Annahme BK · CK : AK² = EH : ED = XM : DM, ist
  5. PM · MR : EM · DM = XM : DM, und also
  6. LM² = PM · MR = EM · XM. q.e.d.
  Die Linie EH heisst der Parameter oder das Latus rectum, die Linie ED das Latus transversum. [zurück]
  
  
  Die beiden letzten Lehrsätze über Hyperbel und Ellipse lassen folgenden Ausdruck zu: "Werden von beliebigen Punkten eines Kegelschnitts Ordinaten bis zu dem zugehörigen Durchmesser gezogen, so verhält sich bei Ellipse und Hyperbel das Quadrat jeder Ordinate zu dem Rechteck aus den Abschnitten, die sie auf dem Querdurchmesser bildet, wie das zugehörige latus rectum zum latus transversum. Bei der Parabel entsteht durch jede Ordinate auf dem Durchmesser nur ein Abschnitt und verhalten sich die Quadrate der Ordinaten wie die zugehörigen Abschnitte."
• 
  Lehrsatz 14. Wenn die am Scheitel zusammenstossenden Kegelflächen von einer nicht durch den Scheitel gehenden Ebene geschnitten werden, so entsteht in jeder der Flächen ein Schnitt, der Hyperbel heisst, und beide Schnitte haben denselben Durchmesser, die Parameter, die zu den Ordinaten gehören, welche der Grundfläche des Kegels parallel sind, sind in beiden gleich, das latus transversum, nämlich die Verbindungslinie der beiden Scheitel, ist beiden gemeinschaftlich. Solche Schnitte heissen Gegenschnittt.
  Sei ein Kegel mit dem Scheitel A und der Grundfläche BC gegeben und werde derselbe von einer nicht durch den Scheitel gehenden Ebene, die beide am Scheitel zusammenstossende Kegelflächen trifft, geschnitten, so dass in der einen derselben der Schnitt DEF, in der andern KHG entsteht, so wird behauptet, dass beide Schnitte Hyperbeln sind, die einen gemeinschaftlichen Durchmesser und ein gemeinschaftliches latus transversum so wie gleiche Parameter haben.
  Man lege eine der Grundfläche parallele Ebene jenseit des Scheitels, die die zweite Kegelfläche in dem Kreis XKOG trifft, ferner falle man vom Mittelpunkt L der Grundfläche ein Loth LM auf die Durchschnittslinie DF dieser Grundfläche mit der Schnittebene, und lege durch ML und eine Ebene, die also auch den Mittelpunkt Y des Kreises XKOG trifft, und in der untern Kegelfläche das Achsendreieck ABC, in der oberen AOX bildet, so wird auch der Durchmesser OX senkrecht auf der Durchschnittslinie KG der Schnittebene mit der Ebene des Kreises XKOG stehen, ferner wird die zuletzt gelegte Ebene die Schnittebene längs der Geraden MEHN und die Kegelflächen in den Geraden BEAO, CAHX treffen. Zieht man nun noch durch A die Parallele SAT mit MN und errichtet in den Punkten E und H der Schnittebene Lothe auf MN, EP und HR, so dass
  1. EH : EP = AS² : BS · SC und
  2. EH : HR = AT² : XT · OT ist
  so werden nach § 12 EP und HR die Parameter der Hyperbeln DEF und GHK, die Gerade MN ihr gemeinschaftlicher Durchmesser und EH das ebenfalle gemeinschaftliche latue transversum. Da aber
  3. AS : SB = AT : TO,
  4. AS : SC = AT : TX,
  aus Aehnlichkeit der betreffenden Dreiecke, ist auch
  5. AS² : SB · SC = AT² : TO · TX,
  und also, wenn man (1) und (2) vergleicht, EP = HR. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 15. Wenn in einer Ellipse von dem Mittelpunkt eines Durchmessers eine zugehörige Ordinate gezogen und nach beiden Seiten bis zum Durchschnitt mit derselben verlängert wird, und wenn sich die so erhaltene ganze Linie zum Durchmesser verhält wie der Durchmesser zu einer dritten Linie, so ist das Quadrat der geraden Linie, die von einem beliebigen Punkt der Ellipse parallel dem Durchmesser bis zur Ordinate gezogen wird, gleich einem Rechteck aus der vorerwähnten dritten Proportionale und dem Stück der Ordinate von der Ellipse bis zu der zuletzt gezogenen Parallelen vermindert um ein anderes Rechteck von derselben Breite, das ähnlich und ähnlich gelegen ist dem aus der verdoppelten Ordinate und der erwähnten dritten Proportionale. Verlängert man diese Parallele über die Ordinate hinaus bis zu ihrem zweiten Durchschnitt mit der Ellipse, so wird sie durch die Ordinate halbiert.
  Sei eine Ellipse mit dem Durchmesser AB gegeben und durch die Mitte C des Durchmessers eine zugehörige Ordinate DCE nach beiden Seiten hin bis an den Umfang gezogen. In D errichte man ein Loth DF auf CD, so dass DE : AB = AB : DF ist, und ziehe EF; dann ziehe man von einem beliebigen Punkt G der Ellipse eine Parallele mit AB, bis sie DE in H und verlängert die Ellipse zum zweiten Male in V schneidet, vollende nun das Rechteck HDF zur Ecke K und ziehe durch den Schneidungspunkt L von EF und HK eine Parallele LM mit HD, so wird behauptet:
  1. GH² = DHLM,
  2. GH = HV.
  Beweis. Nach § 13 ist
  1. GX² : DC² = AX · XB : AC², oder da
     AX · XB = AC² - CX²,
  2. GX² : DC² = (AC² - CX²) : AC², woraus dividendo.
  3. DC² - GX² : DC² - CX² : AV², da aber
     GX = CH, ist DC² - GX² = DH · EH, also
  4. DH · EH : DC² = CX² : AC² oder
     DH · EH : DE² = CX² : AB², und da nun EH : DE = HL : DF, und
     AB² = DE ·DF ist, ergibt sich
  5. DH · HL : DE ·DF = CX² : AB², oder
     DH · HL = CX² = GH². q.e.d.
  Um nun zu zeigen, dass GH = HV ist, ziehe man von V noch die Ordinate VQ, dann ist VQ = GX, also
  AX · XB = AQ ·QB oder
  AC² - CX² = BC² - CQ², da aber AC = BC, ist also auch CX = CQ d.h. GH = HV. [zurück]
• 
  Lehrsatz 16. Wenn durch den Punkt, welcher den Querdurchmesser zweier Gegenschnitte halbiert, eine Linie parallel den zugehörigen Ordinaten gezogen wird, so ist dieselbe ein Durchmesser, der dem ersten zugeordnet (conjugirt) genannt wird.
  Seien zwei Gegenschnitte GA, HB mit dem Durchmesser AB gegeben und in der Mitte C des letzteren die den zugehörigen Ordinaten parallele CX gezogen, so wird behauptet, dass CD ein dem AB zugeordneter Durchmesser ist.
  Man nehme in einem der Schnitte einen beliebigen Punkt G und ziehe von da eine Parallele mit AB, bis sie den andern Schnitt in B trifft, ziehe in G und H die zugehörigen Ordinaten GK, HL. Da nun nach Anm. zu § 14 GK² : HL² KA · KB : LA · LB, GK aber gleich HL, ist auch
  1. KA · KB = LA · LB, oder
  2. KC² - AC² = CL² - BL² und da AC= BC, auch KC = LC oder GX = HX. q.e.d.

Zweite Reihe von Erklärungen.

1. Der Punkt, welcher einen Durchmesser einer Ellipse oder Hyperbel halbiert, heisst der Mittelpunkt des Kegelschnitts.
2. Eine Linie, die vom Mittelpunkt nach dem Umfang gezogen wird, heisst ein Radius oder Halbmesser desselben.
3. Auf ähnliche Weise heisst auch der Punkt, welcher das latus transversum zweier Gegenschnitte halbiert, der Mittelpunkt derselben.
4. Eine Linie, die vom Mittelpunkt parallel den einem gegebenen Durchmesser zugehörigen Ordinaten gezogen wird, gleich der mittleren Proportionale zwischen dem latus rectum und transversum ist und im Mittelpunkt halbiert wird, heisst der zweite oder conjugirte Durchmesser.
5. Das Rechteck aus dem latus transversum und dem latus rectum, die zu einem Durchmesser gehören, heisst das zum Durchmesser gehörige Rechteck.
6. Die Linie, welche die Berührungspunkte zweier Tangenten verbindet, heisst die Berührungssehne.

• 
  Lehrsatz 17. Wenn vom Endpunkt eines Durchmessers in einem Kegelschnitt eine Linie parallel den zugehörigen Ordinaten gezogen wird, so fällt dieselbe ganz ausserhalb des Kegelschnitts.
  Sei ein Kegelschnitt mit dem Durchmesser AB gegeben, so wird behauptet, dass die vom Scheitel A den zugehörigen Ordinaten parallel gezogene Linie ausserhalb des Kegelschnitts fällt. Denn wäre dies nicht der Fall und schnitte sie den Kegelschnitt in C, so würde, da von einem beliebigen Punkt C des Kegelschnitts die Ordinate CA gezogen ist, diese von dem Durchmesser halbiert werden müssen, also A zugleich Mitte und Endpunkt von CA sein, was unmöglich ist.
• 
  Lehrsatz 18. Wenn eine Linie einem Kegelschnitt (Parabel oder Hyperbel) begegnet und verlängert nach beiden Seiten zu ausserhalb desselben liegt, und wenn von einem innerhalb desselben befindlichen Punkt eine Parallele mit dieser Linie gezogen wird, so schneidet diese, gehörig verlängert, an beiden Seiten den Kegelschnitt.
  Sei ein Kegelschnitt und die ihn treffende Linie AEB, welche verlängert an beiden Seiten ausserhalb des Kegelschnitts fällt, gegeben, und werde von einem innerhalb desselben befindlichen Punkt C eine Parallele mit AB gezogen, so behaupte ich, dass CD gehörig verlängert an beiden Seiten dem Kegelschnitt begegne. Man nehme irgendeinen Punkt F auf dem Kegelschnitt und verbinde E mit F. Weil nun AB der Linie CD parallel ist, und EF die Linie AB trifft, muss sie auch CD treffen. Wenn nun der Durchschnittspunkt zwischen E und F fällt, ist klar, dass CD nachher den Kegelschnitt treffen muss, da EF ein begränztes Segment desselben abschneidet, wenn aber ausserhalb E, muss CD den Kegelschnitt schon vorher getroffen haben. Also trifft CD nach der Richtung EB zu verlängert den Kegelschnitt. Auf gleiche Weise kann gezeigt werden, dass sie auch nach der Seite EA hin demselben. begegne, wozu nur nöthig ist eine Sehne EF, auf der andern Seite des Punktes C zu ziehen und dann ebenso wie oben zu schliessen. Folglich schneidet CD gehörig verlängert an beiden Seiten den Kegelschnitt.
• 
  Lehrsatz 19. In einem Kegelschnitt trifft jede gerade Linie, die vom Durchmesser aus parallel den zugehörigen Ordinaten gezogen wird, den Kegelschnitt.
  Sei ein Kegelschnitt mit dem Durchmesser AB gegeben und werde ein beliebiger Punkt B darauf angenommen, und von .B eine Linie BC parallel den zu diesem Durchmesser gehörigen Ordinaten gezogen, so wird behauptet, dass BC, gehörig verlängert, den Kegelschnitt trifft. Man nehme einen beliebigen Punkt D im Kegelschnitt, so wird die von A nach D gezogene Linie innerhalb des Kegelschnitts fallen. Weil aber die von A aus den zum Durchmesser AB gehörigen Ordinaten parallel gezogene Linie (nach § 17.) ausserhalb des Kegelschnitts liegt, AD aber denselben trifft, wird eine von B aus den Ordinaten parallel gezogene Linie BC mit AD zusammentreffen müssen. Wenn dies nun zwischen A und D geschieht, wird BC nachher den Kegelschnitt treffen müssen, wenn aber jenseit D, muss sie schon vorher den Kegelschnitt geschnitten haben. Also schneidet die von einem beliebigen Punkt des Durchmessers oder zugehörigen Ordinaten parallel gezogene Linie den Kegelschnitt.
• 
  Lehrsatz 20. Die Quadrate zweier Ordinaten, die an denselben Durchmesser einer Parabel gezogen sind, verhalten sich wie die Abschnitte desselben vom Scheitel bis zu den Fusspunkten.
  Wendet man Zeile 5. des Beweises von § 11 auf zwei verschiedene Punkte K₁, K₂ an, so hat man K₁L₁² : K₂L₂² = FL₁ : FL₂. q.e.d.
  
  Anm. d. Eutoc. Fig. 18. Hieraus ergiebt sich ein Mittel für die Construction der Parabel durch einzelne Punkte. Man ziehe eine gerade Linie mit dem festen Endpunkt A und von beliebigen Punkten derselben B, C unter beliebigem Winkel die Parallelen BD, CE, so dass BD² :CE² = BA : CA, so sind D, E zwei Punkte der Parabel, deren Scheitel A ist.
• 
  Lehrsatz 21. Wenn in einer Hyperbel oder Ellipse oder in einem Kreis Ordinaten gezogen werden, so verhält sich das Quadrat einer jeden derselben zu dem Rechteck der Abschnitte, die sie auf dem Latus transversum bildet, wie das Latus rectum zum Latus transversum; also die Quadrate zweier Ordinaten unter sich wie die Rechtecke aus den auf dem Latus transversum entstandenen Abschnitten.
  Setzt man in Zeile 5 des Beweises zu § 12 statt RN · SN seinen Werth MN² und statt XN : HN das gleiche Verhältniss LF : HF, so erhält man den ersten Theil der Behauptung für die Hyperbel, und wenn man diesen auf zwei beliebige Punkte der Hyperbel anwendet, durch Vergleichung leicht den zweiten Theil. Auf ähnliche Weise verfährt man mit Zeile 5 in § 13, dann hat man den Satz auch für die Ellipse.
  Anm. 1 des Eutocius. Beim Kreis ist das Latus rectum gleich dem Latus transversum und die Ordinaten stehen senkrecht auf dem Durchmesser.
  Anm. 2 desselben. Aus dem Lehrsatz ergiebt sich die folgende Construction einer Hyperbel. Sei AB eine gerade Linie, die über A hinaus beliebig verlängert wird, in A die Länge AC senkrecht dagegen gezogen, und B mit C verbunden. In beliebigen Punkten E, G der verlängerten BA errichte man Lothe EH, GK, bis sie die verlängerte BC in H, K schneiden, und ziehe unter beliebigem Winkel von E und G die Parallelen ED, GF, so dass DE² = AE · EH und FG² = AG · GK ist, so sind D, F Punkte der Hyperbel. Auf ähnliche Weise verfährt man bei der Ellipse.
• 
  Lehrsatz 22. Jede Sehne einer Parabel oder Hyperbel, die den Durchmesser nicht innerhalb des Kegelschnitts schneidet, trifft ihn ausserhalb.
  Sei eine Parabel oder Hyperbel mit dem Durchmesser AB, und eine Sehne CD, die den Durchmesser nicht innerhalb trifft, gegeben, so wird behauptet, dass die verlängerte CD ausserhalb des Kegelschnitts mit AB zusammentrifft. Man ziehe von C und D die Ordinaten CE, DB und betrachte zuerst die Parabel. Dann ist CE² : DB² = AE : AB, da aber AE > AB, muss auch CE > DB also kann nicht CD parallel AB sein, und da es nicht innerhalb mit AB zusammentrifft, muss es ausserhalb des Kegelschnitts geschehen.
  Betrachtet man nun die Hyperbel, deren latus transversum AF sei, so ist CE² : DB² = AE · FE : AB · FB, und da AE · FE > AB · FB, auch CE > DB, weshalb CD mit AB zusammentreffen muss, und da es nicht innerhalb geschehen kann, so muss also CD ausserhalb des Kegelschnitts mit AB zusammentreffen.
  
  Anm. Bei der Hyperbel ist leicht zu zeigen, dass CD zwischen A und der Mitte M des Latus transversum die Linie AB durchschneiden muss. Denn man verwandelt obige Proportion leicht in CE² : DB² = ME² - MA² : MB² - MA² und da ME > MB, muss CE² : DB² > ME² : MB² (wenn man zu Zähler und Nenner eines unechten Bruchs Gleiches addiert, wird der Bruch kleiner), also auch CE : DB > ME : MB, woraus die Behanptung erhellt.
• 
  Lehrsatz 23. Jede Sehne einer Ellipse, welche zwei conjugirte Durchmesser innerhalb der Ellipse nicht schneidet, trifft dieselben ausserhalb.
  Sei eine Ellipse mit den conjugirten Durchmessern AB, CD gegeben, und zwischen den Endpunkten A und C derselben zwei Punkte E und F in dem Umfang angenommen und durch eine gerade Linie verbunden, so wird behauptet, dass EF, verlängert, beide Durchmesser ausserhalb des Kegelschnitts treffe. Man ziehe von den Punkten E und F gegen den Durchmesser AB hin die Ordinaten EG, FH, und gegen CD hin EK, FL, so ist
  1. EG² : FH² = AG · BG : AH · BH,
  2. FL² : EK² = CL · LD : CK · KD.
  Da aber H weiter von der Mitte M von AB entfernt liegt als G, ist AG · BG > AH · BH, und da K weiter von der Mitte M von CD entfernt liegt als L, ist CL · LD > CK · KD, folglich auch EG >FH und FL > EK, weshalb EF weder mit AB noch mit CD parallel sein kann, und da es innerhalb die Durchmesser nicht mehr schneiden kann, muss es sie ausserhalb treffen.
• 
  Lehrsatz 24. Wenn eine gerade Linie einer Parabel oder Hyperbel in einem Punkte begegnet und nach beiden Seiten hin ausserhalb des Kegelschnitts liegt, so wird dieselbe den Durchmesser schneiden.
  Sei eine Parabel oder Hyperbel mit dem Durchmesser AB gegeben, und begegne ihr die gerade Linie CDE im Punkte D, so dass sie zu beiden Seiten von D ausserhalb des Kegelschnitts fällt, so wird behauptet, dass CDE den Durchmesser AB schneidet. Man nehme auf der von D aus dem Scheitel abgewandten Seite des Kegelschnitts den Punkt F beliebig an und ziehe FD, so wird diese Linie nach § 22 den Durchmesser schneiden. Sei A der Durchschnittspunkt. Da nun CDE mit dem Theile DE zwischen die Gerade DA und den Kegelschnitt fällt, muss sie den Durchmesser zwischen dem Scheitel und dem Punkt A treffen.
• 
  Lehrsatz 25. Wenn eine gerade Linie einer Ellipse zwischen den Endpunkten zweier conjugirten Durchmesser in einem Punkte begegnet und zu beiden Seiten desselben ausserhalb der Ellipse fällt, so wird sie beide Durchmesser schneiden. Sei eine Ellipse mit den conjugirten Durchmessern AB und CD gegeben, und werde dieselbe zwischen den Endpunkten A und C der Durchmesser von der Geraden EF im Punkte G so getroffen, dass diese Linie zu beiden Seiten von G ausserhalb des Kegelschnitts liegt, so wird behauptet, dass EF, verlängert, beide Durchmesser ausserhalb des Kegelschnitts schneidet. Man ziehe von G auf der dem Scheitel A abgewandten Seite die Sehne GH, so dass H zwischen G und C liegt, dann schneidet nach § 23 die verlängerte HG den Durchmesser BA; da nun EF mit dem Theile GF zwischen die verlängerte HG und die Ellipse fällt, muss sie den verlängerten Durchmesser BA noch früher schneiden. Ein Gleiches kann in Bezug auf den Durchmesser CD durch eine nach der andern Seite gezogene Sehne bewiesen werden.
• 
  Lehrsatz 26. Wenn in einer Parabel oder Hyperbel eine gerade Linie parallel mit dem Durchmesser des Schnitts gezogen wird, so trifft dieselbe den Kegelschnitt in einem und nicht in mehreren Punkten.
  Sei zuerst eine Parabel mit dem Durchmesser AB und dem latus rectum AD gegeben, und EF parallel dem Durchmesser gezogen, so wird behauptet, dass EF die Parabel schneidet. Seie E ein Punkt ausserhalb der Parabel und werde EG parallel den zum Durchmesser gehörigen Ordinaten gezogen, ferner nehme man in AB einen Punkt C so an, dass AD · AC > EG² ist, und ziehe in C die Ordinate CH, so wird also auch CH² > EG², also muss EF, ehe sie HC trifft, den Kegelschnitt getroffen haben. Sei K der Schneidungspunkt, so wird behauptet, dass kein zweiter möglich ist. Denn wäre ein solcher, etwa L, vorhanden, so müsste nach § 22 die gerade Linie LK den Durchmesser AB ausserhalb treffen, was gegen die Annahme ist.
  Sei zweitens eine Hyperbel mit dem latus rectum AD und dem latus transversum AB gegeben; man verfahre wie oben, ziehe von C parallel mit AD die Linie CM, bis sie die verlängerte BD in M schneidet, so wird, da DA · AC > EG² nach Annahme und CM · AC > DA · AC, wie leicht erhellt, und endlich HC² = AC · CM, auch HC² > EG² sein, woraus, wie oben, die Behauptung weiter gefolgert werden kann.
• 
  Lehrsatz 27. Wenn eine gerade Linie den Durchmesser einer Parabel schneidet, so trifft sie gehörig verlängert an beiden Seiten den Kegelschnitt.
  Sei eine Parabel mit dem Durchmesser AB und eine gerade Linie CD, die den Durchmesser innerhalb des Kegelschnitts in D schneidet, gegeben, so wird behauptet, dass CD, gehörig verlängert, an beiden Seiten den Kegelschnitt schneidet. Man ziehe vom Scheitel A die Linie AE parallel den zugehörigen Ordinaten, so wird AE nach § 17 ausserhalb des Kegelschnitts fallen. Es wird nun CD entweder mit AE parallel sein oder nicht. Im ersten Fall ist CD also den Ordinaten parallel und trifft deshalb nach § 19 den Kegelschnitt. Ist sie aber nicht parallel, so verlängere man sie, bis sie AE im Punkte E schneidet, dann wird CD, ehe sie AE schneidet, den Kegelschnitt schon getroffen haben müssen. Es wird nun noch behauptet, dass CD auch nach der andern Seite hin verlängert, den Kegelschnitt schneiden muss. Sei AM das latus rectum und werde von dem schon nachgewiesenen Schneidungspunkt zwischen CD und dem Kegelschnitt die Ordinate GF gezogen, auf AB ein Punkt B bestimmt, so dass AD² = AF · AB, und in B den Ordinaten parallel die Linie BK gezogen, bis sie die gegebene CD in C trifft, so wird behauptet, dass C der zweite Durchschnittspunkt der gegebenen Geraden CD mit der Parabel ist.
  Es ist
  1. GF : BC = DF : BD, und da nach Annahme AF : AD = AD : AB auch dividendo DF : BD = AB : AB, also
  2. GF² : BC² = AD² : AB².
  Aus AF : AD = AD : AB hat man aber AF : AB =AD² : AB², also
  3. GF² : BC² = AF : AB und folglich, da G auf der Parabel liegt, befindet sich auch C auf der selben. q. e. d.
  Eutocius sagt, dass in einigen Ausgaben der folgende Beweis des 27. Lehrsatzes gestanden habe, von dem man leicht erkennt, dass er ein Mittel zur Construction der Durchschnittspunkte einer Geraden mit einer Parabel an die Hand giebt, während der vorige nur aus dem schon vorhandenen ersten Durchschnittspunkt den zweiten finden lehrt.
  Zweiter Beweis. Sei eine Parabel mit dem Durchmesser AB und der den Durchmesser schneidenden Linie CD gegeben, so wird behauptet, dass CD verlängert den Kegelschnitt an beiden Seiten schneide. Man ziehe in A den Ordinaten parallel AE; ist nun CD parallel AE, so schneidet es nach § 17 den Kegelschnitt; ist es aber nicht parallel, so schneidet es AE in E; dann sei AM: das latus rectum nach derselben Seite als AE gezogen, und auf der verlängerten MA das Stück AF dergestalt abgeschnitten, dass AE² : ΔAED = AM : AF; ferner ziehe man durch F die Parallele FG mit AB, welche DC in G schneidet, verlängere EA, bis es die Parallele in L trifft, und bestimme eine Parallele CB mit AE dergestalt, dass das durch dieselbe von dem Winkel EGL oder seinem Scheitelwinkel abgeschnittene Dreieck GCK gleich dem Viereck LADG ist, so wird behauptet, dass der Punkt C, in welchem diese Parallele die Gerade DC trifft, sich auf der Parabel befindet. Sei zuerst die Parallele durch den Scheitelwinkel von EGL gelegt, und schneide sie FG in K. Man vollende noch das Rechteck FABX. Nun ist:
  1. EA² : ΔEAD = CB² : ΔCBD, und da ΔCGK = LADG und EA² : ΔEAD = AM : AF, auch ALKB = AFXB, so ist
  2. CB² : AFXB AM : AF, also
  3. CB² = AM · AB, und folglich liegt der Punktz C auf der Parabel.
  Ebenso leicht ist es zu zeigen, wenn die Parallele den Winkelraum EGF selbst durchschneidet.
• 
  Lehrsatz 28. Wenn eine gerade Linie den einen von zwei Gegenschnitten berührt, und durch einen innerhalb des andern angenommenen Punkt damit eine Parallele gezogen wird, so wird diese, gehörig verlängert, an beiden Seiten mit dem Gegenschnitt zusammentreffen.
  Seien zwei Gegenschnitte mit den Scheiteln A und B, und in dem einen, dessen Scheitel A ist, eine Tangente CD gegeben, und werde in dem andern ein Punkt E angenommen und durch denselben eine Parallele EF mit CD gezogen, so wird behauptet, dass EF an beiden Seiten mit dem Kegelschnitt zusammentreffe.
  Da bewiesen ist, dass CD, gehörig verlängert, den Durchmesser schneidet (s. § 24), und EF parallel CD ist, wird auch EF denselben treffen; sei G der Schneidungspunkt, und werde in dem andern Schnitt AH gleich GB genommen, durch H eine Parallele HK mit CD gezogen, bis sie den Kegelschnitt in K trifft und von K die Ordinate KL gezogen. Man setze nun GM = HL und ziehe von M eine Parallele mit KL, bis sie FE in N schneidet. Da nun ΔKLH congruent ΔNMG ist, wird KL = MN, und da LA · LB = MA · MB ist, liegt der Punkt N auf dem Kegelschnitt. Auf dieselbe Weise wird gezeigt, dass FE an der andern Seite den Kegelschnitt trifft.
• 
  Lehrsatz 29. Wenn in zwei Gegenschnitten eine durch den Mittelpunkt gezogene gerade Linie dem einen Schnitt begegnet, so trifft sie auch den andern.
  Seien zwei Gegenschnitte mit dem Durchmesser AB und der durch das Centrum gehenden Geraden CD gegeben, welche den einen Schnitt mit dem Scheitel A in D trifft, so wird behauptet, dass CD, gehörig verlängert, auch den andern Schnitt treffe.
  Man ziehe von D die Ordinate DE, setze CF = CE und ziehe von F die Parallele FG mit DE, welche die verlängerte DC in G schneidet; da nun DE = FG und EA · EB = FA · FB, wird der Punkt G auf dem Kegelschnitt sich befinden.
• 
  Lehrsatz 30. Wenn in zwei Gegenschnitten oder in einer Ellipse eine gerade Linie durch den Mittelpunkt gezogen wird, und, verlängert, an beiden Seiten dem Kegelschnitt begegnet, so wird sie im Mittelpunkt halbiert werden.
  Wenn alles wie im vorigen Satz eingerichtet ist, so folgt aus der Congruenz der Dreiecke CDE und CFG leicht, dass DC = CG. Und auf gleiche Weise wird es auch für die Ellipse bewiesen.
• 
  Lehrsatz 31. Wenn im latus transversum einer Hyperbel ein Punkt jenseit des Mittelpunkts angenommen und von da eine gerade Linie gezogen wird, die den Kegelschnitt trifft, so wird ihre Verlängerung über diesen Durchschnittspunkt innerhalb der Hyperbel liegen.
  Sei eine Hyperbel mit dem Durchmesser AB gegeben, und werde von dem Mittelpunkt C desselben eine Linie CD gezogen, die den Kegelschnitt in D trifft, so wird behauptet, dass die Verlängerung von CD innerhalb des Kegelschnitts fällt.
  Sie falle, wenn möglich, ausserhalb und sei E ein Punkt in ihr. Man ziehe von D die Ordinate DH und von E die Parallele EG, die den Kegelschnitt in F trifft, so ist
  1. EG² : DH² > GA · GB : HA · HB,
  da aber EG : DH = CG : CH und GA · GB = GC² - CB², HA · HB = HC² - CB², müsste
  2. CG² : CH² > CG² - CB² : CH² - CB²
  sein, was unmöglich ist, denn wenn von Zähler und Nenner eines unächten Bruchs gleiche Stücke subtrahiert werden, so wird derselbe grösser. Also kann die Verlängerung von CD nicht ausserha1b des Kegelschnitts fallen, und wenn deshalb jenseit des Mittelpunkts C ein Punkt angenommen und mit D verbunden wird, kann die Verlängerung dieser Geraden noch weniger ausserhalb der Hyperbel liegen.
  Zusatz. Aus dem schon Bewiesenen folgt, dass eine Tangente der Hyperbel den Durchmesser zwischen dem Scheitel und dem Mittelpunkt schneiden muss.
• 
  Lehrsatz 32. Wenn durch den Scheitel eines Kegelschnitts eine Linie parallel den zugehörigen Ordinaten gezogen wird, so berührt sie den Kegelschnitt und in den Raum zwischen dem Kegelschnitt und dieser Geraden kann keine andere gerade Linie fallen.
  Sei zuerst eine Parabel mit dem Durchmesser AB gegeben, und werde von dem Scheitel A eine den Ordinaten parallele Linie AC gezogen, so fällt AC nach § 17 ausserhalb des Kegelschnitts. Es wird behauptet, dass in dem Raum zwischen AC und dem Kegelschnitt von A aus keine zweite Gerade gezogen werden kann. Denn wäre das möglich, so sei AD eine solche Gerade; und werde von dem beliebigen Punkte D derselben den Ordinaten parallel DE gezogen, welche den Kegelschnitt in G schneidet. Ist nun AF das latus rectum, so wird
  1. DE² : AE² > GE² : AE², und da GE² = AE · AF,
  2. DE² : AE² > AF : AE.
  Man bestimme nun den Punkt H auf dem Durchmesser AB, so dass
  3. DE² : AE² = AF : AH
  und ziehe von H den Ordinaten parallel die Linie HK bis zum Durchschnitt K mit AD, so ist, da DE² : AE² = HK² : AH², wenn man dies in (3) einsetzt,
  4. HK² : AH² = AF : AH oder HK² = AH · AF.
  also liegt der Punkt K auf der Parabel und die Linie AK liegt innerhalb derselben gegen die Annahme.
  Sei zweitens der Schnitt eine Hyperbel oder Ellipse oder ein Kreis mit dem Durchmesser AB, AF das latus rectum, und werde BF gezogen. Zieht man nun in A die Linie AC den Ordinaten parallel, so fällt dieselbe ausserhalb des Kegelschnitts nach § 17. Es wird behauptet, dass in den Raum zwischen der Geraden AC und dem Kegelschnitt eine zweite Gerade nicht fallen könne. Denn wäre dies möglich, so sei AD eine solche Gerade, und von einem beliebigen Punkte D derselben werde den Ordinaten parallel die Linie DE an den Durchmesser gezogen, welche den Kegelschnitt in G trifft. In E ziehe man EM parallel mit AF, bis zum Durchschnitt N mit BF. Nun ist
  1. DE² : AE > GE² : AE², und da GE² = AE · EM,
  2. DE² : AE² > EM : AE.
  Man verlängere daher EM bis zum Punkt N, so dass
  3. DE² : AE² = EN : AE,
  ziehe AN, welche BF in X schneidet, ziehe von X die Linie XH parallel mit AF bis zum Durchmesser und von H den Ordinaten parallel HK bis zum Durchschnitt K mit der Geraden AD; da nun DE² : AE² = KH² : AH² und EN : AE = HX : AH, so giebt dies in (3) eingesetzt:
  4. KH² : AH² = HX : AH oder KH² = AH · HX;
  also liegt der Punkt K auf dem Kegelschnitt und die Gerade AK innerhalb desselben gegen die Annahme.
• 
  Lehrsatz 33. Wenn von einem Punkt einer Parabel an einen Durchmesser eine Ordinate gezogen, und dieser Durchmesser über seinen Scheitel um ein ebenso grosses Stück, als zwischen dem Scheitel und der Ordinate liegt, verlängert wird, so ist die Verbindungslinie des so erhaltenen Punktes mit dem Parabelpunkt eine Tangente.
  Sei eine Parabel mit dem Durchmesser AB gegeben, und von einem beliebigen Punkt C derselben die Ordinate CD gezogen, und DA um sich selbst verlängert bis zum Punkte E, so wird behauptet, dass EC eine Tangente sei. Wäre sie es nicht, so müsste entweder ihre Verlängerung CF innerhalb fallen, oder zwischen E und C ein Schneidungspunkt statt finden.
  Fiele also erstens die Verlängerung von EC innerhalb, so sei F ein Punkt derselben und werde von F den Ordinaten parallel die Gerade FB bis zum Durchmesser gezogen, welche die Parabel in G trifft. Dann ist
  1. GB² : CD² > FB² : CD²
  und da FB² : CD² = BE² : DE² und GB² : CD² = BA : DA, ist auch
  2. BA : DA > BE² : DE²
  oder wenn man das erste Verhältnis mit 4 AE erweitert:
  3. 4 · BA · AE : 4 · DA · AE > BE² : DE²,
  da aber DE² = 4 · DA · AE, müsste 4 · BA · AE > BE² sein, was unmöglich ist, da 4 · AD ·(AD + DE) < (2 · AD + DB)² ist.
  Läge zweitens zwischen E und C ein Schneidungspunkt H mit der Parabel, so ziehe man die Ordinate HK, dann müsste, da CD² : HK² = DE² : KE² und auch CD² : HK² = DA : KA, also DE² : KE² = DA : KA, oder wenn man das zweite Verhältniss mit 4·AE erweitert: DE² : KE² = 4·AE · DA : 4·AE · KA, und da DE² = 4·AE · DA, müsste auch KE² = 4·AE · KA sein, was unmöglich ist, da A nicht die Mitte von KE ist.
  Anm. Es ist übrigens leicht, diesem Beweis die indirekte Form zu nehmen, welche in der That nur scheinbar ist, da es darauf ankommt, direkt zu beweisen, dass FB < GB ist, Dies thut Viviani in seiner Divin. in quintum Apollonii.
• 
  Lehrsatz 34. Wenn auf einer Hyperbel oder Ellipse oder einem Kreisumfang ein Punkt angenommen und von ihm eine Ordinate gezogen wird, und wenn auf dem Durchmesser zu den beiden Endpunkten des latus tranaveraum und dem durch die Ordinate erhaltenen Punkt der letzterem zugeordnete vierte harmonische Punkt genommen wird, so ist die Verbindungslinie dieses Punktes mit dem zuerst auf dem Kegelschnitt angenommenen eine Tangente.
  Sei eine Hyperbel oder eine Ellipse oder ein Kreisumfang mit dem Durchmesser AB gegeben, und auf dem Kegelschnitt ein Punkt C angenommen; ferner von C die Ordinate CD gezogen, und auf AB ein Punkt E so bestimmt, dass AE : BE = AD : BD ist, so wird behauptet, dass die Gerade CE den Kegelschnitt berühre.
  Wird also von einem andern Punkt F der Geraden EC die Linie FG parallel den Ordinaten nach dem Durchmesser hin gezogen, welche den Kegelschnitt in H schneidet, so ist zu beweisen: FG > HG.
  Man ziehe von A und B die Linien AL, BK parallel mit EC, und die Gerade CG, bis sie die Parallelen in O, M trifft, so wie CB, bis sie AL in X schneidet, verlängere CD, bis sie AL in N, BM in K schneidet. Da nun AD : BD = AN :BK, AE : BE = CX : CB = XN : BK, nach Annahme aber AD : BD = AE : BE, ist AN : BK = XN : BK und also AN = NX. Mithin ist AN · NX > AO · OX oder AN : AO > OX : NX oder, da OX : NX = BM : BK, AN : AO > BM : BK d.h. AN · BK > BM · AO.
  Nun ist aber wegen Aehnlichkeit der Dreiecke CDE, NDA und KDB
  NA · BK : CE² = AD · BD : DE²
  und wegen Aehnlichkeit der Dreiecke CGE, OGA und MGB
  OA · BM : CE² = AG · BG : GE², also
  AD · BD : DE² > AG · BG : GE², oder, da DE² : GE² = DC² : GF², ist AD · BD : DC² = AG ·BG : HG², ist AG · BG : HG² > AG · BG : GF², und also FG > HG, und F ausserhalb des Kegelschnitts, was zu beweisen war.
  Anderer Beweis. Seien zwei Punkte G, D in einer begränzten Geraden AB angenommen, so dass DA < DB und GB > GA> DA, von ihnen Parallelen GH, DC gezogen, und in der verlängerten BA ein Punkt E bestimmt, so dass
  1. GH² : GA · GB = CD² : DA · DB und
  2. AE : BE = AD : BD,
  und die Gerade EC gezogen, welche GH in F trifft, so wird behauptet, GF > GH.
  Bew. Da GF² : CD² = GE² : DE² und
  GH² : CD² = AG · BG : AD · BD, bleibt zu zeigen
  GE² : DE² > AG · BG : AD · BD.
  Nun ist, wenn M die Mitte zwischen A und B ist, AD · BD = MA² - MD² = MD · ME - MD² = M · DE, und AG · BG = MA² - MG². Setzt man dies ein, vertauscht die inneren Glieder und hebt mit DE, so erhält man:
  GE² : MA² - MG² > DE : MD, oder componendo GE² + MA² - MG² : GE² > ME : DE.
  nun ist GE² - MG² = ME · (GE - MG) und MA² = MD · ME, also eingesetzt und mit ME gehoben GE - MG + MD : GE² > 1 : DE oder GE + GD : GE > GE :GE - GD, was einleuchtet. Mithin ist bewiesen, dass GE² : DE² > AG · BG : AD · BD und also auch, dass GF > GH.
  Anm. Ein anderer Beweis findet sich in Viviani divinatio in V. conicorum Ap.
• 
  Lehrsatz 35. Wenn eine gerade Linie eine Parabel berührt und bis zu ihrem Durchschnittspunkt mit einem Durch­mes­ser derselben verlängert wird, so wird die vom Berührungspunkt an den Durch­mes­ser gezogene Ordinate auf diesem vom Scheitel an gerechnet ein ebenso grosses Stück ab­schneiden, als das zwischen dem Scheitel und dem Durchschnittspunkt mit der Tangente be­find­liche, und in den Raum zwischen der Tangente und dem Kegelschnitt kann vom Berührungspunkt aus keine zweite Gerade gezogen werden.
  Sei eine Parabel mit dem Durchmesser AB gegeben, auf ihr ein Punkt C angenommen und in diesem eine Tangente CA und die Ordinate CB gezogen; ist nun G der Scheitel, so wird behauptet, dass AG = GB ist.
  Wäre AG nicht gleich GB, so sei GE = AG und in E die Ordinate EF gezogen, dann wird die gerade Linie AF den Kegelschnitt in F be­rüh­ren nach § 33 und also verlängert mit AC zusammen tref­fen müs­sen, also hätten die geraden Linien AC und AF zwei ver­schie­dene Schneidungspunkte, was unmöglich ist. Also ist AG nicht un­gleich GB. Ferner wird behauptet, dass in den Raum zwischen CA und dem Kegelschnitt keine andere gerade Linie von C aus gezogen werden kann. Denn wäre CD eine solche Gerade, so setze man GE = GD, ziehe in E die Ordinate EF, dann wird die Gerade DF den Kegelschnitt in F berühren, also ihre Verlängerung ausserhalb des Kegelschnitts liegen, und deshalb mit DC zusammentreffen müssen, also hätten die beiden Geraden DF, DC zwei ver­schie­dene Schneidungspunkte, was unmöglich ist, mithin fällt in den Raum zwischen AC und dem Kegelschnitt keine andere gerade Linie.
• 
  Lehrsatz 36. Wenn eine gerade Linie eine Hyperbel, Ellipse oder einen Kreisumfang berührt, und den ver­län­ger­ten Querdurchmesser schneidet, und wenn vom Berührungspunkt an denselben Durchmesser eine Ordinate gezogen wird, so verhalten sich auf diesem die beiden Stücke von den Scheiteln des Ke­gel­schnitts bis zum Durchschnittspunkt der Tangente ebenso wie die beiden Stücke vom Fusspunkt der Ordinate bis zu den Scheiteln in derselben Ordnung genommen; und in den Raum zwischen der Tangente und dem Kegelschnitt kann vom Berührungspunkt aus keine andere Gerade gezogen werden.
  Sei eine Hyperbel oder eine Ellipse oder der Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser AB gegeben, und im Punkte C derselben die Tangente CD und die Ordinate CE gezogen, so wird behauptet, dass AD : BD = AE : BE. Denn wäre das nicht der Fall, so sei AD : BD = AG : BG und in G die Ordinate GF gezogen, dann würde DF den Kegelschnitt in F berühren nach § 34 und deshalb verlängert mit DC zusammentreffen müssen, also hätten zwei gerade Linien zwei verschiedene Durchschnittspunkte, was unmöglich ist. Ferner wird behauptet, dass in den Raum zwischen dem Kegelschnitt und der Tangente CD von C aus keine andere gerade Linie gezogen werden könne. Denn wäre z. B. CH eine solche, so nehme man den Punkt G dergestalt, dass AG : BG = AH : BH, und ziehe in G die Ordinate GF, dann würde HF nach § 34 den Kegelschnitt in F berühren und also, verlängert, mit HC zusammentreffen müssen, also hätten die beiden Geraden HC, HF zwei verschiedene Durchschnittspunkte, was unmöglich ist. Mithin lässt sich von C in den Raum zwischen dem Kegelschnitt und der Tangente CD keine andere gerade Linie ziehen.
• 
  Lehrsatz 37. Wenn eine Tangente an einer Hyperbel, Ellipse oder einem Kreisumfang mit einem Durchmesser zusammentrifft, und von dem Berührungspunkte aus an diesen die Ordinate gezogen wird, so ist das Rechteck aus den beiden Abschnitten des Durchmessers vom Mittelpunkt des Ke­gel­schnitts bis zu den Durchschnittspunkten der Tangente und Ordinate gleich dem Quadrat des halben latus transversum. Das Rechteck aber aus dem Abschnitt zwischen Mittelpunkt und Or­di­na­te und dem zwischen Ordinate und Tangente hat zum Quadrat der Ordinate dasselbe Verhältniss als das latus transversum zum latus rectum.
  Ist eine Hyperbel, Ellipse oder ein Kreisumfang mit dem latus transversum AB und dem Centrum F gegeben, und von einem Punkt D derselben die Ordinate CE und die Tangente CD gezogen, so wird behauptet:
  1. FB² = FD · FE,
  2. FE · ED = AE · BE. (siehe § 12 u. 13)
  Es verhält sich nach § 36:
  1. AD : BD = AE : BE,
  woraus bei der Hyperbel durch Addition der Glieder eines Verhältnisses, bei der Ellipse und dem Kreis durch Subtraction:
  2. AB : BD = AE ± BE : BE,
  und wenn man von der Vordergliedern die Hälfte nimmt:
  3. FB : BD = FE : BE,
  woraus bei der Hyperbel durch Subtraction, bei Ellipse und Kreis durch Addition der Glieder eines Verhältnisses:
  4. FD : FB = FB : FE oder FB² = FD · FE.
  Addirt man in (3) die correspondirenden Glieder bei der Hyperbel oder subtrahirt sie bei Ellipse und Kreis, so erhält man:
  • AE : FE = DE : BE oder FE · DE = AE · BE.
  
