KursbestimmungenWenn man bei einem Törn weiss, wohin man will, bestimmt man zunächst den Kurs, mit dem man lossegeln will. Dabei unterscheidet man drei Berechnungsmethoden, die man je nach Entfernung vom Start- zum Zielort anwendet. Als nächstes interessiert bei der Törnplanung die Entfernung zwischen den beiden Orten. Die kann man aber in keinem der hier dargestellten Fälle aus der Karte ablesen: man muss immer rechnen.
Kürzeste Strecke aus den Ortskoordinaten (Orthodrome)Um auf der kürzesten Verbindungslinie von A nach B zu kommen, muss man sich auf der Kugel auf einem Großkreis bewegen. Für Segler hat das den Nachteil, dass der Großkreis jeden Meridian unter einem anderen Winkel schneidet, man also den Kurs kontinuierlich ändern muß (zur Berechnung der Loxodrome, die einen konstanten Kurs fahren läßt). Die Orthodrome liegt definitionsgemäß auf einem Großkreis und ist eine Seite im sphärischen Poldreieck ABPol. Zur Berechnung der Länge der Kurslinie wendet man den Seitencosinussatz an in der Form:
Für die Berechnung der Kurse zwischen Start und Ziel wird nun ein Fixpunkt auf dem Kurs-Großkreis definiert, der ein rechtwinkliges sphärisches Dreieck erzeugt, indem man vom Nordpol das (sphärische) Lot auf den Kurs-Großkreis fällt. Man nennt den Fixpunkt Scheitelpunkt, weil er dem Nordpol am nächsten liegt, also der "höchste" Punkt des Großkreises ist. (Liegt auf der Kurslinie Land, über das man nicht segeln kann, nimmt man die der Kurslinie an nächsten liegende Landspitze als Scheitel und macht die Berechnung zwei Mal.) Vom Scheitelpunkt aus kann man die Längen von Wegpunkten mit vorgegebener Breite auf dem Großkreis berechnen und den Winkel, unter dem der Großkreis den Meridian des Wegpunktes schneidet. Aus diesem ergibt sich der Steuerkurs am Wegpunkt. Der ScheitelpunktDer Scheitelpunkt ist eine Ecke in jedem der beiden rechtwinkligen Dreiecke APS und BPS. Im Dreieck APS sind bekannt der Winkel α und die Seite AP. Im Dreieck BPS sind bekannt die Seite BP und der Winkel PBS (= 180° - β). In beiden Dreiecken ist der Winkel bei S gleich 90°. Mit den drei bekannten Stücken eines Dreiecks kann man alle anderen berechnen. Man stellt die Gleichungen für die unbekannten Seiten AS und BS auf (s. Neper´schen Regel und setzt sie in die Beziehung AS = AB + BS ein (AB ist die orthodrome Entfernung von A und B!). Nach ein bißchen Arithmetik erhält man: Dabei ist φ A die Breite des Start- oder Zielortes (oder eines anderen Ortes auf dem Großkreis), und α ist der Startwinkel. Die WegpunktkoordinatenDa der Winkel PS(WP) definitionsgemäß ein rechter ist, sind alle roten Dreiecke, die einen Wegpunkt auf der (grünen) Kurslinie als Ecke haben, rechtwinklig. Bekannt sind in diesen Dreiecken der Winkel SP(WP) = λS - λWP, und die Seiten P(WP) = 90° - φWP und PS = 90° - φS. Mit der Neper´schen Regel findet man leicht die Formel: BeispielrechnungDie Fahrt soll