  Anm. des Uebers. Diese Sätze sind jetzt als Elementarsätze in der Lehre von den harmonischen Punkten hinreichend bekannt.
  
  Anm. des Eutoc. Aus diesen letzten Sätzen erhellt, wie man von einem Punkt auf dem Durchmesser eines Kegelschnitts oder im Scheitel selbst eine Tangente an denselben ziehen kann.
• 
  Lehrsatz 38. Wenn an eine Hyperbel, Ellipse oder einen Kreisumfang eine Tangente, die mit dem weiten Durchmesser zusammentrifft, und vom Berührungspunkt nach diesem Durch­mes­ser hin eine Parallele mit dem ersten Durchmesser gezogen wird, so ist das Recht­eck aus den beiden Abschnitten auf dem zweiten Durchmesser vom Mittelpunkt des Kegelschnitts an bis zu der erwähnten Parallele und bis zu der Tangente, gleich dem Quadrat des halben zweiten Durch­mes­sers; das Rechteck aber aus den beiden Abschnitten zwischen dem Mittelpunkt und jener Parallele und zwischen dieser Parallele und der Tangente verhält sich zu dem Quadrat der Parallelen wie das latus rectum zum latus transversum.
  Sei eine Hyperbel oder Ellipse oder ein Kreisumfang mit dem Durchmesser AGB und dem zweiten Durchmesser CGD und eine Tangente ELF, die in E berührt, in L den ersten, in F den zweiten Durchmesser schneidet, gegeben, und von E parallel dem ersten Durchmesser die Linie BH bis zum zweiten Durchmesser gezogen, so wird, wenn r das latus rectum bedeutet, behauptet:
  1. GC² = GF · GH,
  2. GH · HF : EH² = r : AB.
  Beweis. Zieht man noch von E die Ordinate EM so ist
  1. EM² : GM · LM = r : AB nach § 37.
  Aber da nach Nr. 4. der zweiten Reihe von Erklär. r : CD = CD : AB, so hat man r : AB = CD² : AB² = CG² : AG² und ersetzt man nun noch das in dem ersten Theile von 1. enthaltene Verhältniss EM : LM durch das gleiche Verhältniss GF : GL, und schreibt statt des übrigen EM, HG, so erhält man
  2. HG · GF : GM · GL = CG² : AG²;
  da aber nach § 37 GM · GL = AG², ist auch HG · GF = CG², q. e. d.
  
  Anm. 1. Hieraus zeigt man leicht, dass die Endpunkte des zweiten Durchmessers, der Fusspunkt der Tangente und der vom Berührungspunkt aus auf denselben gezogenen Ordinate harmonische Punkte sind.
  
  Anm. 2. Aus dem Gesagten erhellt, dass die Linie EF den Kegelschnitt berührt, wenn entweder das Rechteck FG · GH gleich dem Quadrat von GC oder wenn das Rechteck FH · BG zu dem Quadrat von HE sich wie das latus rectum zum latus transversnm verhält, welches beides indirekt leicht gezeigt werden kann.
• 
  Lehrsatz 39. Wenn eine Tangente an einer Hyperbel, Ellipse oder einem Kreisumfang den Durchmesser schneidet, und vom Berührungspunkt eine Ordinate gezogen wird, so hat zu einem jeden der beiden Abschnitte des Durchmessers, die zwischen der Ordinate und dem Mittelpunkt des Schnitts und zwischen der Ordinate und Tangente legen, die Ordinate ein Verhältniss, das zusammengesetzt ist aus dem Verhältniss des andern jener beiden Abschnitte zur Ordinate, und dem des latus rectum zum latus transversum.
  Der Apollonische Beweis ist folgender:
  Sei AB das latus transversum eines Kegelschnitts mit dem Centrum F, und im Punkte C desselben die Ordinate CE, so wie die Tangente CD gezogen, und sei G eine Linie von der Beschaffenheit, dass FE · ED = CE · G oder G : FE = ED : CE ist, so hat man, da CE² : FE · ED, also auch CE² : CE · G, also CE : G = r : AB,
  1. CE : G = r : AB,
  2. G : FE = ED : CE,
  woraus durch Zusammensetzung die Behauptung sich ergiebt.
  Die Richtigkeit des Satzes erhellt übrigens unmittelbat aus § 37, da hiernach das Quadrat der Ordinate zum Rechteck aus den erwähnten beiden Abschnitten sich wie das latutus rectum zum latus tranaversum verhält, indem man nur einmal die Ordinate aus dem ersten Glied ins vierte und einen der beiden Abschnitte aus dem zweiten Glied ins dritte rückt, wodurch die Richtigkeit der Proportion nicht leidet.
• 
  Lehrsatz 40. Wenn eine Tangente an einer Hyerbel, Ellipse oder einem Kreisumfang den zweiten Durchmesser schneidet und vom Berührungspunkt an diesen Durchmesser eine Parallele mit dem andern Durchmesser gezogen wird, so wird einer der beiden Abschnitte auf dem zweiten Durchmesser, die zwischen dem der Parallelen und dem Mittelpunkt des Schnitts und zwischen derselben und der Tangente liegen, zu der Parallelen ein Verhältniss haben, das zusammengesetzt ist aus dem Verhältniss desjedesmaligen andern Abschnitts zur Parallelen und dem des latus transversum zum latus rectum.
  Die Richtigkeit des Satz es erhellt auf dieselbe Weise aus § 38 als die des vorigen aus § 37.
• 
  Lehrsatz 41. Wenn in einer Hyperbel oder Ellipse oder einem Kreisumfang eine Ordinate gezogen wird und über der Ordinate und dem Halbmesser gleichwinklige Parallelogramme beschrieben werden, und die Ordinate zu der andern Seite des über ihr beschriebenen Parallelogramms ein Verhältniss hat, das zusammengesetzt ist aus dem Verhältniss des Halbmessers zu der andern Seite des über ihm beschriebenen Parallelogramms und dem des latus rectum zum latus transversum, und wenn noch ein Parallelogramm über dem Abschnitt des Durchmessers vom Mittelpunkt bis zur Ordinate, ähnlich dem über dem Halbmesser befindlichen, construirt wird, so ist bei der Hyperbel das über dem Halbmesser befindliche Parallelogramm gleich dem Unterschied zwischen dem zuletzt erhaltenen und dem über der Ordinate, bei Ellipse und Kreis aber gleich der Summe dieser selben Parallelogramme.
  Sei eine Hyperbel mit dem latus transversum AB, dem Mittelpunkt E gegeben, von einem beliebigen Punkt C derselben die Ordinate CD gezogen und über EA ein beliebiges Parallelogramm EAIF, über CD aber damit ein gleichwinkliges CDKG construirt, so dass: CD : CG = EA · r : EF ·AB, wo r das latus rectum bedeutet; so wird behauptet, dass, wenn über ED ein mit AEFI ähnliches Parallelogramm DELM gezeichnet wird:
  • AEFI = DELM - CDKG.
  Beweis. Nach § 21 ist CD² : DA · DB oder CD² : DE² - EA² = r : AB; ersetzt man nun in der Voraussetzung das Verältnis r : AB durch das gleiche CD² : DE² - EA², so erhält man
  • CD : CG = CD² · EA : (DE² - EA²) · EF,
  oder wenn man das Produkt der innern gleich dem Produkt der äussern Glieder setzt und mit CD · EA dividirt:
  • CG · CD = (EF ⁄ EA) · DE² - EF · EA
  und setzt man endlich statt (EF ⁄ EA) · DE das gleiche EL, so erhält man
  • CG · CD = EL · ED - EF · EA,
  welches, da sich die Inhalte gleichwinkliger Parallelogramme, wie die Rechtecke aus ihren anstossenden Seiten verhalten, mit der Behauptung gleichbedeutend ist.
  Auf ganz gleiche Weise erhält man bei gehöriger Aenderung der Zeichen bei der Ellipse
  • CG · CD = EF · EA - EL · ED.
• 
  Lehrsatz 42. Wenn eine Tangente einer Parabel den Durchmesser schneidet und vom Berührungspunkt eine Ordinate gezogen wird, von einem beliebigen Punkt des Kegelschnitts aber an den Durchmesser zwei Linien gezogen werden, von denen die eine der Tangente, die andere der Ordinate parallel ist, so ist das durch diese beide Linien entstandene Dreieck gleich dem Parallelogramm zwischen der Ordinate und dem Abschnitt des Durchmessers vom Scheitel bis zu der mit der Ordinate gezogenen Parallelen.
  Sei eine Parabel mit dem Scheitel B und dem Durchmesser AB gegeben und in dem Punkt C derselben eine Tangente CA bis an den Durchmesser und die Ordinate CH gezogen, und werde ferner von einem beliebigen Punkt D der Parabel bis an den Durchmesser hin die Linie DF ∥ CH, und DE ∥ CA gezogen, so ist, wenn man noch das Parallelogramm CHB bis zum Punkt G vollendet, und den Durchschnittspunkt von DF mit GC I nennt: ⬜ ∆
  • ∆DFE = ⬜BGIF.
  Beweis. ∆DFE : ∆CHA = DF² : CH² = BF : BH, da aber HB = BA, ist ∆CHA = ⬜CGBH, also ∆DFE : ⬜CGBH = BF : BH, aber auch ⬜IGBF : ⬜CGBH = BF : BH, und also ⬜IGBF = ∆DFE.
• 
  Lehrsatz 43. Wenn eine Tangente an einer Hyperbel, einer Ellipse oder einem Kreisumfang mit dem Durchmesser zusammentrifft, vom Berührungspunkt an den Durchmesser eine Ordinate, und hiermit eine Parallele vom Scheitel aus gezogen wird, bis sie die Verbindungslinie des Berührungspunktes mit dem Mittelpunkt schneidet; wenn ferner von einem beliebigen Punkt des Kegelschnitts nach dem Durchmesser hin zwei Linien gezogen werden, von denen die eine der Tangente, die andere der Ordinate parallel ist, so ist das durch diese beide Linien und den Durchmesser begrenzte Dreieck bei der Hyperbel gleich dem Dreieck, das von der zuletzt genannten Parallelen, dem Durchmesser und der Linie vom Mittelpunkt nach dem Berührungspunkt gebildet wird, vermindert um ein diesem ähnliches über dem Halbmesser beschriebenes Dreieck; bei der Ellipse und dem Kreis aber gleich demselben Unterschied mit verwechseltem Minuendus und Subtrahendus.
  Sei eine Hyperbel oder eine Ellipse oder ein Kreisumfang mit dem Durchmesser AB und dem Centrum C gegeben, und in einem Punkt E des Schnitts die Tangente ED, die Ordinate EF, so wie im Scheitel B die Linie BL parallel EF gezogen, bis sie der Verbindungslinie CE in L begegnet; werden ferner von einem beliebigen Punkte G des Kegelschnitts an den Durchmesser hin GH ∥ ED und GK ∥ EF gezogen, letztere aber nöthigenfalls bis zu ihrem Durchschnitt M mit CE verlängert, so wird behauptet:
  • ∆GHK = BKML.
  Bew. Nach § 39 ist das Verhältniss EF : FD zusammengesetzt aus dem Verhältniss CF : FE und dem Verhältniss des latus rectum zum latus transversum, da nun EF : FD = GK : KH und CF : FE = CB : LB, so ist das Verhältniss GK : KH zusammengesetzt aus dem Verhältniss CB : LB und dem Verhältnis des latus rectum zum latus transversum, weshalb, da auch ∠GKH und ∠CKM gleich sind oder sich zu 2 Rechten ergänzen, nach § 41 das doppelte Dreieck CKH bei der Hyperbel gleich dem doppelten Dreieck CKM, vermindert um das doppelte Dreieck CBL, und also auch GKH = LBMK ist; bei der Ellipse findet Aehnliches Statt.
  Anderer Beweis:
  1. ∆CDE : ∆CEF = CD : CF,
  2. ∆CLB : ∆CEF = CB² : CF²,
  da nun nach § 37 CD : CB = CB : CF, ist CD : CF = CB² : CF², und also
  3. ∆CDE = ∆CLB,
  welches von ∆CEF abgezogen, bei der Hyperbel (vonvon letzteres abgezogen bei der Ellipse) ergiebt:
  4. ∆EDF = EFBL.
  Nun ist
  5. ∆KHG = KG² : EF² = KB · KA : FB · FA = KC² - BC² : FC² - BC².
  Da aber FC² : KC² : BC² = ∆EFC : ∆MKC : ∆LBC, ist auch
  6. KC² - BC² : FC² - CB² = ∆MKC - ∆LBC : ∆EFC : ∆LBC : = MKBL : EFBL, also
  7. ∆KHG : ∆EFD = MKBL : EFBL,
  und also, da nach (4) ∆EFD = EFBL, auch
  8. ∆KGH = MKBL.
  Anm. Die Gleichheit der Dreiecke CBL und CDE ist besonders zu merken, welche übrigens erst in Lib. III. § 1. von Apollonius bewiesen ist.
• 
  Lehrsatz 44. Wenn eine Tangente an einem von zwei Gegenschnitten den Durchmesser schneidet und im Berührungspunkt eine Ordinate gezogen wird, wenn ferner damit von dem Scheitel des andern Gegenschnitts eine Parallele gezogen wird, welche mit der Verbindungslinie des Mittelpunkts und des Berührungspunktes zusammentrifft, und wenn endlich von einem beliebigen Punkt des Kegelschnitts an den Durchmesser zwei Linien gezogen werden, deren eine der Tangente, die andere der Ordinate parallel ist, so ist das durch diese beiden Linien und den Durchmesser begrenzte Dreieck gleich dem von den zuletzt gezogenen Parallelen, dem Durchmesser und der Linie vom Mittelpunkt nach dem Berührungspunkt begrenzten Dreieck, vermindert um ein diesem ähnliches Dreieck über dem Halbmesser des Schnitts.
  Seien zwei Gegenschnitte AF und BE mit dem Durchmesser AB und dem Mittelpunkt C gegeben, und von einem Punkt F in dem Schnitt FA die Ordinate FO und die Tangente FG bis an den Durchmesser gezogen, dann die Verbindungslinie FC verlängert, bis sie dem Gegenschnitt in E begegnet, durch den Scheitel B werde die Linie BL parallel FO bis zum Durchschnitt mit FE, und von einem beliebigen Punkt N des Gegenschnitts BE die Linie NK ∥ FG und NH ∥ FO, erstere bis an den Durchmesser, letztere nöthigenfalls verlängert bis zum Durchschnitt M mit FE, gezogen, so wird behauptet:
  • ∆NHK = ∆CMH - ∆CBL.
  Zieht man noch von E die Ordinate EX, so ergiebt sich die Richtigkeit der Behauptung aus dem vorigen Lehrsatz. Corollar. Es folgt hieraus leicht, dass zwei Tangenten, die an den Endpunkten eines Durchmessers zweier Gegenschnitte gezogen werden, parallel sind.
• 
  Lehrsatz 45. Wenn von einem Punkt einer Hyperbel, Ellipse oder eines Kreises bis an den zweiten Durchmesser eine Tangente und eine Parallele mit dem ersten Durchmesser, so wie eine Linie nach dem Mittelpunkt, und von einem beliebigen andern Punkt des Kegelschnitts bis an den zweiten Durchmesser zwei Linien parallel mit jenen zuerst erwähnten gezogen werden, so ist das von diesen letzteren und dem zweiten Durchmesser gebildete Dreieck bei der Hyperbel gleich der Summe zweier Dreiecke, deren ersteres die Tangente zur Grundlinie und den Mittelpunkt zur Spitze hat, und deren anderes durch die vom zweiten Punkt mit dem ersten Durchmesser gezogene Parallele den zweiten Durchmesser und die Linie vom Berüh­rungs­punkt nach dem Mittelpunkt gebildet wird, bei der Ellipse und dem Kreis gleich dem Unterschied derselben Dreiecke in gleicher Ordnung genommen.
  Sei eine Hyperbel oder Ellipse oder Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser AH, dem zweiten Durchmesser HD, also dem Mittelpunkt H, gegeben, und von einem beliebigen Punkt C im Umfang die Tangente CL, die den ersten Durchmesser in M, den zweiten in L trifft, die Parallele CD mit dem ersten Durchmesser und die Linie CH, ferner von einem beliebigen zweiten Punkt B des Umfangs die Linie BE ∥ CL und BF ∥ CD gezogen, bis letztere CH in G schneidet, so wird behauptet, dass
  • bei der Hyperbel ∆BFE = ∆CHL + ∆GHF,
  • bei Ellipse und Kreis ∆BFE = ∆CHL + ∆GHF.

  Man ziehe noch von C und B an den ersten Durchmesser die Ordinaten CK, BN und construire über AH das ∆AHX ähnlich mit ∆CDL. Nach § 39 ist das Verhältniss von CK : KM, d. h. DL : CD, zusammengesetzt aus dem Verhältniss KH : CK und dem des latus rectum zum latus transversum, folglich wird nach § 41 das über der Ordinate CK construirte Parallelogramm CDHK bei der Hyperbel gleich dem über der Abscisse CD construirten, dessen Hälfte CDL ist, vermindert um ein dem letzteren ähnliches über dem Halbmesser AH, bei Ellipse und Kreis gleich demselben Unterschied in verkehrter Ordnung sein, also auch

  1. ∆CHD = ∆CDL - ∆AHX bei Hyperbel,
  2. ∆CDH = ∆AHX - ∆CDL bei Ellipse.
  Folglich ist in jedem Fall
  3. ∆CLH = ∆AHX.
  Nun ist zunächst für die Hyperbel
  4. ∆CDH : ∆GFH = CK² : BN² = HK² - HA² : HN² - HA², und da
  5. HA² : HN² : HK² = ∆HAX : ∆FBE : ∆DCL,
  6. ∆CDH : ∆GFH = ∆DCL - ∆HAX : ∆FBE - ∆HAX,
  da aber nach 1) ∆CDH = ∆DCL - ∆HAX, ist auch
  7. ∆GFH = ∆FBE - ∆HAX, oder nach 3): = ∆FBE - ∆CLH.
  Bei der Ellipse sind nur die Zeichen in den Zeilen 4, 6, 7 umgekehrt.
• 
  Lehrsatz 46. Wenn von einem Punkt einer Parabel eine Tangente und durch ihren Berüh­rungs­punkt eine Parallele mit dem Durchmesser gezogen wird, so halbirt diese letztere alle der Tan­gen­te parallelen Sehnen.
  Sei eine Parabel mit dem Durchmesser ABD und im Punkte C derselben die Tangente CA, so wie die Parallele GM mit AB gegeben; wird nun von einem beliebigen Punkt L der Parabel eine Sehne LF parallel mit CA gezogen, so wird behauptet, dass diese durch GM in einem Punkt N halbirt werde.
  Man ziehe von L, F und dem Scheitel B die Ordinaten LD, FG, BH, bis sie GM in den Punkten M, K, H schneiden, verlängere noch LF, bis es in E den Durchmesser schneidet, so ist nach § 42
  1. ∆LDE = ⬜BHMD,
  2. ∆FGE = ⬜BHKG,
  also GFLD = ⬜GKMD, folglich auch ∆KNF = ∆LMN und da diese ähnlich sind, LN = NF. q. e. d.
• 
  Lehrsatz 47. Wenn von einem Punkt einer Hyperbel, Ellipse oder eines Kreisumfangs eine Tangente und ein Radius gezogen wird, so halbirt letzterer, nöthigenfalls verlängert, alle der Tangente parallelen Sehnen.
  Sei eine Hyperbel oder eine Ellipse oder ein Kreisumfang mit dem Durchmesser AB, dem Scheitel B und dem Mittelpunkt C gegeben, und werde in einem beliebigen Punkt E des Umfangs eine Tangente ED bis an den Durchmesser und ein Radius EC, von einem andern beliebigen Punkt G des Umfangs aber eine mit ED parallele Sehne GN gezogen, so wird behauptet, dass GN von CE in einem Punkt 0 halbirt wird.
  Man ziehe von G, N, B die Ordinaten GK, NF, BL, bis sie CE in den Punkten M, X, L schneiden, so ist nach § 43
  1. ∆GHK = BLMK,
  2. ∆NFH = BLXF,
  und folglich ∆GOM = ∆NOX, da aber diese Dreiecke ähnlich sind, ist GO = ON. q. e. d.
  
  
  
• 
  Lehrsatz 48. Wenn von einem Punkt im Umfang eines von zwei Gegenschnitten eine Tangente und ein Radius gezogen werden, so halbirt letzterer in seiner Verlängerung alle im zweiten Gegenschnitt parallel mit der Tangente gezogenen Sehnen.
  Seien zwei Gegenschnitte mit dem Durchmesser AB, dem Mittelpunkt C gegeben, und im Punkte L des einen von ihnen die Tangente LK und der Radius LC gezogen, so wird behauptet, dass die im andern Gegenschnitt parallel mit LK gezogene Sehne NG von der verlängerten LC in einem Punkt O halbirt wird. Man ziehe noch im Punkt E, wo die verlängerte LC den zweiten Gegenschnitt trifft, die Tangente ED, so ist nach dem, was in § 44 am Schluss gesagt ist, diese parallel mit LK, wodurch der Satz auf den vorigen zurückgebracht ist.
• 
  Lehrsatz 49. Wenn von einem beliebigen Punkt einer Parabel eine Tangente bis an einen Durchmesser und eine Parallele mit diesem, vom Scheitel aber den Ordinaten parallel eine Linie gezogen wird, und wenn, wie das Stück der Tangente zwischen dem Berührungspunkt und dieser letzten Parallelen, zu dem Stück der mit dem Durchmesser gezogenen Parallelen vom Berührungspunkt bis zu derselben Linie so eine neue Länge zur doppelten Tangente sich verhält, so ist das Quadrat einer von einem beliebigen Punkt der Parabel parallel mit der Tangente an die von ihrem Berührungspunkt ausgehende Parallele mit dem Durchmesser gezogene Linie gleich dem Rechteck des auf dieser dadurch abgeschnittenen Stückes und jener erwähnten neuen Länge, d. h. es ist für den vom Berührungspunkt ausgehenden Durchmesser diese neue Länge das zugehörige latus rectum.
  Sei eine Parabel mit dem Durchmesser CBM, dem Scheitel B gegeben, und werde im Punkte D derselben bis an den Durchmesser die Tangente DC, so wie die Parallele FDN mit dem Durchmesser, im Scheitel aber den Ordinaten parallel die Linie BEF gezogen, die die Tangente in E, die Parallele ND in F schneidet; sei nun DF : DE = 2 · CD : X, so wird, wenn von einem beliebigen Punkt K der Parabel bis an DN hin eine Parallele KL mit DC gezogen wird, behauptet:
  • KL² = LD · X.
  Man ziehe noch die Ordinaten DG und KM, welche letztere FD in N trifft, und verlängere KL bis an den Durchmesser zum Punkt P. Nun ist
  1. ∆KPM = ⬜BFNM
  und, wenn in letzterem das Stück DFE durch das gleiche CBE ersetzt wird,
  2. ∆KPM = NDCM;
  subtrahirt man nun das gemeinschaftliche NLPM, so bleibt
  3. ∆KLN = LDCP.
  Wenn aber ein Dreieck und ein Parallelogramm gleichen Inhalt und einen gleichen Winkel haben, so ist das Rechteck der diesen einschliessenden Seiten im Dreieck doppelt so gross als im Parallelogramm, also KL · LN = DL · 2 · DC und, da DF : DE = LN : KL = 2 · CD : X, KL · 2 · DC = X · LN, also KL² = DL · X. q. e. d.
• 
  Lehrsatz 50. Wenn eine Tangente an einer Hyperbel, Ellipse oder einem Kreise mit einem Durchmesser zusammentrifft, und vom Berührungspunkt eine Linie nach dem Mittelpunkt, vom Scheitel aus aber eine Ordinate bis zu dieser Verbindungslinie gezogen wird, und wenn, wie das Stück der Tangente zwischen dem Berührungspunkt und dieser Ordinate zu dem Stück der vom Mittelpunkt aus gezogenen Linie zwischen denselben Grenzen, so eine neue Länge sich zur doppelten Tangente verhält, so ist das Quadrat einer von einem beliebigen Punkt des Kegelschnitts aus parallel der Tangente bis an die Verbindungslinie des Mittelpunkts mit dem Berührungspunkt gezogenen Linie gleich dem Rechteck aus der vorerwähnten neuen Länge und dem Stück des Halbmessers zwischen dieser Linie, und dem Berührungspunkt bei der Hyperbel vermehrt um ein Rechteck von gleicher Breite, das ähnlich ist dem zwischen dem doppelten Halbmesser und der neuen Länge, bei der Ellipse um ein eben solches vermindert.
  Sei eine Hyperbel oder Ellipse oder der Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser AB und dem Mittelpunkt C gegeben, und im Punkte E an den Durchmesser hin die Tangente ED gezogen, die Verbindungslinie EC aber über C hinaus verdoppelt zum Punkt K, und nöthigenfalls auch über E verlängert, vom Scheitel B werde die Ordinate BFG, in E lotbrecht gegen EC die Linie EH, so dass FE : EG = EH : 2 · ED, ferner die Verbindungslinie HK gezogen. Nun ziehe man von einem beliebigen Punkt L des Kegelschnitts eine Linie LMX parallel der Tangente, die CE in M, CD in X trifft, und von L auch die Ordinate LN, die CE in R schneidet; endlich ziehe man von M eine Parallele mit EH, bis sie HK in P trifft, so wird behauptet:
  • LM² = EM · MP.
  Constr. Man ziehe noch von C mit HK die Parallele CO, die MP in O, EH in S schneidet.
  Beweis. Nach § 43 ist
  1. ∆LNX = RNBG
  und wenn man in letzterem das ∆GEF durch das gleiche Dreieck BFD ersetzt, (dass diese Dreiecke gleich sind, ist in III. 1. bewiesen, folgt aber auch leicht aus dem Bisherigen; ist ET die Ordinate in E, so ist CD : CB = CB : CT = CG ; CE und folglich BE parallel DG, also ∆DFB = ∆GFE)
  2. ∆LNX = RNDE,
  oder wenn auf beiden Seiten NRMX weggelassen wird,
  3. ∆ = EMXD,
  und da diese einen Winkel gleich haben, ist:
  4. LM · MR = EM · [ED + MX],
  aber, da FE : EG = LM : MR = EH : 2 · ED, oder was dasselbe ist, LM : MR = ES : ED, ist
  5. LM · ED = MR · ES,
  also durch Multiplication von 4. und 5.
  6. LM² = EM ·(ES ⁄ ED) · [ED + MX];
  da aber ES : ED = MO : MX, erhält man sogleich
  7. LM² = EM · [ES + MO],
  und da aber endlich ES = SH = OP, LM² = EM · MP. q. e. d.
• 
  Lehrsatz 51. Wenn an einem von zwei Gegenschnitten eine Tangente gezogen wird, die den Durchmesser schneidet, vom Berührungspunkt nach dem Mittelpunkt eine gerade Linie gezogen und bis zum andern Gegenschnitt verlängert wird, im Scheitel des ersten aber eine Ordinate gezogen wird, und wenn, wie das Stück der Tangente zwischen dem Berührungspunkt und dieser Ordinate zu dem Stück der vom Mittelpunkt her gezogenen Linie zwischen denselben Grenzen, so eine neue Länge sich zur doppelten Tangente verhält, so ist das Quadrat einer Linie, die im andern Gegenschnitt parallel der Tangente bis an die vom Berührungspunkt durch den Mittelpunkt gehende Linie gezogen wird, gleich dem Rechteck aus dem durch sie darauf abgeschnittenen Stück und jener neuen Länge, vermehrt um ein Rechteck von gleicher Breite, das ähnlich ist dem aus dieser neuen Länge und dem zwischen beiden Gegenschnitten liegenden Stück der durch den Mittelpunkt gehenden Linie.
  Seien zwei Gegenschnitte mit dem Durchmesser AB, dem Mittelpunkt E und im Punkte C des einen die Tangente CD gegeben, werde ferner die Linie CE gezogen und bis an den andern Gegenschnitt zum Punkt F verlängert; und im Scheitel B des ersten der beiden Gegenschnitte die Linie BLG den Ordinaten parallel gezogen, die CD in L, CE in G schneidet, und sei CL : CG = X : 2 · CD, wo X eine neue Länge ist, so ist klar, dass in dem Gegenschnitt BC das Quadrat einer von einem beliebigen Punkt des Schnitts an die verlängerte EG parallel mit CD gezogenen Linie gleich einem Rechteck aus X und dem durch eine solche Parallele auf EC gebildeten Abschnitt vermehrt um ein Rechteck von gleicher Breite ähnlich den zwischen X und CF enthaltenen ist. Es wird nun behauptet, dass dasselbe auch im andern Gegenschnitt AF statt findet.
  Man ziehe in F die Tangente FM und im Scheitel A den Ordinaten parallel AKN. Nun ist FM ∥ CD und FM = CD und da auch EF = EC, also überhaupt die zu beiden Seiten von E liegenden geradlinigen Figuren congruent sind, ist also FK : FN = X : 2 · FM, woraus die Behauptung erhellt.
  Durch diese Lehrsätze ist nun gezeigt, dass in der Parabel eine jede Linie, die parallel mit dem aus der Erzeugung herrührenden Durchmesser gezogen wird, ein Durchmesser ist; in der Hyperbel aber, der Ellipse und den Gegenschnitten jede durch den Mittelpunkt gehende Linie; dass ferner fár jeden Durchmesser die Quadrate der parallel mit der Tangente im Scheitel gezogenen Ordinaten bei der Parabel gleich den daran liegenden Rechtecken [aus Abscisse und latus rectum] sind, bei der Hyperbel und den Gegenschnitten gleich diesen Rechtecken vermehrt um eine gewisse Figur und bei der Ellipse vermindert um dieselbe Figur; endlich folgt hieraus, dass, was für die aus der Erzeugung herrührenden Durchmesser bewiesen ist, auch gelte für beliebige andere Durchmesser.

Zweites Buch des Apollonius von Perga über Kegelschnitte.

Apollonius grüsst den Eudemos.

Es freut mich, wenn Du wohl bist; ich befinde mich ziemlich nach Wunsch. Ich habe meinem Sohn Apollonius das zweite Buch der Kegelschnitte, das ich geschrieben habe, übergeben, dass er es Dir bringe. Du wirst dasselbe sorgfältig durchlesen und denen mittheilen, die Dir dessen würdig scheinen werden. Auch dem Geometer Philonidas, den ich in Ephesus Dir zum Freunde gemacht habe, wirst Du dasselbe zu lesen geben, wenn er einmal nach Pergamus kommt. Sorge, dass Du gesund bleibst.

• 
  Lehrsatz 1. Wenn auf einer Tangente im Scheitel einer Hyperbel vom Berührungspunkt aus nach beiden Seiten gleiche Stücke abgeschnitten werden, welche einzeln gleich der mittleren Proportionale zwischen dem halben Latus transversum und dem halben Latus rectum sind, so treffen die Linien, die vom Mittelpunkt nach den erhaltenen Endpunkten gezogen werden, mit der Hyperbel nicht zusammen.
  
  Sei eine Hyperbel mit dem Durchmesser AB, dem Mittelpunkt C und dem Latus rectum BF gegeben, und werde auf der im Scheitel B gezogenen Tangente nach jeder Seite zu ein Stück, BD nach der einen, BE nach der andern Seite, abgeschnitten, dessen Quadrat gleich dem vierten Theile des Rechtecks aus AB und BF ist, und die Linien CD, CE gezogen, so wird behauptet, dass diese Linien mit der Hyperbel nicht zusammentreffen.
  Beweis. Träfe die verlängerte CD die Hyperbel in G, so ziehe man die Ordinate GH, dann wäre
  1. GH² : HB · HA, d. h. GH² : HC² - CB² = BF : BA,
  oder wenn das zweite Verhältnis mit AB ⁄4 erweitert und 1 ⁄ 4 · BA · BF = BD², 1 ⁄ 4 · BA² = CB² gesetzt wird,
  2. GH² : HC² - CB² BD² : BC².
  Es ist aber aus der Aehnlichkeit der Dreiecke CHG, CDB
  3. GH² : HC² = BD² : BC².
  Also müsste HC² = HC² - CB² sein, welches unmöglich ist, und folglich kann die verlängerte CD mit der Hyperbel nicht zusammentreffen.
• 
  Lehrsatz 2. Unter denselben Voraussetzungen ist zu zeigen, dass von C aus in den Winkelraum DCE keine andere Asymptote gezogen werden kann.
  Wäre CL eine solche Asymptote, so ziehe man vom Scheitel B mit CD eine Parallele, bis sie CL in L trifft; ferner von L parallel mit DB die Ordinate LH, welche die verlängerte CD in G, die Hyperbel in K schneidet. Nun ist nach dem, was in § 1 bewiesen:
  1. KH² : HC² - CB² = GH² : HC², oder
  2. GH² - KH² : CB² = GH² : HC² = DB² : CB²;
  also müsste GH² - KH² = DB² sein, was unmöglich ist, denn GH² - KH² = (GH - KH) · (GH + KH) = GK · (GK + 2 · KH) und GK > GL, aber GL = DB. Mithin ist bewiesen, dass ausser CG und GM keine andere Asymptote in den Winkelraum GCM gezogen werden kann.
• 
  Lehrsatz 3. Wenn eine gerade Linie eine Hyperbel berührt, so schneidet sie beide Asymptoten und ihr Berührungspunkt ist die Mitte des Stücks zwischen den Asymptoten; das Quadrat ihrer Hälfte aber ist gleich dem vierten Theil des zum Durchmesser nach dem Berührungspunkt gehörigen Rechtecks.
  
  Sei ABC eine Hyperbel, E ihr Mittelpunkt, EF, EG die Asymptoten und in B eine Tangente gezogen. Träfe diese nun eine Asymptote EF nicht, so könnte man auf ihr nach der Seite dieser Asymptote zu ein Stück BH gleich der mittleren Proportionale zwischen dem halben Latus rectum und dem halben Latus transversum abschneiden, dann wäre nach § 1 EH eine andere Asymptote, was nach § 2 unmöglich ist. Also trifft die Tangente jede Asymptote und es ist das Quadrat jedes Stücks zwischen Berührungspunkt und Asymptote gleich dem vierten Theil des zum Durchmesser gehörigen Rechtecks.
• 
  Aufgabe 1. Wenn ein Winkel und zwischen seinen Schenkeln ein Punkt gegeben ist, eine Hyperbel zu construiren, die durch den Punkt geht und die Schenkel des Winkels zu Asymptoten hat.
  
  Sei BAC der Winkel, D der Punkt zwischen seinen Schenkeln; man soll eine Hyperbel construiren, die durch D geht und AB, AC zu Asymptoten hat. Man ziehe DA und verlängere es über A bis E, so dass AE = AD ist; ferner ziehe man von D, parallel mit BA, die Linie DF, welche AC in F schneidet, mache AF = FC und ziehe CD, welche AB in B trifft. Endlich nehme man zu DE und BC die dritte Proportionale G und beschreibe für den Durchmesser ED das Latus transversum ED, das Latus rectum G und den Ordinatenwinkel BDA eine Hyperbel, so ist dies die verlangte.
  Weil AF = FC und FD parallel AB, ist BD = DC, und da BC die mittlere Proportionale zwischen Latus rectum und transversum, ist es BD zwischen den Hälften dieser Linien, also sind AB, AC Asymptoten der Hyperbel.
  Anm. Commandinus sagt, dass diese Aufgabe nicht vom Apollonius, sondern vom Eutocius oder irgend einem andern herrührt; 1) weil Archimedes im 4. Satz des 2. Buchs über Kugel und Cylinder sagt: ώς δἑ δεῖ διἀ τοῦ δοϑϑνος·σημεἰον περί·τἀς·δοςείσας ἀσνμπτώττνς·γράψαι ὑπερβολήν, δείξομεν ούτως, ἐπειδή οὐχ αὐτόςεν·χεῖται έν τοῖς·χωνιχοῖς·στοιχείοις. 2) Weil Pappus unter den Lemmen, die er zum fünften Buch giebt, diese Aufgabe mit derselben Auflösung behandelt.
• 
  Lehrsatz 4. Wenn ein Durchmesser einer Parabel oder Hyperbel eine Sehne halbirt, so ist die Tangente im Scheitel dieses Durchmessers parallel der halbirten Sehne.
  
  Sei ABC eine Parabel oder Hyperbel mit dem Durchmesser DBE, FBG eine Tangente im Scheitel B; und werde die Sehne AC vom Durchmesser DB im Punkte E halbirt, so wird behauptet, dass AC parallel FG ist. Wäre dies nicht der Fall, so ziehe man die Sehne CH parallel mit FG und verbinde H mit A. Trifft nun CH den Durchmesser DB in K, so ist nach I. 46 und 47 HK = CK, und also AH parallel mit KE, was nach I. 22 unmöglich ist.
• 
  Lehrsatz 5. Wenn ein Durchmesser einer Ellipse oder eines Kreises eine nicht durch den Mittelpunkt gehende Sehne halbirt, so ist diese halbirte Sehne parallel der Tangente in einem Endpunkte dieses Durchmessers.
  
  Sei eine Ellipse oder ein Kreisumfang mit dem Durchmesser AB gegeben, und werde eine nicht durch den Mittelpunkt gehende Sehne CD vom Durchmesser AB in E halbirt, so wird behauptet, dass CD parallel der im Endpunkt A des Durchmessers gezogenen Tangente ist. Wäre dies nicht der Fall, so sei DF parallel mit der Tangente; wird nun DF vom Durchmesser in G getroffen, so ist DG = GF und CF parallel mit GE, was unmöglich ist. Denn entweder ist G der Mittelpunkt des Kegelschnitts, dann muss nach I. 23 die verlängerte CF mit dem Durchmesser zusammentreffen, oder G ist nicht der Mittelpunkt, dann ziehe man von D durch den Mittelpunkt K die Sehne DKH, dann ist also DK = KH und also CH parallel mit AB; es war aber auch CF parallel AB, also lägen die drei Punkte C, F, H in gerader Linie, was unmöglich ist; also ist die Linie DC parallel der Tangente in A.
• 
  Lehrsatz 6. Wenn mit einer Tangente eines Kegelschnitts oder Kreises eine parallele Sehne gezogen und der Berührungspunkt der Tangente mit dem Mittelpunkt der Sehne verbunden wird, so ist diese Verbindungslinie ein Durchmesser.
  
  Sei ein Kegelschnitt oder ein Kreis ABC mit der Tangente FG in B gegeben, parallel mit FG die Sehne AC gezogen, und ihre Mitte E mit dem Berührungspunkt B verbunden, so wird behauptet, dass BE ein Durchmesser ist. Wäre dies nicht der Fall, so sei BH ein Durchmesser, dann müsste AH = HG sein, was unmöglich ist, da AE = EC nach Voraussetzung. Also ist BH kein Durchmesser, und ebenso wenig eine andere Linie ausser BE.
• 
  Lehrsatz 7. Wenn eine gerade Linie eine Hyperbel in zwei Punkten schneidet, so trifft sie an beiden Seiten verlängert mit den Asymptoten zusammen und die beiden Abschnitte derselben, die zwischen den Asymptoten und der Hyperbel liegen, sind gleich.
  
  Sei eine Hyperbel ABC mit den Asymptoten DE, DF gegeben, und werde dieselbe von der Geraden AC in den Punkten A und C getroffen, so wird behauptet, dass AC mit beiden Asymptoten zusammentrifft. Sei G die Mitte von AC, so ist DG ein Durchmesser der Hyperbel, weshalb die Tangente im Scheitel B desselben parallel mit AC ist. Diese Tangente trifft nach § 3 mit den Asymptoten zusammen, also muss auch ihre Parallele AC mit denselben Linien zusammentreffen. Seien nun H, K die Punkte, in denen die Tangente, E, F die Punkte, in denen AC die Asymptoten trifft, so ist, weil HB = KB, auch EG = FG, und da AG = CG, auch EA = CF, was zu beweisen war.
• 
  Lehrsatz 8. Wenn eine gerade Linie, die die Asymptoten trifft, von der Hyperbel halbirt wird, so hat sie nur einen Punkt mit dieser gemein.
  
  Trifft eine Gerade die Asymptoten in den Punkten C und D, und die Hyperbel in E, so dass CE = DE ist, so kann sie die Hyperbel nicht in einem zweiten Punkt in B treffen, denn sonst müsste nach vorigem Satz CE = BD sein, was unmöglich ist.
• 
  Lehrsatz 9. Wenn eine gerade Linie eine Hyperbel und ihre Asymptoten schneidet, so ist das Rechteck aus den Abschnitten, die auf ihr zwischen einem Hyperbelpunkt und den beiden Asymptote liegen, gleich dem vierten Theil des Rechtecks, das zu dem die Gerade halbirenden Durchmesser gehört.
  
  Sei eine Hyperbel ABC mit den Asymptoten ED, EF und einer Geraden, die die Hyperbel in A, C, die Asymptoten in D, F schneidet, gegeben. Man ziehe vom Mittelpunkt E nach der Mitte G von AC eine Linie, die die Hyperbel in B trifft, verlängere EB um sich selbst bis H, errichte senkrecht auf HB in B das zum Latus transversum RB gehörige Latus rectum BM, so wird behauptet: AD · AF = ¼ · HB · BM.
  Man ziehe noch in B die Tangente, die die Asymptoten ED, EF in K und L schneidet. Nun ist:
  1. DG² : EG² = BK² : EB² = ¼ HB · BM : EB²
  2. AG² : EG² - EB² = BM : HB = ¼ · HB · BM : EB², also
  3. DG² : EG² = AG² : EG² - EB², oder
  4. DG² - AG² : EB² = DG² : EG² = ¼ · HB · BM : EB³, also
  DG² - AG² = ¼ HB · BM. Da aber DG² - AG² = AD · AF, ist AD · AF = ¼ · HB · BM. q. e. d.
• 
  Lehrsatz 10. Wenn eine gerade Linie beide Schenkel des Nebenwinkels vom Asymptotenwinkel durchschneidet, so trifft sie die Hyperbel nur in einem Punkt und das Rechteck aus den Abschnitten, die auf ihr zwischen dem Hyperbelpunkt und den Asymptoten liegen, ist gleich dem Quadrat der Hälfte des mit dieser Geraden parallelen Durchmessers.
  
  Sei eine Hyperbel zwischen den Asymptoten CH, CK gegeben und werde der Nebenwinkel von KCH von einer Geraden in den Punkten E, F getroffen, so wird zuerst behauptet, dass die Linie EF die Hyperbel nur in einem Punkte schneide. Man ziehe von C eine Parallele mit EF, so muss diese in den Asymptotenwinkel selbst hinein fallen und die Hyperbel in einem Punkte B treffen nach § 2, und also ein Durchmesser sein; folglich kann nach I 26 EF nur in einem Punkte die Hyperbel schneiden. Sei L der Schneidungspunkt, so wird behauptet: LF · LE = CB².
  Man ziehe in B die Tangente, die die Asymptoten CH, CK in den Punkten D, M schneidet, und von L parallel damit die Ordinate LG, die die Asymptoten in den Punkten H und K trifft. Nun ist:
  1. LH : HG = LE : GC,
  2. LK : GK = LF : GC, also
  3. LH · LK : HG² = LF · LE : GC², oder da
     HG² : GC² = DB² : BC²,
  4. LH · LK : DB² = LF · LE : CB²,
  und da nach vorigem Satz LH · LK = DB², ist auch:
  • LF · LE = CB². q. e. d.
• 
  Lehrsatz 11. Wenn von einem Punkte einer Hyperbel bis an jede der beiden Asymptoten eine gerade Linie und von einem andern Punkte derselben Parallelen mit den gezogenen Linien bis an dieselben Asymptoten gezogen werden, so ist das Rechteck aus den vom ersten Punkt gezogenen Linien gleich dem Rechteck aus den vom andern Punkt gezogenen.
  
  Sei eine Hyperbel ABD mit den Asymptoten CE, CF gegeben, und von einem Punkt A derselben an die Asymptoten die Linien AE, AG, von einem andern Punkt D die Linien DH, DF parallel je einer der vorigen bis an die entsprechenden Asymptoten gezogen, so wird behauptet:
  • AE · AG = DF · DH.
  Man ziehe noch AD, welche die Asymptoten in K, L trifft, so ist
  1. AE : AG = AK : DK,
  2. AG : DF = AL : DL, also
  3. AG · AE : DF · DH = AK · AL : DK · DL, und da
  AK · AL = DK · DL nach § 8, so ist auch
  • AG · AE = DF · DH.
• 
  Lehrsatz 12. Wenn in dem Raum zwischen der Hyperbel und den Asymptoten eine Parallele mit der einen Asymptote gezogen wird, so trifft sie mit der Hyperbel und zwar nur in einem Punkte zusammen.
  
  Sei eine Hyperbel LBH mit den Asymptoten CE, CF gegeben und in dem Raum zwischen ihnen die Linie DG parallel mit CE gezogen, so wird behauptet, dass dieselbe mit der Hyperbel und zwar nur in einem Punkte zusammentrifft.
  Träfe sie nicht mit derselben zusammen, so sei H ein beliebigen Punkt der Hyperbel und von ihm HF parallel mit EC bis an die Asymptote gezogen, werde ferner auf DG der Punkt G so bestimmt, dass CD · DG = CF · FH ist, dann CG gezogen, bis es die Hyperbel in B trifft (siehe § 2), und endlich von B an die Asymptote CF die Linie BJ parallel EC gezogen, so müsste BJ · CJ = HF · CF = CD · DG sein, was unmöglich ist, da CD : CJ = DG : BJ ist. Träfe aber die Linie DG die Hyperbel in zwei Punkten K und L, so müsste CD · DK = CD · DL sein, was ebenfalls unmöglich ist.
  Also trifft die Linie DG die Hyperbel nur in einem Punkt.
• 
  Lehrsatz 13. Wenn eine Hyperbel und ihre Asymptoten ins Unendliche verlängert werden, so kommen sie einander immer näher, so dass ihre wechselseitige Entfernung kleiner wird als irgend eine angebbare Grösse.
  
  Sei eine Hyperbel mit den Asymptoten CD, CE gegeben, so wird zuerst behauptet, dass sich die Hyperbel den Asymptoten nähert, je weiter beide verlängert werden.
  Seien DE, JH zwei parallele, zwischen den Asymptoten gezogene Linien, DE aber, die dem Mittelpunkt näher liegt, begegne der Hyperbel in B; zieht man CB, bis es JH in K trifft, so ist K innerhalb der Hyperbel. Sei nun G der Schneidungspunkt der Hyperbel mit JK, so ist, weil DB · BE = JG · GH und GH > BE, auch nothwendig DB > JG; also nähert sich die Hyperbel, je weiter sie verlängert wird, desto mehr der Asymptote CD. Sei nun X eine gegebene kleine Länge, so schneide man auf DB ein Stück DF < X ab und ziehe von F eine Parallele mit CD, so muss diese nach § 13 die Hyperbel in einem Punkt L treffen; zieht man nun noch durch L eine Parallele mit DE, die die verlängerte CD in M trifft, so ist LM = DF und mithin kleiner als X; also wird die Entfernung zwischen der Asymptote und der Hyperbel zuletzt kleiner als irgend eine angehbare Grösse.
  Anm. des Uebersetz. Die kürzeste Entfernung von einem Hyperbelpunkt zur Asymptote ist das Loth; wenn also LM nicht senkrecht auf CM ist, so wird die eigentliche Entfernung noch kürzer als LM sein.
  Anm. Aus dem Gesagten ist klar, dass die Linien CD, CE der Hyperbel näher kommen, als irgend andere gerade Linien, die nicht die Hyperbel selbst treffen, und dass es keinen kleineren Winkel als DCE giebt, zwischen dessen Schenkeln sich die Hyperbel befindet.
  Zu dieser Anmerkung haben sich in den verschiedenen Exemplaren, die Eutocius benutzt hat, noch längere Auseinandersetzungen gefunden, welche Eutocius selbst weggelassen hat, weil sie ihm überflüssig erschienen und von denen er nur einen kurzen Bericht giebt; man kann sich den Inhalt derselben leicht vergegenwärtigen, wenn man alle Fälle zeichnet, in denen ein Winkel eine Hyperbel zwischen seinen Schenkeln enthält, und jedesmal zeigt, dass dieser Winkel nicht kleiner sein kann, als der Asymptotenwinkel. Auch ein Lemma des Pappus, worin bewiesen wird, dass zwei zu denselben Asymptoten gehörige Hyperbeln sich nicht schneiden, einander aber näher kommen als irgend angebbar ist, findet sich von Commandinus an diese Stelle gesetzt; die Richtigkeit des ersten Theils dieser Behauptung ergiebt sich fast unmittelbar aus § 8, und der zweite Theil folgt eben so leicht aus § 14.
• 
  Lehrsatz 14. Gegenschnitte haben dieselben Asymptoten.
  Da die Tangenten an den Gegenschnitten, welche in den Endpunkten eines Durchmessers gezogen werden, parallel sind, und die Stücke, welche auf jeder derselben vom Scheitelpunkt aus nach § 1 abgeschnitten werden müssen, um die Asymptoten zu erhalten, gleich sind, so erhellt leicht, dass jede Asymptote des einen Gegenschnitts die Verlängerung einer Asymptote des andern ist.
• 
  Lehrsatz 15. Wenn beide Schenkel des Nebenwinkels eines Asymptotenwinkels, in dem und dessen Scheitelwinkel sich Gegenschnitte befinden, von einer geraden Linie geschnitten werden, so trifft diese auch jeden der Gegenschnitte in einem Punkt und die Abschnitte derselben zwischen den Asymptoten und den Hyperbeln sind einander gleich.
  
  Seien zwei Gegenschnitte mit den Scheiteln A, B dem Mittelpunkt C und den Asymptoten DCG, ECF gegeben und eine gerade Linie gezogen, die DC in H, CF in K schneidet, so wird behauptet, dass dieselbe mit jedem der Gegenschnitte nur in einem Punkt zusam­men­treffe. Dies folgt aus § 11 für jede der beiden Hyperbeln einzeln. Seien nun L und M die Punkte, in denen die Gegenschnitte getroffen werden, und werde durch C ein Durchmesser AB parallel LM gezogen, so ist ebenfalls nach § 11, HL · LK = AC², HM · MK = B², also BL · LK = HM · MK und deshalb auch HL = MK.
• 
  Lehrsatz 16. Conjugirte Gegenschnitte haben dieselben Asymptoten.
  
  Seien zwei Paar conjugirte Gegenschnitte mit den conjugirten Durchmessern AB, DE und dem Mittelpunkt C gegeben, so wird behauptet, dass sie gemeinsame Asymptoten haben.
  Man ziehe in den Punkten A, B,D, E die Tangenten an die Hyperbeln, welche FAG, GEH, HBK, KDF heissen. Nun sind FG und KH parallel DE, und FK und GH parallel AB, (I. 56); also FKHG ein Parallelogramm und die Diagonalen desselben GK, FH geben durch den Punkt C und halbiren sich daselbst. Da nun DE² gleich dem zum Durchmesser AB gehörigen Rechteck ist, ist DC² oder jedes der vier Quadrate KB², BH², AG², AF² gleich dem vierten Theil des zum Durchmesser AB gehörigen Rechtecks, mithin KG, FH die Asymptoten für die Gegenschnitte mit den Scheiteln A; und B, und auf ganz dieselbe Weise wird gezeigt, dass sie es auch für die Gegenschnitte mit den Scheiteln D und E sind.
• 
  Lehrsatz 17 und 18. Wenn an einem von zwei Paaren conjugirter Gegenschnitte eine Tangente gezogen wird, so trifft dieselbe jeden der daneben liegenden Gegenschnitte je in einem Punkt, und der Berührungspunkt ist die Mitte zwischen diesen beiden Schneidungspunkten.
  
  Seien conjugirte Gegenschnitte A, B, D, E gegeben und im Punkte E an einen derselben eine Tangente gezogen, so wird zuerst behauptet, dass diese Tangente die beiden daneben befindlichen Gegenschnitte je in einem Punkte trifft. Seien CF, CG die Asymptoten der Schnitte, so muss die Tangente nach § 3 dieselben treffen, und deshalb nach § 11 auch die daneben befindlichen Gegenschnitte.
  Seien nun I, H die Schneidungspunkte, so wird ferner behauptet, dass EI = EH ist. Sind G und F die Punkte, in denen die Asymptoten geschnitten werden, so ist nach § 2 GE = EF und nach § 16 IG = FH, also auch EI = EH. q. e. d.
• 
  Lehrsatz 19. Wenn an einen von zwei Paaren conjugirter Gegenschnitte eine Tangente, und vom Mittelpunkt eine Linie nach dem Berührungspunkt und eine andere parallel mit der Tangente bis zum Durchschnitt mit den conjugirten Schnitten gezogen werden, so ist die Tangente in einem dieser zuletzt erwähnten Schneidungspunkte parallel der Linie vom Mittelpunkt nach dem Berührungspuukt der ersten Tangente, und die Linien, welche durch den Mittelpunkt nach den Berührungspunkten gehen, sind conjugirte Durchmesser der Gegenschnitte.
  
  Seien zwei Paar conjugirte Gegenschnitte A, B, D, E und an einem Punkt F eines derselben eine Tangente FGH gegeben, vom Mittelpunkt. C aber eine Linie nach F und eine Parallele mit FGH gezogen, welche den conjugirten Schnitt D in I trifft, so wird behauptet:
  1. dass die in I gezogene Tangente IK ‖ CF ist,
  2. dass die verdoppelten FC, IC conjugirte Durchmesser sind.
  Beweis. Man ziehe von F an den Durchmesser CA die Ordinate FL und von I an den zu CA conjugirten Durchmesser CD die Ordinate IM. Nun ist, wenn r das zu BA gehörige latus rectum bedeutet:
  1. FL² : LG · LC = r : AB nach I § 37,
  2. MI² : MK · MC = AB : r nach I. § 56 und § 37 also
  • FL² : LG · LC = MK · MC : MI², da aber
  • FL : LG = MC : MI wegen Aehnlichkeit der Dreiecke FLG, CMI, muss auch
  • FL : LC = MK : MI und also auch
  • ∆FLC ∾ ∆KMI;
  nun ist ∠ICL = ∠MIC und subtrahirt man davon ∠FCL = ∠MIK, so bleibt ∠FCI = ∠KIC, also FC ‖ KI.
  Bedeutet ferner S das Latus rectum für das latus transversum 2 · CI, so ist zweitens zu zeigen, dass
  • CI : CF = CF : ½ · S.
  Man ziehe noch im Scheitel D eine Tangente, die IK in 0, IC in N trifft, so ist
  1. IN : IO = 2 · IK : S (I. 50), oder da
     IN : IO = FG : FC
  2. FG : CF = IK : ½ · S. Es ist aber
     CH : CD = CD : FL, mithin
  3. CH : FL = HG : FG = CH² : CD², oder
  4. ∆CHG : ∆FGC = ∆CHG : ∆DNC, also
  • ∆FGC = ∆DNC = ∆IKC (2. Bew, von I. 43).
  Da nun ∠KIC = ∠GFC, muss FG : IK = CI : CF, welches oben in (2) substituirt giebt CI : CF = CF : ½ · S. Auf dieselbe Weise kann gezeigt werden, dass CI zu CF wie CF zu dem zu 2 · CF gehörigen Latus rectum sich verhält. Mithin sind 2 · IC, 2 · FC conjugirte Durchmesser.
• 
  Lehrsatz 20. Unter denselben Voraussetzungen ist zu zeigen, dass der Punkt, in welchem die Tangenten in den Endpunkten zweier conjugirter Durchmesser zusammentreffen, auf einer Asymptote liegt.
  
  Seien conjugirte Gegenschnitte mit den conjugirten Durchmessern AB, DE und dem Centrum C gegeben, und F der Schneidungspunkt der in A und D gezogenen Tangenten, so wird behauptet, dass F auf einer Asymptote liegt.
  CD² ist gleich dem vierten Theil des zum Durchmesser AB gehörigen Rechtecks, und da AF = CD ist, ist nach § 1 CF eine Asymptote, mithin F ein Punkt auf derselben.
• 
  Lehrsatz 21. Wenn in conjugirten Gegenschnitten vom Mittelpunkt an einen der Schnitte eine Linie und eine zweite parallel der ersten so gezogen wird, dass sie einen der benachbarten Schnitte durchschneidet und bis an die Asymptoten reicht, so ist das Rechteck aus den Abschnitten dieser Linie zwischen einem Punkt der Hyperbel und den beiden auf den Asymptoten gleich dem Quadrat der zuerst vom Mittelpunkt an einen Schnitt gezogenen Linie.
  
  Seien conjugirte Gegenschnitte A, B, D, E mit dem Mittelpunkt C gegeben, und von C an einen derselben die Linie CD, parallel mit CD aber eine andere Linie gezogen, die den benachbarten Schnitt A in den Punkten F und G, die Asymptoten in den Punkten H und I trifft, so ist zu zeigen, dass
  • HF · FI = CD²
  Ist M die Mitte von FG, so ist CM der zu der Ordinate FM gehörige Durchmesser, und wenn A der Punkt ist, in welchem CM die Hyperbel trifft, die Tangente in A parallel mit FM und CD. Ist nun AN das Stück derselben bis zu einer Asymptote, so ist AN² = HF · FI nach § 10, aber da nach § 20 CA und CD conjugirte Durchmesser sind, ist AN = CD, also auch CD² = HF · FJ.
• 
  Lehrsatz 22. Wenn in conjugirten Gegenschnitten vom Mittelpunkt aus an einen der Schnitte eine Linie und parallel damit eine andere gezogen wird, welche drei benachbarte Schnitte trifft, so ist das Rechteck aus den Abschnitten dieser Linie, die zwischen einem Punkt des mittleren Schnitts und den beiden auf den benachbarten Schnitten liegen, gleich dem doppelten Quadrat der zuerst gezogenen Linie.
  Seien conjugirte Gegenschnitte A, B, D, E gegeben, und vom Mittelpunkt C an einen derselben eine Linie CD, parallel damit aber eine andere Linie gezogen, die den Schnitt A in den Punkten F, G, die benachbarten Schnitte D und E aber in den Punkten K und L trifft, so wird behauptet, dass KF · FL = 2 · CD².
  Man ziehe noch die Asymptoten, welche die Linie FG in den Punkten H und I treffen, und nenne M die Mitte zwischen F und G, so ist also auch M die Mitte zwischen K und L und zwischen H und I.
  Nun ist
  1. CD² = HF · FI = MH² - MF² nach § 22,
  2. CD² = HK · KI = MK² - MH² nach §11. Also
  3. 2 · CD² = MK² - MF² = KF · FL. q. e. d.
• 
  Lehrsatz 23. Wenn zwei Linien eine Parabel jede in zwei Punkten so schneiden, dass kein Durchschnittspunkt der einen zwischen den Durchschnittspunkten der andern liegt, so schneiden sich die beiden Linien ausserhalb der Parabel.
  
  Sei eine Parabel ABCD gegeben, welcher zwei, Gerade AB und CD so begegnen, dass keiner der Durchschnittspunkte A und B der einen zwischen den Durchschnittspunkten C und D der andern liegt, so wird behauptet, dass AB, CD ausserhalb der Parabel zusammentreffen. Man ziehe durch B und C die Durchmesser EBF, GCH, so sind diese parallel und treffen jeder die Parabel nur in einem Punkt; verbindet man also BC, so sind die Winkel FBC, HCB zusammen gleich zwei Rechten; also bilden AB, DC in ihren Verlängerungen mit BC Winkel, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind, und folglich, treffen sich diese Verlängerungen ausserhalb des Schnitts.
• 
  Lehrsatz 24. Wenn zwei Linien eine Hyperbel jede in zwei Punkten so schneiden, dass kein Durchschnittspunkt der einen zwischen den Durchschnittspunkten der andern liegt, so schneiden sich die beiden Linien ausserhalb der Hyperbel, jedoch innerhalb des Asymptotenwinkels.
  
  Sei eine Hyperbel mit den Asymptoten CD, CE gegeben und von zwei geraden Linien FG, HI so durchschnitten, dass nicht einer der Punkte H, I zwischen den Punkten F, G liegt, so wird behauptet, dass die Linien GF, IH ausserhalb der Hyperbel, jedoch innerhalb des Winkelraums DCE zusammentreffen. Man ziehe CF, CH und verbinde F mit H. Weil nun die Verlängerungen der Geraden GF, IH innerhalb der Winkel CFH, CHF fallen, diese Winkel zusammengenommen kleiner als zwei Rechte sind, so müssen sie innerhalb des Dreiecks CFH, also auch innerhalb des Winkelraums DCE zusammen kommen.
  Anm. Auf gleiche Weile kann dasselbe von zwei die Hyperbel berührenden Geraden gezeigt werden.
• 
  Lehrsatz 25. Wenn in einer Ellipse oder einem. Kreise zwei Sehnen, die nicht durch den Mittelpunkt geben, sich schneiden, so werden sie sich nicht gegenseitig halbiren.
  
  Wäre es möglich, dass in einer Ellipse oder einem Kreis zwei Sehnen DE, FG sich gegenseitig halbirten, ohne durch den Mittelpunkt C zu gehen, so ziehe man von C nach ihrem Schneidungspunkt H bis an den Umfang in .A eine Linie, dann ist CA ein Durchmesser, welcher DE halbirt, also die Tangente in .A. parallel mit DE; auf gleiche Weise müsste sie aber auch parallel mit FG sein, was unmöglich ist, also können DE, FG sich nicht gegenseitig halbiren.
• 
  Lehrsatz 26. Wenn die Verbindungslinie der Berührungspunkte zweier Tangenten einer Ellipse oder eines Kreises durch den Mittelpunkt dieses Schnitts geht, so sind die Tangenten parallel; wenn die Berührungssehne aber nicht durch den Mittelpunkt geht, so treffen die Tangenten auf der dem Mittelpunkte abgewandten Seite derselben zusammen.
  
  Sei eine Ellipse oder ein Kreis mit dem Mittelpunkt C und zwei Tangenten in A und B gegeben, und gehe die Linie AB durch den Mittelpunkt C, so wird behauptet, dass die Tangenten parallel sind. Die Tangente DE ist nach § 6 parallel den zum Durchmesser AB gehörigen Ordinaten, deren es nach § 26 nicht zwei verschiedene in demselben Punkt geben kann; und da ein Gleiches auch von der Tangente FG im Punkte B gilt, so ist bewiesen, dass DE parallel FG ist.
  
  Geht aber AB nicht durch den Mittelpunkt, so ziehe man von A den Durchmesser AH; dann ist die Tangente in H parallel mit DE, also muss die Tangente in B mit DE zusammentreffen und zwar in dem Theile AD und seiner Verlängerung, also auf der dem Mittelpunkt abgewandten Seite von AB; denn da die Ellipse selbst ohne Unterbrechung von A bis H fortläuft, die Tangente in B aber ganz ausserhalb derselben liegt ist es offenbar unmöglich, dass sie mit den in A und H gezogenen Tangenten parallel sein kann, in welchem Fall sie ja die innerhalb der Ellipse liegende Gerade AH schneiden müsste.
• 
  Lehrsatz 27. Wenn in einem Kegelschnitt oder einem Kreise eine Linie zwei parallele Sehnen halbirt, so ist sie ein Durchmesser des Schnitts.
  
  Sei ein Kegelschnitt mit den beiden parallelen Sehnen AB, DE gegeben, und deren Mitten F und G verbunden, so wird behauptet, dass FG ein Durchmesser ist. Wäre dies nicht der Fall, so sei FH der von F gezogene Durchmesser, der DE in J trifft. Nun müsste auch DJ = JE sein, was unmöglich ist; also kann keine andere Linie ein Durchmesser sein als FG.
  Anm. des Eutocius. Dieser Satz bietet in Verbindung mit den früheren ein leichtes Mittel zu untersuchen, ob eine vorgelegte Curve ein Kegelschnitt ist und zu welcher der vier Arten derselben er gehört. Man ziehe von 2 Punkten der vorgelegten Curve 2 Paar paralleler Sehnen und verbinde die Mitten jedes Paars. Halbirt nun jede dieser Verbindungslinien alle der entsprechenden Richtung parallelen Sehnen, so ist die vorgelegte Curve ein Kegelschnitt. Sind die beiden Verbindungslinien parallel, so ist sie eine Parabel, divergiren sie nach dem Innem der Curve zu, so ist sie eine Hyperbel, im andem Falle ein Kreis oder eine Ellipse, je nachdem die Halbmesser alle gleich oder nicht alle gleich sind.
• 
  Lehrsatz 28. Wenn zwei Tangenten eines Kegelschnitts oder eines Kreises sich in einem Punkt treffen, und von diesem Punkt nach der Mitte der Berührungssehne eine Linie gezogen wird, so ist dieselbe ein Durchmesser des Kegelschnitts.
  
  Sei ein Kegelschnitt BLC und in B und C die Tangenten, die sich in A treffen, gegeben; wird nun von der Mitte D von BC eine Linie nach A gezogen, so ist zu beweisen, dass diese Linie ein Durchmesser ist. Wäre sie es nicht, so ziehe man von D aus den Durchmesser, dann wird derselbe eine der Tangenten vor dem Punkte A treffen müssen; treffe er also BA in E. Zieht man nun CE, so muss diese Linie den Kegelschnitt noch in einem Punkt treffen (I, 36); ist also F dieser Punkt, so ziehe man durch F parallel mit BC eine Linie, welche den Kegelschnitt zum zweiten Mal in K, die Tangente BA in G, und den Durchmesser DE in H trifft; weil nun BD = CD, muss auch GH = HF, und da der Durchmesser ED die Sehne BC halbirt, muss er auch die parallele Sehne KF halbiren, was unmöglich ist; also kann nicht eine andere Linie als DA der durch D gebende Durchmesser sein.
• 
  Lehrsatz 29. Wenn zwei Tangenten eines Kegelschnitts oder eines Kreises in einem Punkt sich treffen, so halbirt der von diesem Punkt aus gezogene Durchmesser die Berührungssehne.
  
  Sei ein Kegelschnitt BC mit den Tangenten in B und C, die sich in A treffen, gegeben; wird nun von A aus ein Durchmesser gezogen, so ist zu beweisen, dass derselbe die Berührungssehne BC in D halbirt. Wäre dies nicht der Fall, so sei E die Mitte von BC; dann müsste nach vorigem Satz EA ebenfalls ein Durchmesser sein, was unmöglich ist. Denn ist der Kegelschnitt eine Ellipse oder ein Kreis, so müsste der Mittelpunkt A ausserhalb liegen, ist er eine Parabel, so müssten sich zwei Durchmesser schneiden, und ist er endlich eine Hyperbel, so müssten sich zwei Tangenten derselben im Scheitelpunkt des Asymptotenwinkels schneiden, was nach § 25 Anm. ebenfalls unmöglich ist. Also ist kein anderer Punkt ausser D die Mitte von BC.
• 
  Lehrsatz 30. Wenn zwei Gegenschnitte und an jedem eine Tangente gegeben sind und die Verbindungslinie der Berührungspunkte durch den Mittelpunkt geht, so sind die Tangenten parallel, geht sie aber nicht durch den Mittelpunkt, so schneiden sich die Tangenten und zwar auf derselben Seite, auf welcher der Mittelpunkt liegt.
  
  Seien zwei Gegenschnitte mit den Tangenten in A und B gegeben, und gehe erstens die Verbindungslinie AB durch den Mittelpunkt C, so wird behauptet, dass die Tangenten DE und FG parallel sind. Nach I. 48 halbirt ACB die im Schnitt B parallel mit DE gezogenen Sehnen, also ist die im Scheitel B parallel mit DE gezogene Linie eine Tangente nach I. 32, und da es nicht zwei verschiedene Tangenten in B giebt, ist die daselbst gezogene Tangente FG auch parallel mit DE. Geht nun zweitens die Verbindungslinie der Berührungspunkte A, H zweier Tangenten DE und JK nicht durch den Mittelpunkt, so ziehe man von A durch C die Linie AB, und in B die Tangente FG; nun müssen sich die Tangenten in B und H innerhalb des Asymptotenwinkels schneiden, folglich schneidet HK auch die mit FG parallele Linie DE und zwar auf derselben Seite von AH, auf welcher der Mittelpunkt liegt.
• 
  Lehrsatz 31. Wenn zwei Gegenschnitte gegeben sind, und jeder von einer Geraden in zwei Punkten geschnitten oder auch in einem Punkt berührt wird, diese beide Geraden aber nicht parallel sind, so muss ihr Schneidungspunkt in einem der beiden Nebenwinkel des Asymptotenwinkels liegen.
  
  Seien zwei Gegenschnitte von zwei Geraden AB, DC je in zwei Punkten geschnitten, und FJ, GH die Asymptoten, dann wird behauptet, dass AB, CD, wenn sie nicht parallel sind, sich in einem der Nebenwinkel FCH, GCJ des Asymptotenwinkels schneiden.
  Nach § 8 muss AB sowohl als CD beide Asymptoten schneiden, also können sie nur in dem Raum der Nebenwinkel mit einander zusammentreffen. Ein Gleiches gilt auch, wenn eine oder beide Linien die Hyperbeln nur berühren.
• 
  Lehrsatz 32. Wenn einer von zwei Gegenschnitten von einer Geraden entweder in zwei Punkten geschnitten oder berührt wird, so trifft diese Gerade nicht den andern Gegenschnitt, sondern geht durch drei Winkelräume, nämlich den zu dem betreffenden Schnitt gehörigen Asymptotenwinkel und seine beiden Nebenwinkel.
  
  Seien zwei Gegenschnitte gegeben, und einer derselben von einer Geraden in zwei Punkten A, B geschnitten, so wird behauptet erstens, dass AB nicht den andern Gegenschnitt trifft. Man ziehe die Asymptoten; dann schneidet AB beide Asymptoten in F und G, und da sie dieselben nicht zum zweiten Male schneiden kann, wird sie nicht in den Scheitelwinkel des Asymptotenwinkels gelangen können, also erstens den zweiten Gegenschnitt nicht treffen, und zweitens durch die drei Winkelräume gehen.
• 
  Lehrsatz 33. Wenn an einem von zwei Gegenschnitten eine Tangente und in dem andern eine damit parallele Sehne gezogen sind, so ist die Linie vom Berührungspunkt der Tangente nach der Mitte der Sehne ein Durchmesser.
  Seien zwei Gegenschnitte A,B und an einem derselben in A eine Tangente DE, im andern eine mit DE parallele Sehne FG gegeben; ist nun H die Mitte von FG, so soll bewiesen werden, dass AH ein Durchmesser ist. Wäre dies nicht der Fall, so ziehe man von A den Durchmesser, der den Gegenschnitt in L, die Sehne FG in J trifft. Da nun nach § 31 die Tangente in L parallel DE ist, muss sie auch parallel FG und folglich J die Mitte von FG sein, was unmöglich ist; also kann keine andere Linie als AH der von A. ausgehende Durchmesser sein.
• 
  Lehrsatz 34. Wenn ein Durchmesser eine Sehne in einem von zwei Gegenschnitten halbirt, so ist die Tangente im Endpunkt des Durchmessers an den andern Gegenschnitt gezogen der Sehne parallel.
  Nach I. 32 ist die Tangente, die im Endpunkt des Durchmessers an denselben Gegenschnitt, in dem die Sehne liegt, gezogen wird, parallel der Sehne, und da sie nach § 31 auch parallel der Tangente ist, die im Endpunkt des Durchmessers an den andern Gegenschnitt gezogen wird, ist diese letztere gleichfalls der Sehne parallel.
• 
  Lehrsatz 35. Wenn in zwei Gegenschnitten parallele Sehnen gezogen werden, so ist die Verbindungslinie ihrer Mitten ein Durchmesser der Gegenschnitte.
  
  Seien A und B zwei Gegenschnitte, DE, FG zwei parallele Sehnen je in einem derselben, und H, J die Mitten dieser Sehnen so wird behauptet, dass HJ ein Durchmesser ist. Wäre er es nicht, so sei von H der Durchmesser gezogen, der die Schnitte in A,B, FG in K trifft; nun muss die Tangente in A parallel mit DE, also auch parallel mit FG sein, also FK = KG, was unmöglich ist. Also ist keine andere Linie ausser HJ der von H ausgehende Durchmesser.
• 
  Lehrsatz 36. Wenn eine nicht durch den Mittelpunkt gezogene Linie zwei Gegenschnitte durchschneidet, so sind die vom Mittelpunkt nach der Mitte dieser durchschneidenden Geraden und parallel mit derselben gezogenen Linien zwei conjugirte Durchmesser der Gegenschnitte.
  
  Seien zwei Gegenschnitte A und B von einer nicht durch den Mittelpunkt gehenden Geraden in den Punkten D und E geschnitten, vom Mittelpunkt C aber eine Linie parallel DE, die die Schnitte in A und B trifft, und eine andere nach der Mitte F von DE gezogen, so wi'rd behauptet; dass diese Linien CA,CF conjugirte Durchmesser sind.
  Man ziehe EC, und verlängere es, bis es den Gegenschnitt in G schneidet, ziehe DG und verlängere CA, bis es DG in H trifft. Nun ist EC = CG und weil auch EF = DF, die Linie DG parallel FC. Da ferner CA parallel DE, muss DH = HG, also auch die Tangente in A parallel mit DG oder CF sein, folglich sind CA, CF conjugirte Durchmesser (I. 16).
• 
  Lehrsatz 37. Wenn an jeden von zwei Gegenschnitten eine Tangente gezogen wird und diese Tangenten nicht parallel sind, dann ist die Linie von ihrem Schneidungspunkt nach der Mitte der Berührungssehne ein zweiter Durchmesser der Gegenschnitte und der zugehörige erste Durchmesser eine Parallele mit der Berührungssehne durch den Mittelpunkt.
  
  Seien zwei Gegenschnitte A und B gegeben, und an einen derselben in D, an den andern in E Tangenten gezogen, die sich in F treffen; ist nun G die Mitte von DE, so ist zu beweisen, dass FG ein zweiter Durchmesser der Gegenschnitte ist. Wäre das nicht der Fall, so ziehe man von G einen solchen Durchmesser, der die über F verlängerte Tangente EF in H trifft, so muss die gerade Linie DH den Gegenschnitt A noch in einem Punkt treffen (I. 36); ist nun A dieser Punkt, so ziehe man durch A eine Parallele mit DE, welche GH in J, EH in K und den andern Gegenschnitt in B trifft. Nun müsste, weil GH ein Durchmesser und DG = GE, AB aber parallel DE ist, auch AJ = JB, und zugleich aus dem Dreieck DEH AJ = JK sein, was unmöglich ist; also ist keine andere Linie von G aus ein zweiter Durchmesser ausser GF. q. e. d.
• 
  Lehrsatz 38. Wenn an jeden von zwei Gegenschnitten eine Tangente gezogen wird und diese Tangenten sich in einem Punkt treffen, dann halbirt der von diesem Punkt aus gezogene Durchmesser die Verbindungslinie der Berührungspunkte.
  Der Beweis wird ebenso wie der von § 30 geführt, und stützt sich zuletzt darauf, dass nicht zwei Tangenten an den Gegenschnitten im Mittelpunkt zusammentreffen können.
• 
  Lehrsatz 39. Wenn an jeden von zwei Gegenschnitten eine Tangente gezogen wird, diese Tangenten sich in einem Punkt treffen und durch ihren Schneidungspunkt eine Parallele mit der Berührungssehne bis an die Gegenschnitte gezogen wird, so sind die von den hierdurch auf den Gegenschnitten erhaltenen Punkten nach der Mitte der Bertürungssehne gezogenen Geraden Tangenten an den Gegenschnitten.
  
  Seien zwei Gegenschnitte A und B gegeben und an A in D, an B in E Tangenten gezogen, die sich in F schneiden, sei ferner durch F eine Parallele mit DE gezogen, die den Gegenschnitten in G, H begegnet, und J die Mitte von DE, so wird behauptet, dass die Geraden GJ, HJ Tangenten an den Gegenschnitten sind.
  Nach § 38 ist JF ein zweiter Durchmesser der Gegenschnitte; sei also der Punkt C derselben der Mittelpunkt, und werde durch C eine Parallele mit DE gezogen, welche die Gegenschnitte in A und B trifft; weil nun CJ die Linie DE halbirt, sind AB, CJ conjugirte Durchmesser und also DJ eine an den zweiten Durchmesser gezogene Ordinate; also ist nach I. 38. das Rechteck CJ ·  CF gleich dem Quadrat des halben zweiten Durchmessers. Da nun aber HF gleichfalls eine an den zweiten Durchmesser gezogene Ordinate ist, so folgt hieraus umgekehrt, dass JH und auf ähnliche Art, dass auch JG eine Tangente ist.
• 
  Lehrsatz 40. Wenn zwei Gegenschnitte von zwei nicht durch den Mittelpunkt gehenden und sich schneidenden Geraden getroffen werden, so können diese Geraden sich nicht gegenseitig halbiren.
  
  Seien zwei Gegenschnitte A und B von den nicht durch den Mittelpunkt C gehenden Geraden AD, EB, die sich in F schneiden, getroffen, so wird behauptet, dass diese Geraden sich nicht halbiren. Denn wäre dies der Fall, so ziehe man CF und durch C eine Parallele mit FA, welche den Gegenschnitt A in H, und eine andere Parallele mit FB, welche den Gegenschnitt B in G trifft; nun müsste, wie früher bewiesen, so wohl die Tangente in H, als die Tangente in G parallel CF sein, was unmöglich ist, da GH nicht durch den Mittelpunkt geht. Also können AD, EB sich nicht gegenseitig halbiren.
• 
  Lehrsatz 41. Wenn zwei Paar conjugirte Gegenschnitte von zwei nicht durch den Mittelpunkt gehenden Geraden getroffen werden, so können sich diese Geraden nicht halbiren.
  
  Seien conjugirte Gegenschnitte A und B, D und E gegeben und von zwei sich in K schneidenden Geraden FG, HJ, die nicht durch den Mittelpunkt C gehen, getroffen, so wird behauptet, dass diese Geraden sich nicht halbiren. Wäre dies der Fall, so ziehe man CK und durch C eine Parallele mit FG, welche die Gegenschnitte A und B in den Punkten A und B, und eine andere mit HJ, welche die Gegenschnitte D und E in den Punkten D und E trifft. Nun müssten, weil CK die der Geraden AB parallele Linie FG halbirt, CK und AB conjugirte Durchmesser, und also die Tangente in A parallel mit CK sein, und auf ähnliche Weise müssten CK, CD conjugirte Durchmesser, also die Tangente in D ebenfalls parallel CK sein; dies ist aber unmöglich, da nach § 19 die Tangente in A die beiden Gegenschnitte D und E und die Tangente in D die beiden Gegenschnitte A und B trifft, also die beiden Tangenten im Winkelraum DCA zusammentreffen müssen.
• 
  Lehrsatz 42. Wenn einen von zwei Paaren conjugirter Gegenschnitte eine gerade Linie in zwei Punkten schneidet und vom Mittelpunkt eine Linie nach der Mitte dieser Geraden und eine andere parallel damit gezogen werden, so sind diese Linien conjugirte Durchmesser der Gegenschnitte.
  
  Seien A und B, D und E conjugirte Gegenschnitte und einer derselben A von einer Geraden in den Punkten L und M getroffen; wird dann vom Mittelpunkt C eine Linie nach der Mitte N von LM und eine andere DE parallel mit LM gezogen, so ist zu beweisen, dass diese beiden Linien conjugirte Durchmesser der Gegenschnitte sind. Nach § 5 ist die Tangente in A parallel mit LM, also auch mit der durch C damit gezogenen Parallelen DE, mithin sind nach § 20 CA, CD conjugirte Durchmesser der Gegenschnitte.
• 
  Aufgabe 2. In einem gegebenen Kegelschnitt einen Durchmesser zu finden.
  Man ziehe z:wei parallele Sehnen und verbinde ihre Mitten. (Beweis durch Umkehrung von I. 46, 47 und 48.)
• 
  Aufgabe 3. In einer gegebenen Ellipse oder Hyperbel den Mittelpunkt zu finden.
  Man suche nach § 44 zwei Durchmesser, so ist deren Schneidungspunkt der Mittelpunkt.
• 
  Aufgabe 4. In einer gegebenen Parabel die Achse zu finden.
  Man suche nach § 44. einen Durchmesser, ziehe senkrecht dagegen eine Sehne, halbire dieselbe und ziehe durch ihre Mitte eine Parallele mit dem Durchmesser.
• 
  Aufgabe 5. In einer gegebenen Ellipse oder Hyperbel die Achsen zu finden.
  
  Man suche den Mittelpunkt C, nehme einen beliebigen Punkt D des Schnitts, beschreibe mit CD einen Kreis, der den Schnitt zum zweiten Mal in E trifft, und fälle von C auf DE ein Loth, so ist dies die eine Achse und die durch C mit DE gezogene Parallele MN die andere.
• 
  Lehrsatz 43. Nachdem die Achsen, wie in voriger Aufgabe gezeigt ist, gefunden sind, soll bewiesen werden, dass es keine andern Achsen giebt.
  Sei, wenn es möglich ist, CG eine andere Achse, so fälle man von D auf CG das Loth DH, welches verlängert den Kegelschnitt zum zweiten Male in J trifft; dann ist DH = HJ, und, wenn man CJ zieht, auch CJ = CD, folglich auch CJ = CE; dies ist aber unmöglich. Denn zieht man noch von J und E senkrecht gegen MN die Ordinaten JK, EL, so müsste, weil CJ = CE, auch CK² + KJ² = CL² + LE² oder KJ² - LE² = CL² - CK² und wenn man CL² = CN² - ML · LN und CK² = CN² - MK · KN setzt, KJ² - LE² = MK · KN - ML · LN. Weil aber J und E Punkte des Kegelschnitts und IK, EL Ordinaten sind, ist KJ² : LE² = MK ·KN : ML · LN, also müsste KJ² = MK · KN sein. Dann aber wäre der Kegelschnitt MIN ein Kreis, was gegen die Voraussetzung ist.
  Also können ausser den in § 47 construirten Achsen keine anderen gezogen werden.
• 
  Aufgabe 6. Wenn ein Kegelschnitt und ein nicht innerhalb befindlicher Punkt gegeben sind, durch den Punkt an den Kegelschnitt eine Tangente zu ziehen.
  1. Ist der gegebene Kegelschnitt eine Parabel, so lassen sich drei Fälle unterscheiden.
     1. Der Punkt liegt auf der Parabel.
        
        Man fälle von ihm auf die Achse ein Loth, verlängere die Achse über den Scheitel hinaus um das durch das Loth abgeschnittene Stück und verbinde den erhaltenen Endpunkt mit dem gegebenen Punkt, so ist diese Verbindungslinie die gesuchte Tangente. I. 33.
     2. Der Punkt liegt auf der Verlängerung der Achse.
        Man schneide auf der Achse vom Scheitel nach innen zu ein Stück ab gleich dem Stück zwischen dem Scheitel und dem gegebenen Punkt, errichte in dem erhaltenen Punkt nach beiden Seiten zu ein Loth, das die Parabel in zwei Punkten trifft und verbinde diese Punkte mit dem gegebenen, so sind dies die verlangten Tangenten.
     3. Der Punkt P liegt beliebig ausserhalb der Parabel.
        
        Man ziehe von P eine Parallele mit der Achse, welche die Parabel in A trifft, schneide darauf von A nach innen zu ein Stück AB = PA ab, ziehe in A die Tangente an die Parabel und in B eine Parallele damit, die die Parabel in C und D trifft; dann sind PC und PE die verlangten Tangenten. (I. 46. I. 33.)
  2. Ist der gegebene Kegelschnitt eine Hyperbel, so lassen sich fünf Fälle unterscheiden.
     1. Der gegebene Punkt P liegt auf der Hyperbel.
        
        Man suche die Achse, fälle von P darauf ein Loth PD; sind nun A und B die Scheitel, so bestimme man einen Punkt E in der Achse, so dass AE : BE = AD : BD; dann ist EP die gesuchte Tangente. (I, 34.)
     2. Der gegebene Punkt. E liegt in der Achse.
        Sind wieder A und B die Scheitel, so bestimme man in der verlängerten BA einen Punkt D, so dass AD : BD = AE : BE, errichte in D auf die Achse nach beiden Seiten zu ein Loth, das die Hyperbel in P, F trifft, dann sind PE, EF die verlangten Tangenten. (I. 34.)
     3. Der gegebene Punkt P liegt beliebig ausserhalb der Hyperbel, jedoch innerhalb des Asymptotenwinkels
        
        Man ziehe von P durch den Mittelpunkt C eine Linie, welche die Hyperbel in A, ihren Gegenschnitt in B trifft; bestimme in dieser Linie einen Punkt D, so dass AD : BD = AP : BP, ziehe in A die Tangente und in D eine Parallele damit, welche die Hyperbel in E, F schneidet, dann sind PE, PF die verlangten Tangenten. (I. 47. I. 34.)
     4. Der gegebene Punkt P liegt in einer Asymptote.
        
        Ist C der Mittelpunkt, so nehme man die Mitte D von CP und ziehe durch D eine Parallele mit der andern Asymptote, welche die Hyperbel in E trifft, dann ist PE die verlangte Tangente. (II. 3.)
     5. Der Punkt P liegt innerhalb des Nebenwinkels des Asymptotenwinkels.
        
        Man ziehe von P nach dem Mittelpunkt C und parallel mit PC eine Sehne DE in der Hyperbel, verbinde deren Mitte F mit C, welche Linie die Hyperbel in A und den Gegenschnitt in B trifft, dann bestimme man die Grösse des zum Durchmesser AB gehörigen Rechtecks Q² durch die Proportion: DF² : FA · FB = Q² : AB² und ferner auf der verlängerten PC einen Punkt G dergestalt, dass CP · CG = Q² ist, ziehe endlich von G eine Parallele mit CF, welche die Hyperbel in H trifft; dann ist PH die gesuchte Tangente. (I. 38. I. 47. I. 21. Zweite Reihe von Erkl. No. 4.)
        Wenn endlich der gegebene Punkt im Scheitelraum des Asymptotenwinkels liegt, so ist die Construction einer Tangente unmöglich.
  3. Sei drittens der gegebene Kegelschnitt eine Ellipse, so lassen sich zwei Fälle unterscheiden.
     
     
     1. Der Punkt P liegt im Umfang derselben.
        
        Fälle von P auf die Achse ein Loth PD, und wenn A, B die Scheitel der Achse sind, bestimme in deren Verlängerung einen Punkt E, so dass AE : BE = AD : BD, dann ist EP die verlangte Tangente. (I. 34.)
        
        
     2. Der Punkt P liegt beliebig ausserhalb derselben.
        
        Ziehe von P durch den Mittelpunkt C und, wenn A, B die hierdurch erhaltenen Scheitel sind, bestimme in AB einen Punkt D dergestalt, dass AD : BD = AP : BP, ziehe ferner nach Vorigem in A oder B eine Tangente und eine Parallele damit durch D, welche die Ellipse in E, F trifft, dann sind PE, PF die verlangten Tangenten. (I. 34, I. 47.)
• 
  Aufgabe 7. An einen gegebenen Kegelschnitt eine Tangente zu ziehen, die mit der Achse nach der Seite des Kegelschnitts zu einen gegebenen spitzen Winkel bildet.
  1. Für die Parabel.
     Sei eine Parabel mit dem Scheitel A und der Achse AF, sowie der spitze Winkel α gegeben; man soll an erstere eine Tangente ziehen, die mit der Achse nach der Seite des Schnitts zu den Winkel DEA = α bildet.
     
     Analysis. Ist an einer Parabel AD im Punkte D die Tangente gezogen, welche die Achse im Punkt E unter dem verlangten Winkel schneidet, und von D auf die Achse das Loth DF gefällt, so wie AD gezogen, so ist das Dreieck DEF durch zwei Winkel der Gestalt nach bestimmt, und weil EA = AF, auch der Punkt A in der Grundlinie, also der Winkel DAF gegeben.
     Construct. Trage an einer beliebigen Linie GH in H einen Rechten und in G den Winkel α an, verbinde die erhaltene Spitze J des Dreiecks mit der Mitte K von GH; trage nun an die Achse der Parabel im Scheitel A nach innen zu den gefundenen Winkel JKH nach beliebiger Seite an und ziehe in dem Durchschnittspunkt D des erhaltenen Schenkels mit der Parabel die Tangente an dieselbe, so ist dies die verlangte.
     Bew. Ist E der Schneidungspunkt der Tangente mit der Achse, DF das von D auf die Achse gefällte Loth, so ist ∆DAF ∾ ∆JKH aus zwei Winkeln, also DA : AF = JK : KH, also auch DA : AE = JK : KG und also ∆DAE ∾ ∆JKG aus 2 Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, folglich ∠DEF = ∠JGH = α. q. e. d.
     Anm. Da der Winkel JKH nach zwei Seiten der Achse zu angetragen werden kann, so giebt es zwei Tangenten, die der Aufgabe genügen.
  2. Für die Hyperbel.
     
     Sei ein spitzer Winkel α und eine Hyperbel AD gegeben; man soll an diese eine Tangente ziehen, die mit der Achse nach der Seite der Hyperbel zu einen Winkel DEA gleich α bildet.
     Analysis. Ist im Punkte D einer Hyperbel eine Tangenten gezogen, die die Achse im Punkte E unter dem verlangten Winkel schneidet, und DF das von D auf die Achse gefällte Loth, C der Mittelpunkt, A, B die Scheitel, so ist nach I.37. DF² : FE · FC = r : t, und da wegen des bekannten Winkels DEF das Verhältniss DF : FE gegeben ist, ist auch durch Division DF : FC mithin der Winkel DCF gegeben. Man bemerkt ferner, dass, da die verlängerte ED die Asymptote in einem Punkt G treffen muss, der Winkel DEF oder α grösser als der halbe Asymptotenwinkel GCE sein muss.
     Construct. Errichte in einem beliebigen Punkt J auf einem Schenkel des Winkels α, dessen Scheitel H sei, ein Loth, das den andern Schenkel in K trifft, und bestimme auf der verlängerten JH einen Punkt M, so dass KJ² : JH · JM = r : t, ziehe MK und trage den Winkel KMJ an die Achse CA der Hyperbel im Punkte C nach der Seite der Hyperbel zu an, bis sein Schenkel die Hyperbel in D trifft, so ist die in D gezogene Tangente DE die verlangte. ( Anm. Die Bestimmung des Pnnktes M geschieht am einfachsten so, dass man zuerst HJ = t und dann JM = KJ² ⁄ r macht; denn dann ist in der That KJ² : JH · JM = LM · r : JH · JM = r : t.)
     Bew. Man ziehe von D die Ordinate DF und die Linie DC, so ist ∆DFC ∾ ∆KJM wegen gleicher Winkel, also: 1) KJ : JM = DF : FC; weil aber (2) KJ² : JH · JM = r : t nach Construct und (3) DF² : FE · FC = r : t nach I.37., ist KJ² : JH · JM = DF² : FE · FC, welches durch (1) dividirt, giebt KJ : JH = DF : FE, also ist ∆KHJ ∾ ∆DEF und folglich ∠DEF = ∠KHJ = α, wie verlangt war.
     Es bleibt noch zu zeigen, dass, wenn der gegebene Winkel α grösser als der halbe Asymptotenwinkel ist, die Construction immer ausführbar ist.
     Sei JHL gleich dem halben Asymptotenwinkel und werde in A auf CA ein Loth errichtet, das die Asymptote in O trifft. Nun ist CA² : AO² = t : r nach II. 3., also auch HJ² : JL² = t : r und folglich HJ² : JK² < t : r; weil nun HJ· MJ : JK² = t : r nach Construction, muss MJ > HJ und folglich MJ² : JK² > t : r, also MJ² : JK² > HJ² : JL² oder MJ : JK > HJ : JL, woraus folgt, dass der Winkel KMJ kleiner als der halbe Asymptotenwinkel LHJ ist, und in diesem Falle wird der Schenkel des an AC in C angetragenen Winkels KMJ nothwendig die Hyperbel schneiden, also die Construction ausführbar sein.
     Anm. Da der Winkel KMJ an zwei Seiten von CA angetragen werden kann, sind zwei Tangenten möglich, die der Aufgabe genügen.
  3. Für die Ellipse.
     
     Sei ein Winkel α = KHJ und eine Ellipse gegeben; an diese eine Tangente zu ziehen, die mit der Achse nach der Ellipse zu einen Winkel gleich α bildet.
     Analysis. Wäre DE die verlangte Tangente, DF die von D an die Achse gezogene Ordinate und DC die Linie nach dem Mittelpunkt, dann müsste DF² : CF · FE = r : t und da DF : EF durch die Winkel gegeben ist, so ist auch DF : CF, mithin der Winkel DCF bekannt.
     Construction. Mache einen Schenkel HJ des gegebenen Winkels α gleich t, errichte in J ein Loth, das den andern Schenkel in K trifft, bestimme in der verlängerten HJ einen Punkt M, so dass r : KJ = KJ : JM, ziehe KM und trage den Winkel KMJ in C an die Achse der Ellipse beliebig an; trifft nun der Schenkel die Ellipse in D, so ist die in D gezogene Tangente DE die verlangte.
     Bew. Ist DF noch die in D gezogene Ordinate an die Achse, so ist DF² : CF · FE = r : t und da auch KJ² : JM · JH = JM · r :JM · JH = r : t, ist DF² : CF · FE = KJ² : JM · JH. Weil aber ∆CDF ∾ ∆KMJ, muss DF : CF = KJ : MJ und deshalb auch DF : FE = KJ : JH, und folglich ∠DEF = ∠KHJ = α sein.
• 
  Aufgabe 8. An einer gegebenen Parabel oder Hyperbel eine Tangente zu construiren, welche mit dem durch den Berührungspunkt gehenden Durchmesser einen gegebenen spitzen Winkel bildet.
  Wenn eine Parabel gegeben ist, so ergiebt sich aus dem Parallelismus der Durchmesser leicht, dass man nur die vorige Aufgabe aufzulösen hat.
  
  Sei eine Hyperbel AD und ein spitzer Winkel α gegeben; es soll an erstere eine Tangente gezogen werden, die mit dem nach dem Berührungspunkt gezogenen Durchmesser einen Winkel gleich α bildet.
  Analysis. Wäre DE die verlangte Tangente, CD der Durchmesser nach dem Berührungspunkt, DF die von D an die Achse gezogene Ordinate, so wäre in der Figur CDF der rechte Winkel bei F, der Winkel CDE und das Verhältniss DF² : FE · FC = r : t bekannt; daraus ist aber ihre Gestalt bestimmt; denn beschreibt man über einer beliebigen Länge εγ als Sehne einen Kreisbogen, der den Winkel α als Peripheriewinkel enthält, und fällt von einem beliebigen Punkt des Kreises δ ein Loth δϕ auf die verlängerte γε so ist, wenn λ der zweite Schneidungspunkt dieses Lothes mit dem Kreis ist, δφ²  : φε · φγ = δφ² : δφ · φλ = δφ : φλ, weshalb sich die Lage des Lothes aus dem gegebenen Verhältniss δφ² : φε · φγ leicht bestimmen lässt.
  Construction. Man ziehe eine gerade Linie εγ und beschreibe darüber einen Kreisbogen, der den Winkel α als Peripheriewinkel enthält, schneide auf einer andern beliebigen geraden Linie von einem Punkt G aus das Latus rectum und transversum nach derselben Seite zu den Punkten H und J ab, halbire HJ in K, fälle vom Mittelpunkt μ des über εγ beschriebenen Kreisbogens ein Loth μν auf εγ/ und theile es durch den Punkt β, so dass μν : βν = KG : HG, ziehe von β eine Parallele mit εγ welche den Kreis in δ trifft, ziehe δγ und trage den erhaltenen Winkel δγε an CA im Punkte C an, bis sein Schenkel die Hyperbel in D trifft, so ist die in D gezogene Tangente DE die verlangte.
  Bew. Man ziehe noch δε und das Loth δφ von δ auf γε, welches verlängert den Kreis zum zweiten Mal in λ trifft, ferner das Loth DF von D auf die Achse und im Scheitel A die Tangente, die eine Asymptote in L trifft. Nun ist zunächst zu zeigen, dass der Schenkel des an CA angetragenen Winkels δγε die Hyperbel nothwendig treffen muss. Es ist (1) CA² : LA² = t : r (II. 3), und da μβ : βν = ½ · (t - r) : r, 2 · μβ oder λδ : δφ = t - r : r also auch λφ : δφ = t : r, oder, wenn das erste Verhältniss mit δφ erweitert und φγ · φε statt λφ · δφ gesetzt wird, φγ · φε : δφ² = t : r und folglich (2) φγ² : δφ² > t : r, welches mit (1) verglichen zeigt, dass φγ : δφ > CA : LA, folglich Winkel δγφ kleiner als LCA ist, und also schneidet der Schenkel des im CA angetragenen Winkels δγφ nothwendig die Hyperbel. Nun bleibt zu zeigen, dass die im Schneidungspunkt D gezogene Tangente DE mit dem Durchmesser CD einen Winkel gleich α bildet. Es ist ∆DFC ∾ ∆δφγ wegen gleicher Winkel, und da DF² : FE · FC = r : t nach I. 37 und δφ² : φγ · φε = r : t, wie oben gezeigt ist, also (3) DF² : FE · FC = δφ² : φγ · φε, und aus obiger Aehnlichkeit (4) DF : FC = δφ : φγ, also (3) durch (4) dividirt DF : FE = δφ : φε, folglich Winkel FDE = φδε, welches von den gleichen Winkeln FDC, φδγ subtrahirt, giebt EDC = εδγ und also gleich α. w. z. b. w.
• 
  Lehrsatz 44. Der spitze Winkel, den eine Tangente an einer Ellipse mit dem nach dem Berührungspunkt gezogenen Durchmesser bildet, ist nicht kleiner als der Nebenwinkel des Winkels, den die von den Endpunkten der grossen Achse nach einem Endpunkt der kleinen gezogenen Linien bilden.
  
  Sei eine Ellipse mit dem Mittelpunkt C, der grossen Achse AB und der halben kleinen CD gegeben, AD und BD und in einem beliebigen Punkt E des Umfangs sowohl der Halbmesser EC als auch die Tangente gezogen, die die verlängerte Achse BA in F, die verlängerte BD in G trifft, so wird behauptet, dass der Winkel CEG nicht kleiner als Winkel GDA ist.
  Sei erstens BD ∥ CE, dann ist, weil AC = BC, wenn H der Durchschnitt von AD und CE ist, auch AH = DH und folglich FG ∥ AD (Umkehr. von I. 47.), also Winkel CEG = GDH.
  
  Sei ferner BD nicht parallel CE und noch von E an die Achse die Ordinate EJ gezogen. Nun ist Winkel ECJ ungleich Winkel DBC, also auch DC² : CB² ungleich EJ² : CJ², und da DC² : CB² = EJ² : CJ · JF, ist CJ · JF ungleich CJ², also JF ungleich CJ. Sei nun ein beliebiger Kreis und darin eine Sehne XY gegeben, so dass der zu XY gehörige stumpfe Peripheriewinkel gleich ADB ist, ferner von der Mitte des Bogens S ein Durchmesser SMQ gezogen, der XY in P schneidet. Nimmt man nun in XY einen Punkt L, so dass XL : LY = CJ : JF und zieht in L lothrecht gegen XY die Sehne NO, deren Mitte R ist, so ist zunächst leicht zu zeigen, dass NL² : XL · LY < SP² : PX², also kleiner als DC² : AC · CB oder als EJ² : CJ · JF ist. Denn NL² : XL · LY = NL² : NL · LO = NL : LO = NR - RL : NR + RL und da in letzterem Verhältniss das Vorderglied kleiner als das Hinterglied ist, wird es vergrössert, wenn beide Glieder um dasselbe Stück wachsen, also wenn in beiden SM statt NR gesetzt wird, also hat man, da RL = PM ist, NL² : XL · LY < SM - NP : SM + MP, d. h. als SP : PQ oder SP² : SP · PQ oder SP² : XP². Nimmt man also in der verlängerten LN einen Punkt T, so dass TL² : XL · LY = SP² : PX² = EJ² : CJ · JF, so ist ∆XTY ähnlich ∆CEF; denn da XL : LY = CJ : JF, ist XL² : XL · LY = CJ² : CJ · JF und da TL² : XL · LY = EJ² : CJ · JF, ist durch Division XL² : TL² = CJ² : EJ², also ∆XLT ähnlich ∆CJE und auf gleiche Weise ∆YLT ähnlich ∆FJE. Mithin ist, da ∠XTY kleiner als ∠XNY, letzterer aber gleich ADB, auch ∠CEF kleiner als ADB und sein Nebenwinkel GEC grösser als ADG. w. z. b. w.
• 
  Aufgabe 9. An eine Ellipse eine Tangente zu ziehen, die mit dem nach dem Berührungspunkt gezogenen Durchmesser einen gegebenen spitzen Winkel bildet, welcher jedoch nicht kleiner sein darf als der, den zwei Linien von den Endpunkten der kleinen Achse nach einem Endpunkt der grossen gezogen bilden.
  
  Sei eine Ellipse mit der grossen Achse AB, der kleinen DK, dem Mittelpunkt C und ein spitzer Winkel α nicht kleiner als der Winkel DAK gegeben, man soll eine Tangente GEF an die Ellipse ziehen, so dass der spitze Winkel GEC gleich α ist.
  1. Sei α = DAK. Man ziehe AD, halbire es in H, ziehe CH, bis es die Ellipse in E trifft, so ist die durch E mit AD gezogene Parallele die verlangte Tangente.
  2. 
     Sei α > DAK, also sein Nebenwinkel β < ADB. Man zeichne einen beliebigen Kreis und darin eine Sehne XY, so dass der dadurch gebildete kleinere Bogen den Peripheriewinkel β enthält, ziehe von der Mitte S dieses Bogens einen Durchmesser SPMQ und bestimme in SP einen Punkt Z, so dass ZP : ZM = r : ½ · (r + t), ziehe durch Z eine Parallele mit XY, die den Kreis in N trifft, trage den Winkel NXY an die Achse CA im Punkte C an; trifft nun der Schenkel die Ellipse in E, so ist die Tangente in E die verlangte.
  
  Beweis. Ziehe noch von N aus die Sehne NLO parallel mit SQ.
  Da nach Voraussetzung der Winkel β = XSY kleiner als ADB ist, ist XP · PY : SP² oder PQ : SP < AC · BC : DC², d. h. als t : r, mithin, wenn man auf beiden Seiten 1 addirt und die Vorderglieder halbirt, ½ · (PQ + SP) : SP < ½ · (t + r) : r, und da ZM : ZP = ½ · (t + r) : r, ist also SM : SP < ZM : ZP oder, wenn man auf beiden Seiten 1 subtrahirt, PM : SP < PM : ZP, also SP > ZP; folglich muss die durch Z gezogene Parallele den Kreis nothwendig schneiden und die Construktion immer möglich sein. Nun folgt aus ZP : ZM = r : ½ · (t + r) leicht ZP : 2 · ZM - ZP = r : t, also auch NL : LO oder NL² : XL · LY = r : t; da aber EI² : CI · IF = r : t und ∆XNL ähnlich ∆CIE, also NL : XL = EI : IC, folgt durch Division auch NL : LY = EI : IF, also ∆NLY ähnlich ∆EIF und Winkel LNY = IEF, also auch Winkel β = XNY = CEF. w. z. b. w.

Drittes Buch des Apollonius von Perga über Kegelschnitte.

• 
  Lehrsatz 1. Wenn zwei Tangenten eines Kegelschnitts sich schneiden und die Durchmesser nach den Berührungspunkten gezogen und verlängert werden, so ist das Dreieck, dessen Ecken ein Berührungspunkt, der Durchschnitt des nach diesem gezogenen Durchmessers mit der zweiten Tangente und der Kreuzungspunkt der Tangenten sind, gleich dem andern ähnlich gebildeten Dreieck.
  
  Seien A, B zwei Punkte eines Kegelschnitts, in welchen Tangenten gezogen sind, die sich in F kreuzen, sei ferner D der Durchschnitt der Tangente in A mit dem nach B gezogenen Durchmesser und E der Durchschnitt der Tangente in B mit dem nach A gezogenen Durchmesser, so wird behauptet, dass ∆AEF = ∆DBF.
  Constr. Ziehe von B eine Parallele mit AD, bis sie EA in G trifft.
  Beweis.
  1. für die Parabel. Nach I. 35. ist EA = AG; da nun AG = BD, ist EA = BD, und da die Dreiecke AEF und BDF ausserdem noch gleiche Winkel haben, sind sie congruent, also auch gleich.
  2. für Ellipse und Hyperbel. Nach I. 37. ist CE : CA = CA : CG. Da nun CA : CG = CD : CB, ist auch CE : CA = CD : CB und folglich ∆CAD = ∆CBE, oder wenn man auf beide Seiten das Stück CEFD bei der Hyperbel und CAFB bei der Ellipse abzieht oder hinzufügt, so erhält man ∆AEF = ∆DBF. q. e. d.
  Anm. Bei der Ellipse sind in der Figur zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem die Punkte A und E, B und D auf derselben Seite des Mittelpunkts oder auf verschiedenen Seiten liegen.
• 
  Lehrsatz 2. Wenn ausser den im vorigen Lehrsatz angenommenen Linien noch von einem beliebigen Punkt des Kegelschnitts Parallelen mit den Tangenten gezogen werden, so ist das Viereck aus diesen beiden Parallelen, einer Tangente und dem nicht dazu gehörigen Durchmesser gleich dem Dreieck, das von derselben Tangente, dem dazu gehörigen Durchmesser und der Parallelen mit der andern Tangente gebildet ist.
  
  Sei unter denselben Bezeichnungen wie im vorigen Lehrsatz G der auf dem Kegelschnitt angenommene Punkt und treffe die mit der Tangente in A gezogene Parallele die Tangente in B im Punkt H und den durch B gehenden Durchmesser in K, ferner die mit der Tangente in B gezogene Parallele die Durchmesser von A und B beziehlich in I und L, so wird behauptet, dass Viereck GHEI gleich Dreieck HBK ist.
  Beweis. Es ist in allen 6 Figuren bei der Parabel nach I. 42., bei Ellipse und Hyperbel nach I. 43. ∆GLK = BLIE. Subtrahirt oder addirt man nun auf beiden Seiten das Stück LBHG, so erhält man die Behauptung.
• 
  Lehrsatz 3. Wenn ausser den im Lehrsatz 1. angenommenen Linien von zwei beliebigen Punkten des Kegelschnitts Parallelen mit den Tangenten gezogen werden, so sind die Vierecke, welche von drei dieser Parallelen und je einem Durchmesser so gebildet werden, dass jedes an einen der beiden beliebig angenommenen Punkte anstösst, einander gleich.
  Anm. Es lassen sich an jedem der beiden Punkte vier derartige Vierecke bilden, und da die Vierecke, die nach dem Lehrsatz gleich sein sollen, nicht beide an denselben Durchmesser anstossen, so bleiben für jedes an einem Punkt ansgewählte nur zwei an den andern Punkt anstossende zur Vergleichung, aus welchen das richtige leicht auszuwählen ist.
  Seien A und B wie früher die Punkte, durch welche Durchmesser und Tangenten gezogen sind, ferner C, D zwei beliebige Punkte, entweder beide zwischen A und B oder beide ausserhalb und auf derselben Seite angenommen; werden nun durch C und D Parallelen mit den Tangenten gezogen und schneidet die von C ausgehende mit der Tangente in B den Durchmesser von A in G, die von D ausgehende denselben in F, dagegen die von C ausgehende Parallele mit der Tangente in A den Durchmesser von B in H, die von D ausgehende denselben in I, ist ferner E der Kreuzungspunkt von CH mit DF, so ist zu beweisen, dass Viereck CEFG = Viereck DEHI.
  Beweis. Seien noch M, K und L die Durchschnittspunkte der Linien CG, DF und BH mit der Tangente in A, so ist nach vorigem Paragraph
  1. DILK = ∆AKF,
  2. CHLM = ∆AMG,
  woraus durch Subtraktion entsteht
  3. DIHE ± MKEC = ± FGMK oder DIHE = CEFG.
  Anm. 1. Die Bedeutung der Zeilen (1) und (2) ist in den beiden ersten Figuren einleuchtend, und bei Zeile (3) für diese nur zu unterscheiden, dass in der ersten das Minuszeichen, in der zweiten das Pluszeichen vor MKEC, während auf der andern Seite in beiden Fällen das Pluszeichen zu nehmen ist. In der dritten Figur sind die Vierecke DILK und CHLM sogenannte überschlagene Vierecke, deren Inhalt dem Unterschied der beiden Dreiecke, aus welchen sie bestehen, gleich zu setzen ist; auch kann über das Zeichen dieses Unterschiedes kein Zweifel sein, denn sei N der Durchschnittspunkt von CG mit BI, und denke man sich den Punkt C dem Punkte B nähern und ihn überschreiten, so wird dann das Viereck CHLM in ein einfaches übergehen, welches positiv zu nehmen ist, also ist CHLM = LMN - CNH und ebenso, wenn O der Kreuzungspunkt von DK und BI ist, DILK = LKO - DOI.
  Anm. 2. Es findet sich zu diesem Satz eine Anmerkung des Eutocius, dass die bei der Behauptung vorkommenden Vierecke nur dann entstehen, wenn die beiden Punkte C und D entweder beide zwischen A und B oder beide ausserhalb derselben angenommen werden; wenn aber einer von ihnen zwischen A und B und der andere ausserhalb angenommen wird, entständen die Vierecke nicht; dies ist jedoch nur so zu verstehen, dass in den erstgenannten Fällen die Vierecke einfache convexe Vierecke sind, im letzten Fall dagegen eins derselben ein überschlagenes Viereck ist; wie man sich durch Zeichnung einer Figur leicht überzengen kann.
• 
  Lehrsatz 4. Wenn an jeden von zwei Gegenschnitten eine Tangente gezogen wird, so dass diese Tangenten sich schneiden, und wenn die beiden Durchmesser nach den Berührungspunkten gezogen und über den Mittelpunkt verlängert werden, so ist das Dreieck, dessen Ecken ein Berührungspunkt, der Kreuzungspunkt der Tangenten und der Durchschnitt des von diesem Berührungspunkt ausgehenden Durchmessers mit der am andern gezogenen Tangente sind, gleich dem andern ähnlich gebildeten Dreieck.
  Seien in den Punkten A und B zweier Gegenschnitte Tangenten gezogen, die sich in F kreuzen, ferner in A der Durchmesser AC, der BF in E, und in B der Durchmesser BC, der AF in D schneidet, so wird behauptet, dass ∆AFE = ∆BFD ist.
  Man ziehe in dem Punkt G, wo der Durchmesser AC den Gegenschnitt trifft, die Tangente, welche BC in H schneidet, so ist ∆ACD congruent ∆ CGH, aber ∆CGH nach § 1 gleich ∆CBE, folglich, wenn man zu den gleichen Dreiecken ACD und CBE das Stück CDFE hinzufügt, ∆AFE = ∆BFD.
• 
  Lehrsatz 5. Wenn zwei je an einen Gegenschnitt gezogene Tangenten sich schneiden und von einem beliebigen Punkt eines der beiden Gegenschnitte zwei Linien gezogen werden, eine parallel der Tangente an diesem Gegenschnitt und die andere parallel der Berührungssehne, so ist das von diesen beiden. Parallelen und dem nach dem Kreuzungspunkt der Tangenten gezogenen Durch­messer gebildete Dreieck vermindert um das ihm ähnliche Dreieck, das am Kreuzungspunkt entsteht, gleich dem Dreieck, das die mit der Berührungssehne gezogene Parallele mit der vorerwähnten Tangente und dem Durchmesser nach ihrem Berührungspunkt bildet.
  Seien in den Punkten A und B zweier Gegenschnitte Tangenten gezogen, die sich in D kreuzen, und von einem beliebigen Punkt E eines der beiden Gegenschnitte an den Durchmesser CD die beiden Linien EG ∥ AD und EF ∥ AB gezogen, sei ferner H der Punkt, in welchem die Tangente, und I der, in welchem der Durchmesser AC die Linie EF schneidet, so wird behauptet: ∆EFG - ∆HFD = ∆AHI.
  Beweis. Nach I. 45 ist ∆EFG = ∆CFI + ∆ACD, und subtrahirt man auf beiden Seiten ∆HFD, so erhält man ∆EFG - ∆HFD = ∆CFI + ∆ACD - ∆HFD = ∆AHI. q. e. d.
  Anm. Es mag noch derselbe Satz einer einfachen Hyperbel bewiesen werden. Seien also in den Punkten A und B einer solchen Tangenten die sich in D kreuzen, und von einem andern beliebigen Punkt E EF parallel AB und EG parallel AD bis an den Durchmesser CD gezogen, seien ferner H und I die Punkte, in welchen EF die Linien AD und AC schneidet, so ist zu beweisen, dass ∆FDH - ∆FGE = ∆AHI.
  Zieht man noch im Scheitel X die Tangente XY bis an den Durchmesser CA, so ist nach III § 1 ∆CXY = ∆CDA und nach I § 43 ∆EFG = XYIF, also:
  • CGEI = ∆CFI - ∆CFE = ∆CFI - FXYI = ∆CXY = ∆CDA,
  und subtrahirt man von CGEI = ∆CDA das gemeinsame CDHI, so bleibt DGEH = ∆AHI oder ∆FDH - ∆FGE = ∆AHI. q. e. d.
• 
  Lehrsatz 6. Wenn an zwei Gegenschnitten zwei sich schneidende Tangenten und die Durch­messer nach ihren Berührungspunkten, ferner von einem beliebigen Punkt eines der beiden Gegenschnitte Parallelen mit den Tangenten gezogen werden, so ist das Viereck zwischen diesen beiden Parallelen, einer Tangente und dem nicht zu ihr gehörigen Durchmesser gleich dem Dreieck, das an derselben Tangente und dem zu ihr gehörigen Durchmesser durch eine jener Parallelen abgeschnitten wird.
  Seien A und B die Punkte, in welchen die Tangenten AI und BY und die Durchmesser AD, BE gezogen sind, F ein beliebiger Punkt eines der beiden Gegenschnitte und FG ∥ BY, bis es AI in G trifft, FH ∥ AI, bis es BE in H trifft, gezogen, sei ferner K der Durchschnittspunkt von AD und FG, so wird behauptet, dass FHIG = ∆AKG.
  Ist X der Schneidungspunkt von FG und BC, so kann man die Behauptung auch schreiben:
  • ∆IGX - ∆FHX = ∆AKG.
  Beweis. Man ziehe noch in D die Tangente, die FG in M, BE in L schneidet; ist nun Y noch der Schneidungspunkt der Tangente in B mit AD, so ist nach I. 44 und III. 1:
  • ∆FXH = ∆CXK - ∆CBY = ∆CXK - ∆CAI,
  • also
  • ∆CAl = ∆XK - ∆FXH
  und fügt man auf beiden Seiten das Viereck CKGI hinzu, so ist
  • ∆AKG = ∆XIG -∆XHF. q. e. d.
• 
  Lehrsatz 7. Wenn in zwei beliebigen Punkten zweier Gegenschnitte (die nicht Endpunkte eines Durchmessers sind) Tangenten und Durchmesser und von zwei andern beliebigen Punkten Parallelen mit den Tangenten gezogen werden, welche sowohl den Durchmessern als je einer Tangente begegnen, so sind zwei Vierecke, deren jedes aus drei dieser Parallelen und einem Durchmesser gebildet wird, so dass es an einen der zuletzt angenommenen Punkte anstösst, einander gleich.
  Anm. Dieser Satz, welcher eine Ausdehnung des § 3 auf Gegenschnitte ist, wird für mehrere Fälle besonders bewiesen, nämlich
  1. wenn die beiden zuletzt angenommenen Punkte in den Theilen der Gegenschnitte zwischen den zuerst angenommenen Punkten und zwischen den Endpunkten der von ihnen ausgehenden Durchmesser liegen, im vorliegenden § 7.
  2. wenn einer der Punkte zwischen den Endpunkten der Durchmesser liegt und der andere ein solcher Endpunkt selbst ist, im § 9.
  3. der Fall, in welchem beide Punkte Endpunkte der Durchmesser sind, führt zurück auf Lehrsatz, doch ist für diesen Fall im § 8 die Gleichheit zweier andern Vierecke bewiesen.
  4. der Fall, in welchem die beiden Punkte ausserhalb der zuerst angenommenen Punkte und der Endpunkte der von ihnen ausgebenden Durchmesser liegen, in § 10.
  5. der Fall, dass einer der Punkte zwischen den zuerst angenommenen Punkten , der andere ausserhalb der Endpunkte der von diesen ausgehenden Durchmesser liegt, kann gleichfalls leicht erwiesen werden.
  Seien in den Punkten A und B eines von zwei Gegenschnitten Tangenten und Durchmesser AD, BE gezogen, und von zwei andem Punkten F und G, deren einer auf der einen Hyperbel zwischen A und B, der andere auf der andern zwischen D und E liegt, Parallelen mit den Tangenten, welche einander in den Punkten H und X, den Durchmessern in den Punkten I, M, K, L begegnen, so wird behauptet
  • FIKH = GLMH oder FXLM = GXJK.
  Beweis. Seien N, O, P die Punkte, in welchen BC, FI, GH die Tangente in A schneiden. Nun ist nach vorigem Satz: 1) ∆AKP = LGPN und nach § 2 ∆AIO= FONM; setzt man also in (1) statt des Stückes AIO das ihm gleiche Viereck, so ist das Vieleck IKPNMF =LGPN, und fügt man hierzu noch das Stück NMHP, so erhält man FIKH = GLMH. q. e. d.
• 
  Lehrsatz 8. Wenn in zwei Punkten A und B eines von zwei Gegenschnitten Tangenten und Durchmesser und in den beiden andern Endpunkten dieser Durchmesser Parallelen mit den Tangenten gezogen werden, so sind die Vierecke, welche diese Parallelen mit je einer Tangente und dem nicht dazu gehörigen Durchmesser bilden, einander gleich.
  Seien in den Punkten A und B eines von zwei Gegenschnitten die Durchmesser AD und BE und die Tangenten und in den Punkten D, E Parallelen mit den Tangenten gezogen, welche mit je einer Tangente und dem nicht dazu gehörigen Durchmesser die Vierecke EFGH und DIKL bilden, so wird behauptet, dass DIKL = EFGH.
  Seien in den Punkten A und B eines von zwei Gegenschnitten die Durchmesser AD und BE und die Tangenten und in den Punkten D, E Parallelen mit den Tangenten gezogen, welche mit je einer Tangente und dem nicht dazu gehörigen Durchmesser die Vierecke EFGH und DIKL bilden, so wird behauptet, dass DIKL = EFGH.
  Sei M der Kreuzungspunkt der Tangenten in A und B, und GK und AB gezogen, so ist nach III. 1 ∆AMG = ∆BMK, und addirt man hierzu ∆GMK, so ist ∆AGK = ∆BGK, also AB parallel GK und CG : CA = CK : CB, also auch 2 · CA : CA - CG = 2 · CB : CB - CK, d. h. AD : AG = BE : BK, aber wegen Aehnlichkeit der Dreiecke AGM und ADL und BKM und BEH verhält sich ∆ADL : ∆AGM = AD² : AGsup>2 und ∆BEH : ∆BKM = BE² : BK², also auch ∆ADL : ∆AGM = ∆BEH : ∆BKM und da ∆AGM = ∆BKM, ist auch ∆ADL = ∆BEH, also, wenn man ∆ACK = ∆BCG subtrahirt, DCKL = ECGH und addirt man hierzu ∆DCI = ∆ECF, so erhält man DIKL = EFGH. q. e. d.
• 
  Besonderer Fall zu Lehrsatz 7. Wenn in zwei Punkten A und B eines von zwei Gegenschnitten Tangenten und Durchmesser AD, BE, von einem Punkt F des andern Gegenschnitts zwischen D und E Parallelen FG, FH mit den Tangenten in B und A bis an die Durchmesser AC, BC, endlich im Endpunkt D Parallelen DKI und DL mit den Tangenten in A und B gezogen werden, so ist zu beweisen, dass 1) ∆DIC = FHCG und 2) DLFG = HLDI.
  Beweis. Es ist nach III. 2 ∆DKG = FHIK und fügt man hierzu noch KICG, so ist ∆DIC = FHCG; fügt man aber FKDL hinzu, so ist DLFG = HLDI. q. e. d.
• 
  Besonderer Fall zu Lehrsatz 7. Seien in den Punkten A und B eines von zwei Gegenschnitten Tangenten und Durchmesser AD, BE und von zwei andern Punkten F in der einen Hyperbel ausserhalb AB und G in der andern ausserhalb DE Parallelen FM, FI, GL, GK mit den Tangenten bis an die nicht zu diesen Tangenten gehörigen Durchmesser gezogen. Sind H und X die Punkte, in denen sich diese Parallelen kreuzen, so ist zu beweisen, dass
  1. FHKI = GHML
  oder die überschlagenen Vierecke FXLM und GXIK einander gleich sind, d. h. wenn S und Z die Kreuzungspunkte von GL, AC und von FI, BC sind:
  2. ∆LZX - ∆FZM = ∆ISX - ∆GSK.
  Beweis zu Th. 1. Seien noch N, O, P die Punkte, in welchen die Tangente in A die Linien CB, FI, GH durchschneidet, und DY die Tangente in D bis an den Durchmesser BE, BT die in B bis an den Durchmesser CA.
  Nun ist nach I. 44.
  1. ∆GKS = ∆CLS - ∆CAN, und da ∆CBT = ∆CAN
  2. ∆CIZ - ∆CAN = ∆FZM, dies addirt giebt:
  3. ∆GKS + ∆CIZ = ∆CLS + ∆FZM,
  und fügt man hierzu das Stück GSCZFH auf beiden Seiten zu, so erhält man FHKI = GHML. q. e. d.
  Subtrahirt man Zeile 3) von XSCZ = XSCZ, so erhält man ∆XIS - ∆GKS = ∆XLZ - ∆FZM, welches die zweite Thesis ist.
• 
  Lehrsatz 12. Wenn in zwei Punkten je eines Gegenschnitts (die nicht Endpunkte eines Durchmessers sind) Tangenten und zwei Durchmesser, deren einer von einem Berührungspunkt, der andere von der Mitte der Berührungssehne ausgeht, und ferner von zwei Punkten derjenigen Hyperbel, von welcher aus der eine Durchmesser gezogen ist, Parallelen mit der Tangente an dieser Hyperbel und mit der Berührungssehne gezogen werden, so sind zwei Vierecke, welche von drei dieser Linien und je einem der Durchmesser gebildet werden, und deren jedes an einen der angenommenen Punkte anstösst, einander gleich.
  Seien A und B zwei Punkte zweier Gegenschnitte, AD und BD die Tangenten in ihnen, E die Mitte ihrer Verbindungslinie, seien ferner von zwei Punkten F, G des Gegenschnitts A die Parallelen FL, GM mit der Tangente in A bis an den Durchmesser ED und die Parallelen FH, GI mit AB bis an den Durchmesser AC gezogen, welche AD beziehlich in N,O schneiden. Ist nun K der Kreuzungspunkt von FL und GI, so ist zu beweisen
  • FHIK = GKLM.
  Sind X, Y die Punkte, in welchen FH, GI den Durchmesser schneide, so sollen aus den verschiedenen Fällen, welche der Satz zulässt, für den Beweis hier folgende drei behandelt werden: 1) X und Y liegen zwischen E und D, 2) X liegt zwischen E und D, Y jenseit D, 3) X liegt zwischen E und D, Y jenseit E, aus welchen sich die andern Fälle, wenn X und Y jenseit D oder jenseit E liegen, leicht herleiten lassen.
  Beweis für Fall 1. Es ist nach III. 5
  1. ∆GYM - ∆OYD = ∆AOI,
  2. ∆FXL - ∆NXD = ∆ANH, woraus durch Subtraktion:
  • GKLM - FKYX + NOYX = NOIH, oder GKLM = FHIK.
  Für Fall 2. Es ist, wie oben, nach III. 5
  1. ∆GYM - ∆OYD = ∆AOI,
  2. ∆FXL-∆6NXD = ∆ANH, woraus durch Subtraktion:
  • GKLM - FKYX - ∆OYD + ∆NXD = NOIH oder GKML = FKON + NOIH = FHIK.
  Für Fall 3 kann zwar in ähnlicher Art als Fall (1) und (2) abgeleitet werden, kürzer aber folgendermassen:
  1. FNDL = ∆AHN,
  2. GODM = ∆AIO, nach III. 5
  • also GODM - FNDL = ∆AIO - ∆AHN
  • d. i. GYM - DYO - FXL + DXN oder GKLM - FXYK - NXYO = HNOI
  • OKFN = OKFN addirt, giebt
  • GKLM = FHIL. q. e. d.
• 
  Lehrsatz 13. Wenn in conjugirten Gegenschnitten zwei Tangenten an neben einander liegende Hyperbeln und die Durchmesser nach den Berührungspunkten gezogen werden, so ist ein Dreieck, dessen Ecken der Mittelpunkt, ein Berührungspunkt und der Durchschnittspunkt der in diesem gezogenen Tangente mit dem nach dem andern gezogenen Durchmesser sind, gleich dem ändern ähnlich gebildeten Dreieck.
  Seien A und B die Punkte der nebeneinander liegenden Hyperbeln, D der Durchschnitt der Tangente in A mit dem Durchmesser von B, E der der Tangente in B mit dem Durchmesser von A, so wird behauptet, dass
  • ∆CAD = ∆CBE.
  Man ziehe noch von A eine Parallele mit BE, welche CB in F schneidet. Es ist nun nach II. 20 und I. 38 CD : CB = CB : CF, aber CB : CF = CE : CA, also CD · CA = CB · CE und da die Winkel bei C in den beiden Dreiecken CAD und CBE entweder gleich oder supplementar sind, ist ∆CAD = ∆CBE.
• 
  Lehrsatz 14. Wird unter denselben Voraussetzungen als im vorigen Lehrsatz auf einer der nebeneinander liegenden Hyperbeln ein beliebiger Punkt angenommen und von ihm bis an den an diese Hyperbel gehenden Durchmesser Parallelen mit den Tangenten gezogen, so ist das hierdurch entstandene Dreieck gleich demjenigen, das die mit der Tangente an derselben Hyperbel gezogene Parallele mit den beiden Durchmessern bildet vermindert um das ähnliche Dreieck über dem an dieselbe gehenden Halbmesser.
  Seien wie vorher in den Punkten A und B zweier benachbarter Hyperbeln Tangenten und Durchmesser gezogen, die sich wechselseitig in D, E treffen, werden ferner von einem beliebigen Punkt F der Hyperbel B Parallelen FG, FH mit den Tangenten in A und B bis an den Durchmesser CB gezogen, von welchen FH den Durchmesser CA in I trifft, so wird behauptet.
  • ∆FGH = ∆CHI - ∆CBE.
  Man ziehe noch von A an den Durchmesser CB die Parallele AK mit BE. Ist nun r und t das latus rectum und transversum für den Durchmesser CB an der Hyperbel B, so ist:
  1. FH² : CH² - CB² = r : t,
  aber nach II. 20 und einer leichten Folgerung aus I. 38 auch:
  2. AK² : CK² + CB² = r : t, also
  3. FH² : AK² = CH² - CB² : CK²  + CB² oder
  4. ∆FGH : ∆ADK = ∆CHI - ∆CBE : ∆CKA + ∆CBE
  und da nach vorigem Satz ∆CBE = ∆CAD, ist ∆ADK = ∆CKA + ∆ CBE, also auch ∆FGH = ∆CHI - ∆CBE. q. e. d.
• 
  Lehrsatz 15. Wenn conjugirte Gegenschnitte gegeben sind und in zwei Punkten eines derselben Tangenten und Durchmesser, von einem Punkt einer der benachbarten Hyperbeln aber Parallelen mit den Tangenten bis an die Durchmesser gezogen werden, so ist das Dreieck, das diese Parallelen mit einem Durchmesser bilden, vermindert um das, welches die mit der Tangente im Endpunkt dieses Durchmessers gezogene Parallele mit beiden Durchmessern macht, gleich dem Dreieck, dessen Grundlinie eine Tangente (vom Berührungspunkte bis zum andem Durchmesser) und dessen Spitze der Mittelpunkt ist.
  Seien in den Punkten A und B einer Hyperbel die Durchmesser AC, BC und die Tangenten AD, BE, die sich in K kreuzen, ferner von einem beliebigen Punkt F die Parallelen FG, FH mit den Tangenten AD, BE bis an den Durchmesser BC gezogen, FH aber treffe den andern Durchmesser AC in I, so wird behauptet:
  • ∆FGH - ∆CHI = ∆BEC.
  Man ziehe von A eine Parallele AX mit BE bis an den Durchmesser CB.
  Nun ist
  1. ∆FGH : ∆ADX = FH² : AX² = CB²  + CH² : CX²  - CB² (siehe vorigen Beweis)
     = ∆CBE + ∆CHI : ∆CAX - ∆CBE
  2. und da nach I. 43 ∆ADX = ∆CXA - ∆CBE, so ist auch ∆FGH = ∆CBE + ∆CHI. q. e. d.
  Wenn unter denselben Voraussetzungen von zwei beliebigen Punkten der benachbarten Hyperbel Parallelen mit den Tangenten gezogen werden, so sind zwei Vierecke, aus je drei dieser Parallelen und einem Durchmesser so gebildet, dass jedes an einen der angenommenen Punkte anstösst, einander gleich.
  Seien ausser den oben gezogenen Linien noch von einem zweiten Punkt K der Hyperbel F die Parallelen KL, KM an die Durchmesser BC, AC gezogen, deren letztere den Durchmesser BC in N schneidet, und sei O der Kreuzungspunkt von FH mit KL, so wird behauptet: FGLO = KMIO.
  Es ist nach dem, was oben bewiesen:
  1. ∆FGH - ∆CHI = FGCI = ∆BCE,
  2. ∆KLN - ∆CNM = KLCM = ∆BCE,
  also FGCI = KLCM, und wenn man LCIO auf beiden Seiten abzieht, bleibt FGLO = KMIO. q. e. d.
• 
  Lehrsatz 16. Wenn zwei Tangenten eines Kegelschnitts sich schneiden und von einem beliebigen Punkt des letzteren mit einer der Tangenten eine Parallele gezogen wird, welche sowohl den Kegelschnitt zum zweiten Male als die andere Tangente trifft, so verhält sich das Quadrat des hierdurch auf der Tangente vom Berührungspunkt an abgeschnittenen Stücks zum Rechteck der beiden Abschnitte, auf der Parallelen, beide von der Tangente an gerechnet, wie das Quadrat der einen Tangente zum Quadrat der andern.
  Seien A und B zwei Punkte eines Kegelschnitts, deren Tangenten sich in D schneiden, und von einem beliebigen Punkt E des Umfangs eine Parallele mit BD gezogen, die den Schnitt zum zweiten Mal in F und die Tangente AD in G schneidet, so wird behauptet:
  • AG² : GE · GF = AD² : BD².
  Seien H,M die Durchschnittspunkte von AD und GF mit dem Durchmesser BC, I und K die Durchschnitte von DB und GF mit dem Durchmesser AC und werde von E eine Parallele mit AD gezogen, die BC in L trifft. Nun ist:
  • AG² : AD² = ∆AGK : ∆ADI
  • = ∆ADI + GMBD - MBIK : ∆ADI
  • = ∆BDH + GMBD - ∆ELM : ∆BDH nach III. 1 und I,43
  • = ∆HGM -  ∆ : ∆BDH
  • = GM² - ME² : BD²
  • = GE · GF :BD² q.e.d.
  Der Beweis gilt an folgenden Fig., und mit einziger Aenderung der Zeichen für alle übrigen Fälle:
  Wenn bei einer Ellipse oder einem Kreise die nach den Berührungspunkten gezogenen Durchmesser den Tangenten parallel sind, so findet das oben Behauptete gleichfalls Statt, und kann folgendermassen bewiesen werden. Es ist in Fig. rechts, in welcher ausser den im Satz erwähnten Linien nur noch die Ordinate EN an den Durchmesser AC gezogen und X der zweite Durchschnitt von AC mit dem Kegelschnitt ist,
  1. EN² : AN · NX = BC² : AC², also
  2. AG² : GM² - ME² = AD : BD² oder endlich
  3. AG² : GE · GF = AD : BD. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 17. Wenn an einem Kegelschnitt, zwei sich schneidende Tangenten gezogen sind und von zwei andern beliebigen Punkten desselben je eine Parallele mit einer Tangente gezogen wird, so dass diese Parallelen sich selbst und den Kegelschnitt noch in einem zweiten Punkt treffen, so verhält sich das Rechteck aus den auf einer dieser Linien gebildeten Abschnitten, vom Kreuzungspunkt der Parallelen bis zum Kegelschnitt gerechnet, zu dem andern ähnlich gebildeten Rechteck wie das Quadrat der der ersten Linie parallelen Tangente zum Quadrat der andern.
  Seien in den Punkten A und B eines Kegelschnitts Tangenten gezogen, die sich in D treffen, und von zwei andern Punkten desselben, E und F, von E eine Parallele mit BD, von F mit AD, welche Parallelen den Kegelschnitt beziehlieh in G und H, sich selbst in X schneiden, so wird behauptet:
  • EX · XG : FX · XH = BD² : AD².
  Construction. Construction. Man ziehe die Durchmesser AC, BC, welche den Tangenten BD, AD in den Punkten S und Q begegnen, ferner von E eine Parallele mit AD, welche BC in O, und von F eine Parallele mit BD, welche AC in R trifft, nenne die Punkte, in welchen EG die Durchmesser AC, BC schneidet, K und L, und die, in welchen FH dieselben trifft, I, P.
  Beweis. Nun ist:
  1. EL² : XL² = ∆ELO : ∆XLP, also
  2. EL² - XL² : ∆ELO - ∆XLP = EL² : ∆ELO = BD² : ∆BDQ,
  ferner auf gleiche Weise:
  3. FI² : XI² ∆FIR : ∆XIK, also
  4. FI² -XI² ∆FIR - ∆XIK = FI² : ∆FIR = AD² : ∆ADS.
  Da nun ∆ELO - ∆XLP = EXPO und ∆FIR - ∆XIK = FXKR, und nach III. 3 EXPO = FXKR und nach III. 1 ∆BDQ = ∆ADS, und da EL² - XL² = EX · XG und FI² - XI² = FX · XH, folgt aus Vergleichung von (2) und (4):
  • EX · XG : FX · XH = BD² : AD². q. e. d.
  Wenn bei einer Ellipse oder einem Kreise die beiden Tangenten so gezogen sind, dass die Durchmesser nach den Berührungspunkten ihnen parallel sind, so findet das oben Behauptete gleichfalls Statt und kann folgendermassen bewiesen werden.
  Es ist, wenn die Linien, wie oben gezogen und benannt sind,
  1. EL² : BC² - IX² = AC² : BC²,
  2. FI² : CA² - XL² = BC² : AC², also
  3. EL² BC² - IX² = CA² - XL² : FI² = AC² : BC², also auch
  4. CA² + EL² - XL² : CB² + FI² - XI² = AC² : BC² oder
  5. CA² + EX · XG : CB² + FX · XH = AC² : BC²,
  woraus man leicht erhält: EX · XG : FX · XH = AC² : BC² = BD² : AD².
  Anm. Hieraus ergiebt sich leicht, dass, wenn von einem Punkt zwei Linien durch einen Kegelschnitt gezogen werden, das Verhältniss des Rechtecks aus den Abschnitten der einen zu dem aus den Abschnitten der andern gleich demselben Verhältniss für zwei von einem beliebigen andern Punkte parallel den ersten gezogene Linien ist.
• 
  Lehrsatz 18. Wenn an zwei Gegenschnitte zwei sich schneidende Tangenten und von einem beliebigen Punkt eines der beiden Gegenschnitte eine Parallele mit einer Tangente gezogen werden, bis letztere sowohl die andere Tangente als die Gegenschnitte zum zweiten Male schneidet, so ist das Quadrat des hierdurch auf der Tangente abgeschnittenen Stücks zum Rechteck aus den Abschnitten auf der Parallelen (beide von der Tangente an gerechnet) wie das Quadrat der einen Tangente zu dem der andern.
  Seien in den Punkten A und B zweier Gegenschnitte Tangenten gezogen, die sich in D kreuzen, und von einem andern beliebigen Punkte E eine Parallele mit BD, welche die Gegenschnitte zum zweiten Mal in F und die Tangente AD in G trifft, so wird behauptet (wie in § 16):
  • AG² : GE · GF = AD² : BD².
  Man ziehe noch in A und B die Durchmesser, deren ersterer BD in I, GE in K und deren letzterer AD in H, GE in M schneidet, endlich von E an den Durchmesser BM die Linie EL parallel AD. Nun ist:
  • MG² : ME² = ∆MGH : ∆MES, also
  • MG² - ME² : LEGH = MG³ : ∆MGH = BD² : ∆BDH,
  und da nach III. 6 LEGH = ∆AKG und nach III. 1 ∆BDH = ∆ADI, so ist MG² - ME² : ∆AKG = BD² : ∆ADI, oder wenn die inneren Glieder vertauscht werden und statt ∆AKG : ∆ADI gesetzt wird AG² : AD², sowie statt MG² - ME² GE · GF:
  • GE · GF : BD² = AG² : AD² oder
  • AG² : GE · GF = AD² : AD². q.e.d.
  Ein anderer Beweis für den Fall, in welchem die Punkte A und B nicht auf derselben Hyperbel liegen, ist folgender. Sei die Bezeichnung vor der Construction des Beweises wie oben und werden von den Punkten β, wo der von B gezogene Durchmesser den Gegenschnitt trifft, und von A die Parallelen βδ und AO an die Linien AD und Bβ gezogen.
  Nun ist:
  • Aδ : δH = Oβ : βH = OB : HB = AD : DH, also
  • Aδ : AD = δH : DH und da
  • δH : DH = βδ : DB, auch
  • Aδ : δβ = AD : BD;
  • da aber nach § 16
  • AG² GE · GF = Aδ² : δβ, ist nun auch
  • AG² GE · GF = AD² : BD². q.e.d.
• 
  Lehrsatz 19. Wenn an zwei Gegenschnitte zwei sich schneidende Tangenten und mit diesen zwei Parallelen gezogen werden, deren jede die Schnitte in zwei Punkten trifft, so verhält sich das Rechteck aus den Abschnitten auf der einen Parallelen, von dem Scheidungspunkt der Parallelen bis zu den beiden Punkten auf dem Kegelschnitt gerechnet, zu dem ähnlich gebildeten Rechteck auf der andern Parallelen wie das Quadrat der einen Tangente zu dem Quadrat der andern.
  Seien in den Punkten A und B die sich in D kreuzen den Tangenten an zwei Gegenschnitten und von zwei andern Punkten E und F, von ersterem eine Parallele mit BD, von letzterem mit AD gezogen, welche Parallelen die Gegenschnitte noch in den Punkten G und H und sich gegenseitig in X treffen, so wird behauptet, wie in § 17:
  • XE · XG : XF · XH = BD² : AD²
  Man ziehe noch von A und B die Durchmesser, deren ersterer XF in I, BD in S, XE in K, deren letzterer XE in L, AD in Q, XI in P trifft, und von E an BQ die Linie EO parallel AD, sowie von F an AK die Linie FR parallel BD.
  Nun ist:
  1. IX² : ∆IXK = IF² : ∆IFR = AD² : ∆ADS,
  2. LX² : ∆LXP = LE² : ∆LEO = BD² : ∆BDQ, also
  3. LX² - IF² : XKRF = AD² : ∆ADS und
  4. LX² - LE² : XPOE = BD² : ∆BDQ,
  weil aber nach III.7 XPOE = XKRF und nach III.5 ∆BDQ = ∆ADS ist
  5. XF · XH : XE · XG = AD² : BD². q.e.d.
  Fällt der Punkt X nicht ausserhalb, sondern innerhalb des Winkelraums BDA, so ziehe man die Durchmesser Aα, Bβ, ziehe in α und β die Tangenten, welche sich in δ schneiden, nenne S und ς die Punkte, in welchen BD, βδ die Linie Aα, und T und τ diejenigen, in welchen AD und αδ die Linie Bβ durchschneiden, so ist ∆BSC congruent ∆αςC, ∆ATC congruent ∆ατC, ∆ASD congruent ࢞αζδ, ∆BTD congruent ∆βτδ, weshalb AD = αδ und BD = βδ, und da der Punkt X ausserhalb des Winkelraums -δβ liegen muss, wenn die von ihm mit den Tangenten gezogenen Parallelen die Gegenschnitte treffen sollen, ist hierdurch dieser Fall auf den vorigen zurückgeführt.
  Fällt endlich der Punkt X, innerhalb einer Hyperbel, so sei wieder Aα der von A gezogene Durchmesser, αδ die Tangente in α, dann ist im zweiten Beweis von § 18. gezeigt, dass
  • αδ : Bδ = AD : BD und in § 17
  • XE · XG : XF : XH = Bδ² : αδ², also auch
  • = BD² : AD².
  Anm. Hieraus ergiebt sich leicht die Folgerung: Zieht man von einem beliebigen Punkt zwei Gerade, welche zwei Gegenschnitte in je zwei Punkten schneiden, so ist das Verhältniss des Rechtecks aus den Abschnitten der einen zu dem aus den Abschnitten der andern gleich demselben Verhältniss für zwei von einem beliebigen andern Punkt mit den ersten Geraden gezogene Parallelen.
• 
  Lehrsatz 20. Wenn an zwei Gegenschnitte zwei sich schneidende Tangenten und durch ihren Schneidungspunkt sowohl als durch irgend einen andern Punkt der Gegenschnitte Parallelen mit der Berührungssehne gezogen werden, so verhält sich das Quadrat des durch die letzte Parallele auf einer Tangente abgeschnittenen Stücks zu dem Rechteck aus den Abschnitten auf der Parallele selbst von der Tangente bis zu den Gegenschnitten gerechnet, wie das Quadrat dieser Tangente vom Berührungspunkt bis zum Kreuzungspunkt der Tangenten, zu dem Quadrat der halben durch diesen Kreuzungspunkt gezogenen Parallelen.
  Seien in den Punkten A und B zweier Gegenschnitte Tangenten gezogen, die sich in D kreuzen, und durch D sowohl als durch einen beliebigen Punkt F eines Gegenschnitts die Parallelen DE, FGH mit der Berührungssehne AB gezogen, so wird behauptet:
  • AG² : FG · GH = AD² : ED²
  Man ziehe den Durchmesser AC, welcher FG in K, ED in L, und DC, welcher FG in I schneidet, ferner durch F und E an CD die Linien FM, EN parallel mit AD. Nun ist:
  • AG² : AD² = ∆AGK : ∆ADL,
  aber nach III.5 ∆ = ∆IFM - ∆IGD und ∆ADL = ∆EDN und ∆IFM - ∆IGD : ∆EDN = IF² - IG² : ED² = FG · GH : ED², ist also AG² : AD² = FG · GH : ED². q.e.d.
• 
  Lehrsatz 21. Werden an zwei Gegenschnitte zwei sich schneidende Tangenten und die Berührungssehne, von einem beliebigen Punkt eines Schnittes aber eine Parallele mit einer Tangente und von einem andern eine Parallele mit der Berührungssehne gezogen, welche Parallelen sowohl sich selbst als die Gegenschnitte schneiden, so verhält sich das Rechteck aus den Abschnitten der ersten Parallelen zu dem aus den Abschnitten der zweiten (vom Kreuzungspunkt der Parallelen bis an die Gegenschnitte gerechnet), wie das Quadrat der Tangente bis zum Berührungspunkt zum Quadrat der halben durch den Kreuzungspunkt der Tangenten bis an die Gegenschnitte gezogenen Parallelen mit der Berührungssehne.
  Seien in den Punkten A und B Tangenten gezogen, die sich in D kreuzen, von dem Punkte F eines der Schnitte eine Parallele mit AD, welche dem Schnitt zum zweiten Mal in H, den Durchmessern CA, CD in K und P begegnet, und von einem andern Punkt G des Schnitts eine Parallele mit AB, welche dem zweiten Schnitt in I, der von F gezogenen Parallelen in X und den Durchmessern CA, CD in M, O begegnet, werde ferner durch D eine Parallele mit AB gezogen, die den einen Schnitt in E trifft, so wird behauptet:
  • XF · XH : XG · XI = AD² : ED²
  Man ziehe noch durch F eine Parallele mit AB, die AC in L, durch G und E Parallelen mit AD, die CD in Q und R treffen, und nenne N den Durchschnitt von ED mit AC. Nun ist:
  1. XK² : KF² = ∆XKM : ∆FKL,
  2. OG² OX² = ࢞OGQ : ∆OXP, also
  3. XK² - KF² : FLMX = XK² : ∆XKM = AD² : ∆ADN
  4. OG² - OX² : GXPQ = OG² : ∆OGQ = ED² : ∆EDR
  und da nach III.12 FLMX = GXPQ und nach III.5 ∆ = ∆EDR, erhält man
  5. XK² - KF² : OG² - OX² = AD² : ED² oder XF · XH : XG · XI = AD² : ED². q.e.d.
• 
  Lehrsatz 22. Wenn an zwei Gegenschnitte ein Querdurchmesser, und eine beliebige Parallele damit, so wie eine andere mit der zugehörigen Ordinatenrichtung gezogen werden, welche Parallelen sowohl sich selbst als die Gegenschnitte treffen, so verhält sich das Rechteck ans den Abschnitten auf der ersten zu dem Rechteck. auf den Abschnitten der letzteren wie das latus transversum zum latus rectum.
  Sei AB ein Querdurchmesser zweier Gegenschnitte und werde damit eine Parallele gezogen, die die Schnitte in F und G, so wie eine andere mit der zugehörigen Ordinatenrichtung, die die erste Parallele in H, die Gegenschnitte in D,E trifft, so wird behauptet:
  • HF · HG : HD · HE = t : r,
  Sei I der Durchschnitt von DE mit AB und werde noch von F die Ordinate FK gezogen, so ist
  1. DI² : IC² - AC² = FK² : KC² = r : t, also
  2. DI²- FK² : IC² - KC² = r : t, aber
  3. DI² - FK² = HD · HE und IC² - KC² = HF · HG, also
  4. HD · HE : HF · HG = r : t. q.e.d.
     
• 
  Lehrsatz 23. Wenn conjugirte Schnitte und an zwei gegenüberliegenden derselben zwei Tangenten gegeben sind, welche sich innerhalb eines der benachbarten Schnitte treffen, und wenn zwei Parallelen mit diesen Tangenten gezogen werden, solche sowohl sich selbst als diese benachbarten Schnitte treffen, so verhalten sich die Rechtecke aus den Abschnitten auf diesen Parallelen wie die Quadrate der Tangenten.
  Seien in den Punkten A und B zweier Gegenschnitte Tangenten gezogen, die sich innerhalb eines der benachbarten conjugirten Schnitte in D kreuzen und mit diesen Tangenten zwei Parallelen, die sich gegenseitig in X und die den Hyperbeln A und B conjugirten Schnitte in E, F, G, H treffen, so wird behauptet:
  • XE · XF : XG · XH = AD² : BD².
  Man ziehe die Durchmesser AC, BC, welche der Geraden EF in L, K, der Geraden GH in M, I begegnen, ziehe von E eine Parallele mit BD, die AC in P und von G eine Parallele mit AD, die BC in N trifft; ist nun noch R der Durchschnitt von AD und BC, Q der von BD und AC, so ist
  1. EL² : ∆ELP = XL² : ∆XLM = AD² : ∆ADQ,
  2. GI² : ∆GIN = IX² : ∆IXK = BD² : ∆BDR, also auch
  3. EL² - XL² : XEPM = AD² : ∆ADQ und
  4. GI² - XI² : GXKN = BD² : ∆BDR,
  und das nach III.5 XEPM = GXKN und nach III.4 ∆ADQ = ∆BDR, so folgt:
  5. EL² - XL² : GI² - XI² = AD² : BD² oder
  6. XE · XF : XG · XH= AD² : DB². q.e.d.
• 
  Lehrsatz 24. Wenn in conjugirten Gegenschnitten zwei conjugirte Durchmesser und zwei Parallelen mit diesen gezogen werden, die sich in dem Raum zwischen den Schnitten begegnen, so ist das Rechteck aus den Abschnitten der ersten Parallelen vermehrt um ein anderes, zu welchem sich das Rechteck aus den Abschnitten der andern Parallelen ebenso verhält wie das Quadrat des zweiten Durchmessers zu dem des ersten, gleich dem halben Quadrat dieses ersten Durchmessers.
  Seien AB, DE conjugirte Durchmesser an zwei Paaren conjugirter Gegenschnitte und eine Parallele mit AB, die die Gegenschnitte A und B in G und H trifft, sowie eine andere mit DE, die die Gegenschnitte D und E in I und K trifft, gezogen, ist nun F der Durchschnittspunkt dieser Parallelen, so wird behauptet:
  • GF · FH + CA² ⁄ CD² · KF · FI = 2 · CA².
  Sei L der Durchschnitt von AB und IK, M der von DE und G H, so ist
  1. GM² - CA² : LF² = CA² : CD²,
  2. MF² : LI² _ CD² = CA² : CD², also
  3. GM² -CA² : LF² = MF² : LI² - CD² = CA² : CD² und
  4. GM² - MF² - CA² : LF² - LI² + CD² = CA² : CD², woraus componendo leicht folgt:
  5. HF · FG : 2 · CD² - KF · FI = CA² : CD², also
  6. HF · FG = 2 · CA² - CA² ⁄ CD² · KF · FI. q.e.d.
  Oder von Zeile 2 an etwas kürzer:
  3. GM² : LF² + CD² = MF² + 2 · CA² : LI² + CD² = CA² : CD² und
  4. MF² - GM² + 2 · CA² : LI² - LF² = CA² : CD² oder
  5. 2 · CA² GF · FH = IF · FK CA² ⁄CD². q.e.d.
  Anm. Dieser Beweis gilt ohne Aendernng auch für die Fälle, in welchen der Schneidungspunkt der Parallelen innerhalb der einen oder der andern Hyperbel liegt, wobei nur zu merken. ist, dass jedes der Rechtecke GF · FH oder KF · FI sein Zeichen wechselt, sobald der Punkt F die Hyperbel überschreitet, durch deren Durchschnittspunkte es gebildet ist. Diese Fälle behandelt Apollonius besonders im 25. und 26. Lehrsatz, die ich wegen des geringen Unterschiedes mit dem 24. nicht besonders beweise. Liegt der Schneidungspunkt in einer Hyperbel selbst, so reducirt sich die Behauptung auf die des Lehrsatzes 22. im 2. Buche. Um jedoch auch den Gang des Apollonischen Beweises anzugeben, folgt derselbe hier für den Fall, dass der Schneidungspunkt der Parallelen innerhalb des Asymptotenwinkels liegt.
  Seien in der vorigen Figur noch die Asymptoten gezogen, welche die in A gezogene Tangente in N und O, die Parallele GH in den Punkten P und Q und die Parallele IK in R und S treffen. Nun ist, weil CD = AN und ∆CAN ~ ∆PFR, so wie ∆CAO ~ ∆QFS
  1. CA : AN = PF : FR und
  2. CA : AO = QF : FS, also
  3. CA² : CD² = FP · FQ : FR · FS
  Es ist aber:
  • FP · FQ = MF² - MP² = MG²- MP² - MG² + MF²
  • = GP · GQ - FG · FH
  • und nach II.10 = CA² - FG · FH.
  Ferner auf ähnliche Art:
  • FR · FS = LR² - LF² = LI² - LF² -LI² + LR²
  • =FI · FK - IR · IS
  • und nach II.10 =FI · FK - CD².
  Setzt man diese Werthe oben in 3. ein, so erhält man
  4. CA² : CD² = CA² - FG · FH : FI · FK - CD² oder
     2 · CA² - FG · FH : FI · FK = CA² : CD². q.e.d.
• 
  Lehrsatz 27. Wenn in einer Ellipse oder einem Kreis conjugirte Durchmesser und mit diesen je eine Parallele gezogen werden, welche sich selbst und den Kegelschnitt schneiden, so ist die Summe der Quadrate der Stücke auf der Parallelen mit dem ersten Durchmesser, vom gegenseitigen Durchschnitt bis zum Kegelschnitt gerechnet, vermehrt um die Summe zweier Rechtecke über den Stücken der andern Parallelen, welche ähnlich und ähnlich gelegen sind mit dem Rechteck aus dem zweiten Durchmesser und seinem zugehörigen latus rectum, gleich dem Quadrat des ersten Durchmessers.
  
  Seien AB, DE conjugirte Durchmesser einer Ellipse, GH, IK Parallelen damit, die sich in F kreuzen, r das zum zweiten Durchmesser DE gehörige latus rectum, so wird behauptet:
  • FG² + FH² + FI² · r ⁄ DE + FK² · r ⁄ DE = AB².
  Beweis. Sei noch L der Durchschnitt von IK und AB, M der von GH und DE, so ist:
  1. FG² + FH² = (MG - MF)² + (MG + MF)² = 2 · MG² + 2 · MF² = 2 · DM · ME · r ⁄ DE + 2 · CL².
     Es ist aber
  2. DM · ME · r ⁄ DE = DC² · r ⁄ DE - MC² · r ⁄ DE = AC² - FL² · r ⁄ DE,
  weil r ⁄ DE = AC² ⁄ DC² ist, ferner, weil IL² = CA² · DE ⁄ r - CL² · DE ⁄ r, erhält man leicht
  3. CL² = CA² - IL · r ⁄ DE.
  Setzt man (2) und (3) in (1) ein, so hat man
  4. FG² + FH² = 2 · CA² - r ⁄ DE + 2 · CA² - 2 · IL² · r ⁄ DE =
     = 4 · CA² - 2 · FL² · r ⁄ DE,
  und da endlich
  • 2 · IL² + 2 · FL² = 2 · (½ · (FK + FI))sup>2 + 2 · (½ · (FK - FI))² = FK² + FI²
  ist, so erhält man
  5. FG² + FH² = AB² - FK² · r ⁄ VE - FI² · r ⁄ VE. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 28. Wenn in conjugirten Gegenschnitten conjugirte Durchmesser und mit diesen je eine Parallele gezogen werden, so verhält sich die Summe der Quadrate der Abschnitte auf einer dieser Parallelen, von ihrem gegenseitigen Kreuzungspunkt bis an das eine Paar Gegenschnitte gerechnet, zu der Summe der Quadrate der Stücke auf der andern bis zu den andern Gegenschnitten gerechnet, wie das Quadrat des zur ersten Parallele gehörigen Durchmessers zu dem Quadrat des zur zweiten gehörigen.
  Seien AB, DE conjugirte Durchmesser zweier conjugirter Gegenschnitte, GH, IK Parallelen damit, die sich in F kreuzen, so wird behauptet:
  • FI² + FK² : FG² + FH² = DE² : AB².
  Man ziehe noch von G die Ordinate GN an den Durchmesser AB, und von I die Ordinate IO an DE, und nenne L den Schneidungspunkt von IK und AB, M den von GH und DE, so ist
  1. GN² : CN² - CA² = CD² : CA²,
  2. CO² - CD² : IO² = CD² : CA², also
  3. GN² + CO² - CD² : CN² - CA² + IO² = CD² : CA², oder auch
  4. GN² + CO² : CN² + IO² = CD² : CA², aber
  • GN² + CO² = FL² + LI² = ½ · (FI² + FK²) nach dem, was im vorigen Satz bewiesen; und ebenso
  • CN² + IO² = MG² + MF² = ½ · (FG² + FH²), welches in (4) eingesetzte, ergiebt:
  • FI² + FK² : FG² + FH² = CD² : CA². q.e.d.
• 
  Lehrsatz 29. Unter denselben Voraussetzungen als im vorigen Lehrsatz verhält sich die Summe der Quadrate der Stücke auf einer Parallelen, vom Kreuzungspunkt derselben bis zu den Asymptoten gerechnet, vermehrt um das halbe Quadrat des parallelen Durchmessers zu der Summe der Quadrate der Stücke auf der andern Parallelen, von ihrem Kreuzungspunkt bis zu den Gegenschnitten gerechnet, wie das Quadrat des einen Durchmessers zu dem des andern.
  Seien P und Q die Durchschnittspunkte der Parallelen IK mit den Asymptoten, so wird behauptet, dass
  • FP² + FQ² + ½ · DE² : FG² + FH² = DE² : AB² ist.
  Beweis. Vergleicht man diese Behauptung mit der des vorigen Lehrsatzes, so zeigt sich, dass man beweisen muss:
  • FI² + FK² = FP² + FQ² + ½ · DE², oder
  • FI² + FK² - FP² - FQ² = ½ · DE².
  Es sei nun zuerst F zwischen Q und P gelegen, so hat man
  • FI² - FP² + FK² - FQ² = IP · (FI + FP) + KQ · (FK + FQ) oder da nach II.8 KQ = IP:
  • FI² - FP² + FK² - FQ² = IP · (FI + FP + FK + FQ) =
  • = IP · (IK + PQ) =
  • = IP · (2 · PQ + 2 · IP) =
  • = 2 · IP · IQ =
  • 2 · CD² = (nach II.16)
  • ½ · DE².
  Ein ähnlicher Beweis findet Statt, wenn F zwischen P und I liegt.
• 
  Lehrsatz 30. Wenn von einem Punkt innerhalb des Asymptotenwinkels einer Hyperbel an dieselbe zwei Tangenten und eine Parallele mit einer Asymptote gezogen werden, so wird das Stück der letzteren zwischen dem Ausgangspunkt und der Berührungssehne der Tangenten von der Hyperbel halbirt.
  Sei D ein Punkt innerhalb des Asymptotenwinkels einer Hyperbel, DA, DB die Tangenten an dieser, DF eine Parallele mit der einen Asymptote, welche die Hyperbel in E, die Berührungssehne in F trifft, so wird behauptet:
  • DE = EF.
  Man ziehe vom Mittelpunkt C durch D einen Durchmesser, der die Hyperbel in I, AB in G trifft, von E an diesen Durchmesser die Ordinate EH und in J die Tangente, die eine Asymptote in K trifft. Nun ist:
  1. EH² : HD² = KI² : CI²
  wegen Aehnlichkeit der Dreiecke EHD und KIC,
  2. EH² : HC² - CI² = KI² : CI²,
  weil KI gleich dem halben zweiten Durchmesser der Hyperbel nach II.3. Hieraus folgt aber:
  • HD² = HC² - CI², und weil
  • CI² = CD · CG nach I.37.
  • CD · CG = HC² - HD² = CD · (HC + HD), woraus
  • CG = HC + HD, und wenn man auf beiden Seiten CD abzieht:
  • DG = 2 · HD, weshalb
  • DH = HG und DE = EF. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 31. Wenn von einem Punkt ausserhalb des Asymptotenwinkels an zwei Gegenschnitte je eine Tangente und mit einer Asymptote eine Parallele gezogen werden, so wird das Stück dieser letzteren vom Ausgangspunkt bis zur verlängerten Berührungssehne von der einen Hyperbel halbirt.
  Seien von einem Punkt D ausserhalb des Asymptotenwinkels zweier Gegenschnitte an diese die Tangenten DA, DB und mit der einen Asymptote eine Parallele gezogen, welche die Berührungssehne in F und den Gegenschnitt A in E trifft, so wird behauptet:
  • DE = EF.
  Beweis. Man ziehe noch den Durchmesser DC, welcher AB in G trifft, ferner von E an CD die Ordinate EH, so wie von C den mit AB parallelen Halbmesser CI und in I die Tangente IK bis zu der Asymptote, mit welcher die Parallele DF gezogen ist. Nun ist:
  1. EH² : HD² = CI² : IK²
  wegen Aehnlichkeit der Dreiecke EHD, CIK,
  2. EH² : CH² + IK² = CI² : IK²
  nach I.38, II.3 und einer leichten Folgerung daraus. Also
  • HD² = CH² + IK², und da nach I.38 auch
  • IK² = CG · CF, CG · CD = HD² - CH² = CD · (HD - CH), also
  • CG = HD - CH, oder wenn man CH auf beiden Seiten addiert,
  • GH = HD, also auch FE = ED. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 32. Wenn von einem Punkt innerhalb des Asymptotenwinkels einer Hyperbel Tangenten an diese und eine Parallele mit der so entstandenen Berührungssehne, von der Mitte dieser letzteren aber eine Parallele mit einer Asymptote gezogen werden, so wird das Stück dieser Parallelen zwischen ihrem Ausgangspunkt und der vom Ausgangspunkt der Tangenten gezogenen Parallelen von der Hyperbel halbirt.
  Seien von einem Punkt D innerhalb des Asymptotenwinkels einer Hyperbel an diese zwei Tangenten DA, DB, die Berührungssehne AB und von ihrer Mitte G eine Parallele mit einer Asymptote gezogen, welche die von D mit AB gezogene Parallele in F, die Hyperbel in E trifft, so wird behauptet:
  • GE = EF
  Beweis. Man ziehe den Durchmesser CDG, von E daran die Ordinate EH, ferner im Scheitel I die Tangente, bis sie die mit GF parallele Asymptote in K trifft. Nun ist:
  1. EH² : HG² = IK² : CI²
  wegen Aehnlichkeit der Dreiecke EHG und CIK,
  2. EH² : CH²- CI² = IK² : CI², woraus
  • HG² = CH² - CI², und da CI² = CD · CG,
  • CD · CG = CH² - HG² = CG · (CH - HG) oder
  • CD = CH - HG, d. h. HG = CH _ CD = DH,
  • mithin auch GE = EF. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 33. Wenn von einem Punkt ausserhalb des Asymptotenwinkels zweier Gegenschnitte an diese je eine Tangente, und mit der so entstandenen Berührungssehne eine Parallele, von der Mitte der Berührungssehne aber eine Parallele mit einer Asymptote gezogen werden, so wird das Stück dieser Parallele von der Berührungssehne bis zu der vom Ausgangspunkt der Tangenten damit gezogenen Parallelen durch die Hyperbel halbirt.
  Seien von einem Punkt ausserhalb des Asymptotenwinkels zweier Gegenschnitte an diese die Tangenten DA, DB, und von der Mitte G der Berührungssehne eine Parallele mit einer Asymptote gezogen, welche die Hyperbel in B, eine von D mit AB gezogene Parallele aber in F trifft, so wird behauptet:
  • GE = EF
  Man ziehe noch den Durchmesser GCD, von E daran die Ordinate EH, ferner von C den mit BA parallelen Halbmesser CI und im Scheitel I die Tangente, bis sie die mit GF parallele Asymptote in K trifft, so ist:
  1. EH² : HG² = CI² : IK²
  wegen Aehnlichkeit der Dreiecke EHG, CIK,
  2. EH² : HC² + IK² = CI² : IK²
  aus I.38, II.3 und einer leichten Folgerung daraus. Also
  • HG² = HC² + IK², aber
  • IK² = CG · CH nach I.38, mithin
  • CG · CD = HG² - HC² = CG · (HG + HC), oder
  • CD = HG + HC, also HD = HG, weshalb auch GE = EF. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 34. Wenn von einem Punkt in einer Asymptote einer Hyperbel an diese eine Tangente und eine Parallele mit der andern Asymptote gezogen werden, so wird das Stück dieser Parallelen von ihrem Ausgangspunkt bis zu einer durch den Berührungspunkt der Tangente mit der ersten Asymptote gezogenen Parallelen durch die Hyperbel halbirt.
  Seien von einem Punkt D in einer Asymptote einer Hyperbel an diese eine Tangente DA und eine Parallele mit der andern Asymptote gezogen, welche die Hyperbel in E und eine vom Berührungspunkt A mit der Asymptote CD gezogene Parallele in F trifft, so wird behauptet:
  • DE = EF.
  Sei B der Punkt, in dem DA die zweite Asymptote trifft, und noch von A an CD eine Parallele H mit BC gezogen, so ist nach II.12:
  CH · HA = CD · DE, da aber nach II.3 DA = AB, also auch DH = HC oder CH = ½ · DC, muss auch HA = 2 · DE oder, was dasselbe ist, DE = EF sein. q.e.d.
  Anderer Beweis. Man ziehe EA, welche verlängert die Asymptote CB in K, CD in I trifft, so ist, weil DA = AB, auch EA = AK, aber AK = IE (II.8), folglich auch IE = EA und daher DE = EF. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 35. Wenn von einem Punkt in einer Asymptote einer Hyperbel eine Tangente an diese und eine beliebige andere Linie, die die Hyperbel in zwei Punkten trifft, durch den Berührungspunkt der Hyperbel aber eine Parallele mit dieser Asymptote gezogen werden, so verhält sich auf der beliebig gezogenen Geraden das Ganze zum äusseren Stück wie die beiden Stücke innerhalb der Hyperbel.
  Seien von einem Punkt D in einer Asymptote einer Hyperbel eine Tangente DA und eine beliebige Linie gezogen, die die Hyperbel in E, F trifft, durch den Berührungspunkt aber eine Parallele mit CD, die EF in G schneidet, so wird behauptet:
  • DE : DF = GR : GF.
  Beweis. Man ziehe von E, A, F Parallelen mit den Asymptoten CD, CB, welche diese beziehlich in den Punkten I und K, L und M, N und O treffen, nenne H den Punkt, in welchem DF die zweite Asymptote trifft. Nun ist nach II.12:
  1. CI · IE = CL · LA = CN · NF, mithin
  2. CI : CL = LA : IE,
  3. CL : CN = NF : LA, also
  4. IL : CL = IE - LA : IE und
  5. LN : CL = LA - NF : NF,
  da aber DA = AB nach II.3 ist auch DM = MC, und da DE = FH nach II.8, ist auch DK = CO, mithin KM = MO oder IE - LA = LA - NF, folglich ergiebt sich aus Vergleichung von (4) und (5)
  6. IL : LN = NF : IE = CI : CN nach (1), aber
  • IL : LN = GE : GF und CI : CN = DE : DF, also
  • GE : GF = DE : DF, q.e.d.
  Anderer Beweis. Man ziehe EA, welche CB in O, CD in P trifft, und von B eineParallele mit DF, die PO in Q trifft. Nun ist
  1. BQ : EH = OQ : OE,
  oder weil wegen Gleichheit von AB und AD auch AQ = AE und BQ = DE, EH ferner gleich DF und AO = EP ist:
  2. DE : DF = PE - AE : PA, und das
     PE : AE = DE : GE, auch
  3. DE : DF = DE - GE : DG,
  woraus durch Subtraction der correspondirenden Glieder:
  4. GE : GF = DE : DF. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 36. Wenn von einem Punkt in einer Asymptote zweier Gegenschnitte eine Tangente an einen derselben und eine beliebige Gerade, die jeden der Gegenschnitte in einem Punkt trifft, durch den Berührungspunkt der Tangente aber eine Parallele mit der erwähnten Asymptote gezogen werden, so verhalten sich auf der beliebig gezogenen Geraden die beiden Stücke, welche zwischen dem Punkt auf der Asymptote und den Gegenschnitten, wie die beiden, welche zwischen dem Punkt auf der Parallelen mit der Asymptote und den Gegenschnitten liegen.
  Sei D ein Punkt auf einer Asymptote zweier Gegenschnitte, DA eine Tangente an einen derselben, und eine beliebige Gerade von D gezogen, die die Gegenschnitte in den Punkten E, F und eine von A mit der Asymptote CD gezogene Parallele in G trifft, so wird behauptet:
  • DE : DF = GE : GF.
  Erster Beweis. Man nenne B den Durchschnitt von DA, H den von DF mit der zweiten Asymptote und ziehe von den Punkten E, A, F Parallelen mit den Asymptoten CB, CD, welche diese beziehlich in den Punkten I und K, L und M, N und O treffen. Nun ist wie leicht aus II.12 folgt:
  1. CI · IE = CL · LA = CN · NF, also
  2. CI : CL = LA : IE
  3. CL : CN = NF : LA,
  woraus durch Subtraktion der Glieder eines Verhältnisses in (2), durch Addition in (3) folgt:
  4. IL : IE - AL = CL : IE,
  5. NL : NF + LA = CL : NF.
  Aber IE - AL oder KM ist gleich NF + LA oder MO, weil wegen Gleichheit von DA und AB auch DM = CM und wegen Gleichheit von DE und HF (II.16) auch DK = CO; hiernach ergiebt sich also aus (4) und (5)
  6. IL : NL = NF : IE = CI : CN,
  aber IL : NL = GE : GF und CI : CN = DE : DF, folglich auch
  7. GE : GF = DE : DF. q.e.d.
  Zweiter Beweis. Man ziehe AE, die CB in O, CD in P trifft, schneide AO von AE ab zum Punkt Q, ziehe DQ. Nun ist, weil auch DA = AB, DQ parallel BH, folglich
  1. DE : EH = EQ : EO = AE - EP : AE + EP, weil AO = EP.
  Weil aber AE : EP = GE : DE, ist auch
  • AE - EP : AE + EP = GE - DE : GE + DE, mithin
  2. DE : EH = GE - DE : GE + DE, woraus durch Addition der correspondirenden Glieder
  3. GE : GH + DE = DE : EH, weil aber DB = HF, ist GH + DE = GF und EH = DF, also
  4. GE : GF = DE : DF. q.e.d.
  Dritter Beweis. Man ziehe ausser wie oben AE noch von A eine Parallele mit BC, welche DH in R trifft, so ist, weil DA = AB, auch DR = RH und
  1. ER : RH = EA : AO = EA :EP = GE : DE; aber BR = ½ · EF und RH = · DH, mithin
  2. EF : DH = GE : DE, woraus durch Addition der correspondirenden Glieder unter Berücksichtigung von DE = HF:
  3. GF : D F= GE : DE. q e. d.
• 
  Lehrsatz 37. Wenn von einem Punkt an einen Kegelschnitt oder an zwei Gegenschnitte zwei Tangenten und eine beliebige den Kegelschnitt oder bei Gegenschnitten die eine Hyperbel in zwei Punkten schneidende Gerade gezogen werden, so verhalten sich auf dieser letzteren die beiden Stücke vom Ausgangspunkte bis zu den Durchschnittspunkten mit dem Kegelschnitt wie die beiden Stücke von der Berührungssehne zu denselben Durchschnittspunkten gerechnet.
  Sei D ein Punkt ausserhalb eines Kegelschnittes oder zweier Gegenschnitte und seien von ihm aus die Tangenten DA und DB und die schneidende Gerade DEF, welche die Berührungsehne in G trifft, gezogen, so wird behauptet:
  • DE : DF = GE : GF.
  Beweis. Man ziehe die Durchmesser durch A und D und von E und F an letzteren die Ordinaten, welche diesen Durchmesser, die Tangente DA und den durch A gezogenen Durchmesser beziehlich in den Punkten H, I, K und L, M, N treffen, ferner von E und F Parallelen mit der Tangente DA, die CD beziehlieh in O und P treffen. Nun ist:
  1. ∆DIH : ∆DML = DI² : DM² = DE² : DF²,
  2. ∆EHO : ∆ FLP = EH² : FL² = DE² : DF²
  Mithin ∆DJH : ∆DML = ∆EHO :∆FLP = DE² : DF² und deshalb durch Subtraction auch
  3. ∆DIH - ∆EHO : ∆DML - ∆FLP = DE² : DF². Es ist aber ferner
  4. ∆AKI : ∆AMN = AI² : AM² = GE² : GF²
  und da nach III.2 bei einem Kegelschnitt, nach III.5 bei Gegenschnitten ∆AKI = EIDO und ∆AMN = FMDP, erhält man aus Vergleichung von (3) und (4):
  • DE² : DF² = GE² : GF² oder DE : DF = GE : GF. q.e.d.
  Ein in neuerer Zeit üblicher auf III.16 und 18 und sonach mittelbar ebenfalls auf III.3 und III.5 sich stützender Beweis ist folgender: Seien unter denselben Bezeichnungen als oben die Durchschnitte von EH und FL mit dem Kegelschnitt und der Tangente DB beziehlich Q, R und S, T genannt, so ist, weil DC die Linie AB halbirt, auch HI = HR und HE = HQ, mithin IQ = ER und aus ähnlichen Gründen MS = FT. Nun ist nach III.16 bei einem Kegelschnitt, nach III.18 bei Gegenschnitten
  1. AI² : AM² = IE · IQ : MF · MS = IE · ER : MF · FT.
  Da aber IE : MF = DE : DF und auch ER : FT = DE : DF, ist
  2. IE ·ER : MF · FT = DE : DF² und da endlich
  3. AI : AM = GE : GF, folgt durch Vergleichung von (1) mit (2) und (3):
  • GE² : GF² = DE² : DF² oder GE : GF = DE : DF. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 38. Wenn von einem Punkt an einen Kegelschnitt oder an zwei Gegenschnitte die beiden Tangenten, von der Mitte der so entstandenen Berührungssehne aber eine beliebige den Kegelschnitt oder bei Gegenschnitten die eine Hyperbel in zwei Punkten schneidende Gerade gezogen werden, so verhalten sich auf dieser die beiden Stücke von ihrem Ausgangspunkt bis zu den Kegelschnittspunkten wie die beiden Stücke zwischen einer durch den Ausgangspunkt der Tangenten mit der Berührungssehne gezogenen Parallelen und den Kegelschnittspunkten.
  Seien von einem Punkt D an einen Kegelschnitt oder an zwei Gegenschnitte die Tangenten DA, DB und von der Mitte G der Berührungssehne AB eine beliebige den Kegelschnitt in E, F und eine durch D mit AB gezogene Parallele in R schneidende Gerade gezogen, so wird behauptet:
  • GE : GF = RE : RF.
  Man ziehe noch die Durchmesser durch D und A, von E und F an ersteren die Ordinaten, welche die Durchmesser durch D, die Tangente DA und den Durchmesser in A beziehlich in den Punkten H, I, K und L, M, N treffen, ferner von E und F Parallelen mit DA, welche den Durchmesser von D in O und P treffen. Nun ist:
  1. ∆DIR : ∆DML = DI² : DM² = RE² : RF²,
  2. ∆EHO : ∆FLP = HE² : FL² = HG² : GL² = AI² : AM²,
  3. ∆AKI : ∆AMN = AI² : AM³, also
  4. ∆EHO ± ∆AKI : ∆FLP ± ∆AMN = AI² : AM² = GE² : GF², aber
     ∆EHO ± ∆AKI = ∆DIH und ∆AMN ± ∆LFP = ∆DML
  nach (III.2 und 5), wobei das obere Zeichen in Fig. 184 und 185, das untere in Fig. 186 zu nehmen ist, und folglich aus Vergleichung von (1) und (4):
  • RE² : RF² = GE² : GF² oder RE : RF = GE :GF. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 39. Wenn von einem Punkt ausserhalb des Asymptotenwinkels an zwei Gegenschnitte die Tangenten und eine beliebige Gerade, welche sowohl jeden der Gegenschnitte als die Berührungssehne in einem Punkt schneidet, gezogen werden, so verhalten sich auf dieser Geraden die Stücke vom Ausgangspunkt bis zu den beiden Punkten auf den Gegenschnitten wie die beiden Stücke von der Berührungssehne bis zu denselben Punkten gerechnet.
  Die Construction und der Beweis dieses Satzes können an der Fig. 187. buchstäblich wie bei § 37 geführt werden.
• 
  Lehrsatz 40. Wenn von einem Punkt ausserhalb des Asymptotenwinkels an zwei Gegenschnitte Tangenten und von der Mitte der so entstandenen Berührungssehne eine beliebige Gerade gezogen werden, welche sowohl jeden der Gegenschnitte als auch die vom Ausgangspunkt der Tangenten mit der Berührungssehne gezogene Parallele in einem Punkt schneidet, so verhalten .sich auf dieser Geraden die beiden Stücke von der Berührungssehne bis zu den Kegelschnittspunkten wie die beiden von der Parallelen mit der Berührungssehne bis zu denselben Punkten gerechnet.
  Die Construction und der Beweis dieses Satzes kann an Fig. 188 buchstäblich wie in § 38 geführt werden.
  Es wäre daher leicht möglich gewesen, die Lehrsätze 37 und 39, 38 und 40 zu vereinigen, indess ist dies im Anschluss an Apollonius und auch deshalb nicht geschehen, weil wegen der Verschiedenheit der Figuren es gut ist, dieselbe Eigenschaft in verschiedenen Fällen zu betrachten.
• 
  Lehrsatz 41. Drei Tangenten einer Parabel theilen sich so, dass aus ihren Stücken sich drei gleiche Verhältnisse bilden lassen.
  Beweis des Apollonius. Seien DA, DB zwei Tangenten einer Parabel, die dritte aber in dem Punkt I gezogen, wo der von D gezogene Durchmesser die Parabel trifft; sind nun K, L die Durchschnittspunkte der dritten Tangente mit DA, DB, H der von DI mit AB, so ist, weil DI = IH (I.35) und KL parallel AB ist, auch DK = KA, DL = LB und weil AH = HB (II.30), auch KI = IL, mithin AK : KD = DL : LB = KI : IL. q.e.d.
  Sei nun aber die dritte Tangente in einem andern Punkt E zwischen I und A gezogen und treffe DA, DB in F und G, so ist zu beweisen:
  • AF : FD = DG : GB = FE : EG.
  Man ziehe durch E den Durchmesser, welcher DA, DB AB beziehlieh in M, N, O trifft und von A und B an diesen Durchmesser die Parallelen AP, BQ mit FG. Nun ist:
  • ME = EP (I.35), also AF = FM und
  1. AF : AK = 2 · AF : 2 · AK = AM : AD = AO : AH,
  • oder wenn man die Hinterglieder verdoppelt:
  2. AF : AD = AO : AB und folglich
  3. AF : FD = AO : OB.
  • Auf dieselbe Weise ist NE = EQ (I.35), also NG = GB und
  4. BG : BL = 2 · BG : 2 · BL = BN : BD = BO : BH,
  • oder wenn man die Hinterglieder verdoppelt:
  5. BG : BD = BO : BA und also
  6. BG : GD = BO : OA.
  • Endlich ist:
  7. AO : BO = AP : BQ = 2 · FE : 2 · GE = FE : GE;
  • mithin aus Vergleichung von (3), (6), (7):
  • AF : FD = DG : BG = FE : EG. q.e.d.
  Ein in neuerer Zeit üblicher Beweis ist folgender:
  Seien unter Beibehaltung obiger Bezeichnungen von den Punkten E, F, G Durchmesser gezogen, die AB beziehlieh in R, S, T treffen und seien U, V die Durchschnittspunkte von FS mit AE und von GT mit BE.
  Nun ist AH = HB, AU = UE, BV = VE nach (II.30), also auch AS = SR, BT = TR; da nun AR + RB = 2 · AB + 2 · BT = AB, ist AS + BT = AH und folglich BT = SH und AS = TH, also selbstverständlich AS : SH = HT : TB = SR : RT und folglich auch AF : FD = DG : GB = FE : EG. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 42. Wenn zwei parallele Tangenten einer Ellipse oder zweier Gegenschnitte von einer dritten durchschnitten werden, so ist das Rechteck aus den Stücken, welche auf ihnen abgeschnitten werden, gleich dem Quadrat des halben Durchmessers, der mit ihnen parallel ist.
  Seien in den Endpunkten A und B des Durchmessers einer Ellipse oder zweier Gegenschnitte Tangenten gezogen, welche von einer dritten, deren Berührungspunkt E ist, in den Punkten F und G geschnitten werden, und sei CD ein mit AF oder BG paralleler Halbmesser, so ist zu beweisen:
  • AF · BG = CD².
  Beweis. Man ziehe von E an AB und CD die Ordinaten EI und EL und nenne H und K die Durchschnittspunkte von GF mit den verlängerten AB, CD. Nun ist nach I.37:
  1. CI : CA = CA : CH, also auch
  2. AI : HA = CB : CH, woraus ferner
  3. HA : HI = HC : HB, also auch
  4. AF : EI = CK : BG oder AF · BG = EI · CK = CL · CK,
  • aber nach I.38 CL · CK = CD² und folglich AF · BG = CD². q.e.d.
• 
  Lehrsatz 43. Werden an eine Hyperbel zwei Tangenten gezogen, so ist das Rechteck aus den Abschnitten, welche die eine auf den Asymptoten bildet, gleich dem Rechteck aus den Abschnitten, die die andere Tangente bildet.
  Seien in den Punkten A und B einer Hyperbel Tangenten gezogen, deren erstere die Asymptoten in den Punkten D und E, letztere in den Punkten F und G trifft, so ist zu beweisen, dass
  • CD · CE = CF · CG.
  Man ziehe von A und B Parallelen AH, BI mit der einen Asymptote CD bis an die andere CE, so ist nach II.12 CH · HA = CI · IB und aa nach II.3 DA = AE und FB = BG, ist CE = 2 · CH, CD = 2 · AH, CG = 2 · CI, CF = 2 · BI, also CD · CE = 4 · CH · AH und CF · CG = 4 · CI · IB, mithin CD · CE = CF · CG. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 44. Wenn zwei Tangenten einer Hyperbel oder zweier Gegenschnitte die Asymptoten treffen, so ist die Berührungssehne parallel den beiden Linien, welche die Durchschnittspunkte der Tangenten mit den Asymptoten verbinden.
  Seien in den Punkten A und B einer Hyperbel oder zweier Gegenschnitte Tangenten gezogen, welche die Asymptoten in den Punkten D und E, F und G treffen, so wird behauptet:
  • AB ∥ FE ∥ DG.
  Beweis. Es ist nach vorigem Satz CD · CE = CF · CG (was auch bei Gegenschnitten leicht nachzuweisen), folglich FE parallel DG, und da A die Mitte von DE, B von FG nach I.3, ist auch AB ∥ FE ∥ DG. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 45. Wenn in den Endpunkten der Achse einer Ellipse oder zweier Gegenschnitte Tangenten gezogen und von einer beliebigen dritten Tangente durchschnitten werden, und wenn in der Achse auf jeder Seite ein Punkt bestimmt wird, so dass das Rechteck der Abschnitte, die er bildet, gleich dem Quadrat der halben kleinen Achse ist (und zwar muss bei der Ellipse jeder der so bestimmten Punkte innerhalb der Achse, bei Gegenschnitten in ihrer Verlängerung liegen), so schliessen die Linien, welche von einem so bestimmten Achsenpunkt nach den beiden Durchschnittspunkten der dritten Tangente mit den beiden ersten Tangenten gezogen werden; einen rechten Winkel ein.
  Sei AB die Achse einer Ellipse oder zweier Gegenschnitte und seien die Tangenten in A und B von einer dritten in D gezogenen in den Punkten E und F durchschnitten, sei ferner S ein Punkt zwischen A und B bei der Ellipse, ausserhalb AB bei der Hyperbel, so dass AS · BS = dem Quadrat der halben kleinen Achse ist, so wird behauptet, dass
  • ∠ESF = 1 Rechten.
  Beweis. Nach III.42 ist AE · BF gleich dem Quadrat der halben kleinen Achse, also AE · BF = AS · BS und ∆AES ähnlich dem ∆BSF, also ∠ESA = ∠BFS und da ∠BFS + BSF = 1 R, auch ∠ESA + ∠BSF = 1 R, mithin auch ∠ESF = 1 R. q.e.d.
  Erklärung. Die beiden auf die beschriebene Art in der Achse zu bestimmenden Punkte heissen die Brennpunkte.
• 
  Lehrsatz 46. Wird übrigens unter denselben Voraussetzungen als im vorigen Satz der Schneidungspunkt der dritten Tangente und einer der beiden parallelen mit den beiden Brennpunkten verbunden, so machen diese beiden Verbindungslinien gleiche Winkel mit den in diesem Schneidungspunkt zusammenstossenden Tangenten.
  Sei H der zweite Brennpunkt, so liegen, weil ESF und EHF nach vorigem Satz rechte Winkel sind, die vier Punkte E, F, S, H in einem Halbkreis, mithin ist ∠FEH = ∠FSH als Peripheriewinkel auf demselben Bogen, ∠FSH aber = ∠SEA nach vorigem Beweis, also ∠FEH = ∠SEA. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 47. Werden unter denselben Voraussetzungen als in den vorigen Lehrsätzen die Durchschnittspunkte der dritten Tangente mit den in den Endpunkten der Achse gezogenen mit beiden Brennpunkten verbunden, so steht die Linie von einem der durch diese Verbindungslinien erhaltenen Kreuzungspunkte nach dem Berührungspunkt der dritten Tangente senkrecht auf dieser.
  Sei übrigens unter denselben Bezeichnungen als oben I der Kreuzungspunkt von FS und EH, so ist zu beweisen, dass
  • ID lothrecht auf EF steht.
  Wäre eine andere Linie IL lothrecht, so hätte man ∆FIL ähnlich ∆FBH und ∆EIL ähnlich ESA, ferner ∆FHI ähnlich ∆ESI, wie leicht aus den zuletzt bewiesenen Sätzen folgt, sonach
  1. FL : FB = FI : FH = EI : ES = EL : EA
  oder wenn man im ersten und letzten Verhältniss die innern Glieder vertauscht:
  2. FL : EL = FB : EA;
  aber nach einer leichten Folgerung aus III.16 ist:
  • FD : ED = FB : EA,
  was der vorigen Proportion widerspricht, und es ist also unmöglich, dass eine andere Linie ausser ID Iothrecht auf EF steht, mithin ID Iothrecht auf EF. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 48. Die Linien vom Berührungspunkt einer Tangente nach den Brennpunkten gezogen, bilden gleiche Winkel mit der Tangente.
  Seien unter Beibehaltung der obigen Bezeichnungen noch SD und HD gezogen, so wird behauptet:
  • ∠SDE = ∠HDF.
  Weil IDE = ISE = 1 Rechten nach den vorigen Sätzen, liegen die Punkte S, I, D, E in einem Kreis, und weil ∠IDF = ∠IHF = 1 Rechten, auch die Punkte H, I, D, F; folglich ist:
  1. ∠EDS = ∠EIS und ∠FDH = ∠FIH
  bei der Ellipse oder = ∠EIS bei der Hyperbel als Peripheriewinkel, aber ∠EIS = ∠FIH und also in jedem Fall ∠SDE = ∠HDF. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 49. Wird von einem Brennpunkt auf eine Tangente ein Loth gefällt, so schliessen die Linien vom Fusspunkt desselben nach den Endpunkten der Achse einen rechten Winkel ein.
  Sei unter Beibehaltung obiger Bezeichnungen HK ein Loth von H auf EF gefällt und KA, KB gezogen, so ist zu zeigen, dass:
  • ∠AKB = 1 Rechten.
  Die Punkte F, K, H, B liegen in einem Kreise, weil ∠FKH und ∠FBH rechte Winkel sind, aus ähnlichen Gründen die Punkte E, K, H, A. Also ist ∠HKB = ∠HFB = ∠EHA und ∠HKA = ∠HEA als Peripheriewinkel; da aber ∠EHA + ∠HEA = 1 Rechten, muss auch ∠HKB + ∠HKA = 1 Rechten. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 50. Ist der Berührungspunkt einer Tangente mit einem Brennpunkt verbunden, und zieht man mit dieser Verbindungslinie eine Parallele vom Mittelpunkt bis an die Tangente, so ist diese Parallele gleich der halben Achse.
  Man ziehe unter Beibehaltung der obigen Bezeichnungen vom Mittelpunkt C mit SD eine Parallele CK bis an die Tangente EF, so ist zu zeigen, dass
  • CK = ½ · AB.
  Zieht man noch von H die Parallele HN mit SD bis an dieselbe Tangente und verbindet H mit K, so ist, weil SC = HC, auch DK = KN, und weil ∠EDS = ∠KNH als correspondirender oder Wechselwinkel und gleich ∠HDN nach § 48, ist auch ∠KNH = ∠HDK, folglich HK senkrecht auf EF und deshalb nach vorigem Satze BKA = 1 Rechten, mithin CK = ½ · AB. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 51. Werden in einer Hyperbel oder in zwei Gegenschnitten von den Brennpunkten nach einem beliebigen Punkt des Kegelschnitts Linien gezogen, so ist deren Unterschied gleich der Achse.
  Seien bei einer Hyperbel oder zwei Gegenschnitten AB die Achse S, H die Brennpunkte, D ein beliebiger Punkt im Umfang, so ist zu zeigen, dass HD - SD = AB.
  Man ziehe in D die Tangente und durch C eine Parallele mit SD, die die Tangente in K, HD in O schneidet, so ist, weil ∠ODK = ∠SDK (nach § 48), auch ∠OKD = ∠ODK und folglich OK = OD oder OK = ½ · HD; da aber OK = OC + CK und OC = ½ · SD so wie CK = ½ · AB (§ 50), so hat man ½ · SD + ½ · AB = ½ · HD oder AB = HD - SD. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 52. Wenn von den beiden Brennpunkten einer Ellipse an einen beliebigen Punkt des Umfangs Linien gezogen werden, so ist deren Summe gleich der Achse.
  Seien AB die Achse, S, H die Brennpunkte, D ein beliebiger Punkt im Umfang einer Ellipse, so ist zu beweisen, dass HD + SD = AB.
  Man ziehe in D die Tangente EF und von C eine Parallele mit SD, die die Tangente in K, HD in O trifft, so ist, weil ∠EDS = ∠FDH (nach § 48), auch ∠OKD = ∠ODK, mithin OD = OK oder ½ · HD = OK, aber OK = CK - CO und da CK = ½ · AB (nach § 50) und CO = ½ · SD, erhält man ½ · AB - ½ · HD = ½ · SD oder HD + SD = AB. q.e.d.
• 
  Lehrsatz 53. Wenn in einer Ellipse, Hyperbel oder in zwei Gegenschnitten von den Endpunkten eines Durchmessers nach einem beliebigen Punkt des Kegelschnitts Linien gezogen werden, welche entweder selbst oder in ihrer Verlängerung die in den Endpunkten des Durchmessers gezogenen Tangenten schneiden, so ist das Rechteck aus den auf den Tangenten abgeschnittenen Stücken gleich dem Quadrat des zu dem vorerwähnten zugehörigen conjugirten Durchmessers.
  Seien in einer Ellipse, Hyperbel oder in zwei Gegenschnitten von den Endpunkten A, B eines Durchmessers nach dem beliebigen Punkt E des Umfangs die Linien AE, BE gezogen, welche die in B und A gezogenen Tangenten in den Punkten F und G treffen, und sei DI der zu AB gebörige conjugirte Durchmesser, so wird behauptet:
  • AG · BF = DI².
  Man ziehe von E an AB die Ordinate EH, so ist
  1. AG : EH = AB : BH,
  2. BF : EH = AB : AH, also
  3. AG · BF : EH² = AB² : BH · AH oder
  • AG · BF : AB² = EH² : BH · AH = DI² : AB² (I.21).
  Da also das zweite Glied gleich dem vierten ist, muss auch AG · BF = DI². q.e.d.
• 
  Lehrsatz 54. Wenn von einem Punkt ausserhalb einer Ellipse, Hyperbel oder Parabel Tangenten an diese, von den beiden Berührungspunkten aber Parallelen mit diesen Tangenten so wie ;Linien nach einem beliebigen Punkt des Kegelschnitts gezogen werden, welche entweder selbst oder in ihrer Verlängerung die mit den Tangenten gezogenen Parallelen schneiden, so ist das Verhältniss des Rechtecks aus den auf diesen Parallelen abgeschnittenen Stücken zum Quadrat der Berührungssehne zusammengesetzt ans dem Verhältniss der Quadrate der beiden Stücke, welche auf der von er Mitte der Berührungssehne nach dem Ausgangspunkt der Tangenten gehenden Linie zwischen dieser Mitte und einem Kegelschnittspunkt und zwischen diesem Punkt und dem Ausgangspunkt der Tangenten liegen, und aus dem Verhältniss des Rechtecks der Tangenten zum Quadrat der halben Berührungssehne.
  Seien von einem Punkte D an eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel die Tangenten DA, DB, von A und B aber Parallelen mit DB, DA so wie Linien nach einem beliebigen Punkt E im Kegelschnitt gezogen, welche den Parallelen beziehlieh in F, G begegnen, so ist, wenn H die Mitte von AB, I der Durchschnitt von DH mit dem Kegelschnitt ist, zu beweisen:
  • AG · BF : AB² = HI² · AD · BH : DI² · AH²
  Beweis. Man ziehe noch von E und I Parallelen mit AB, deren erstere den Kegelschnitt zum zweiten Mal in K, die Linien DA, DB, DH beziehlich in L, M, N, deren letztere DA, DB in O und P trifft, so ist ∆GAB ähnlich ∆BME, ∆FBA ähnlich ∆ALE, also
  1. AG : AB = BM : ME,
  2. BF : AB = AL : LE, mithin
  3. AG · BF : AB² = BM · AL : ME ·LE = BM ·AL² : ME · LE ·AL
  und da, wie leicht zu zeigen ME = LK und nach III.16 AL² : LK · LE = AO² : OI², erhalten wir
  4. AG · BF : AB² = BM · AO² : AL · OI²
     = BD · AO² : AD ·OI²
     = AD · BD · AO² : AD² · OI².
     = AD · BD · IH² : DH² · OI².
  Weil aber endlich AH : OI = DH : DI oder DH · OI = AH · DI, erhalten wir
  5. AG · BF : AB² = HI² · AD · BD : DI² · AH². q.e.d.
• 
  Lehrsatz 55. Wenn von einem Punkte ausserhalb des Asymptotenwinkels in zwei Gegenschnitten Ta genten an diese und von den Berührungspunkten Parallelen mit diesen Tangenten sowie Linien nach einem beliebigen Punkt eines der beiden Gegenschnitte gezogen werden, welche entweder selbst oder verlängert die Parallelen schneiden, so verhält sieh das Rechteck aus den auf den Parallelen abgeschnittenen Stücken zum Quadrat der Berührungssehne wie das Rechteck aus den Tangenten zum Quadrat der von ihrem Ausgangspunkt bis an einen der Gegenschnitte gezogenen Parallelen mit der Berührungssehne.
  Seien vom Punkt D ausserhalb des Asymptotenwinkels zweier Gegenschnitte an diese die Tangenten DA, DB, von A und B Parallelen mit DB, DA und Linien nach einem beliebigen Punkt E eines der beiden Kegelschnitte gezogen, die die von B und A gezogenen Parallelen beziehlich in F und G treffen, so ist, wenn DR eine von D bis an einen der beiden Gegenschnitte gezogenen Parallele mit AB ist, zu beweisen, dass
  • AG · BF : AB² = AD · BD : DR²,
  Beweis. Man ziehe noch durch E eine Parallele mit AB, die den andern Gegenschnitt in K, die Tangenten DA, DB in L, M trifft, so ist ∆GAB ähnlich dem ∆BME und ∆FBA ähnlich dem ∆ALE, mithin
  1. AG : AB = BM : ME,
  2. BF : AB = AL : LE, also
  3. AG · BF : AB² = BM · AL : LE · ME =
     = BM · AL² : LE · ME · AL
  und da AL² : LE · ME = AD² : DR² nach III.20 und BM : AL = BD : AD, erhält man
  4. AG · BF  AB² = BD · AD² DR² · AD = BD · AD DR². q.e.d.
• 
  Lehrsatz 56. Wenn von einem Punkt innerhalb des Asymptotenwinkels an eine Hyperbel zwei Tangenten, von den Berührungspunkten aber Parallelen mit diesen Tangenten und Linien nach einem beliebigen Punkt des zugehörigen andern Gegenschnitts gezogen werden, welche diese Parallelen schneiden, so ist das Verhältniss des Rechtecks aus den auf den Parallelen entstandenen Abschnitten zum Quadrat der Berührungssehne zusammengesetzt aus dem Verhältnies der Quadrate der beiden Stücke des durch den Ausgangspunkt der Tangenten gehenden Durchmessers, welche zwischen der Mitte der Berührungssehne und dem andern Gegenschnitt und zwischen diesem Gegenschnitt und dem Ausgangspunkt der Tangenten liegen und aus dem Verhältniss des Rechtecks der Tangenten zum Quadrat der halben Berührungssehne.
  Seien von einem Punkte D innerhalb des Asymptotenwinkels zweier Gegenschnitte Tangenten DA, DB an die eine Hyperbel, und von A und B Parallelen mit DB, DA so wie Linien nach einem beliebigen Punkt E des andern Gegenschnitts gezogen, welche den Parallelen beziehlich in F und G begegnen, so ist, wenn H die Mitte von AB, I der Durchschnitt von DH mit dem zweiten Gegenschnitt ist, zu beweisen:
  • AG · BF : AB² = HI² · AD · BD : DI² · AH².
  Beweis. Man ziehe noch durch E und I Parallelen mit B, deren erstere den Gegenschnitt zum zweiten Mal in K, die Tangenten DA, DB in L, M und DH in N, deren letztere DA und DB in O und P trifft, so ist, weil ∆GAB ähnlich ∆BME und ∆FBA ähnlich ∆ALE,
  1. AG : AB = BM : ME,
  2. BF : AB = AL : LE, also
  3. AG · BF : AB² = AL · BM : LE · ME =
     = AL² · BM : ME ·LE · AL.
  Es ist aber ME = LK und nach III.18
  • AL² : LK · LE = AO² : OI², und da ausserdem
  • BM : AL = BD : AD, erhält man
  4. AG · BF : AB² = AO²2 · BD : OI² · AD = AO² ·BD · AD : OI² · AD²,
  und da AO : AD = HI : DH
  5. AG · BF : AB² = HI² · AD · BD : OI² · DI².
  Weil aber endlich OI : AH = DI : DH, ist OI² · DH² = DI² · AH², mithin
  6. AG · BF : AB² = HI² · AD · BD : DP · AH². q.e.d.
  Anm. Es ist leicht zu erkennen, dass in diesen letzten vier Lehrsätzen des dritten Buchs der Keim der Lehre von der Erzeugung der Kegelschnitte durch projektivische Gerade und Strahlbüschel enthalten ist; denn das constante Rechteck AG · BF macht die Geraden, auf denen es von den festen Punkten A und B aus abgeschnitten wird, nach Steinerscher Bezeichnung zu projektivisch ähnlichen Geraden, mit welchen die Strahlbüschel bei B und A perspektivisch sind, diese Strahlbüschel sind also unter sich projektivisch schief und erzeugen deshalb einen Kegelschnitt. Da ferner, sobald die Geraden AG, BF mit den festen Punkten A und B und die Grösse des constanten Rechtecks AG · BP gegeben sind, auch AD, BD, AB, AH bekannt sind, so st sogleich das Verhältniss HI :  DI gegeben und somit ein Weg angedeutet, .wie aus zwei in schiefer Lage gegebenen projektivischen Strahlbüscheln alsbald der Mittelpunkt und ein Paar conjugirter Durchmesser des dadurch bestimmten Kegelschnitts gefunden werden können; denn theilt man die Gerade HD nach dem gegebenen Verhältniss HI :  DI, so sind die beiden Theilungspunkte die Durchschnittspunkte des Durchmessers DH mit dem Kegelschnitt, die Mitte zwischen ihnen der Mittelpunkt und DH, AB die Richtungen eines Paars conjugirter Durchmesser.

Quelle:

Des Apollonius von Perga sieben Bücher über Kegelschnitte, bearbeitet von Paul Heinrich Balsam. Berlin 1861.

© Rainer Stumpe, URL: www.rainerstumpe.de/
Datenschutzerklärung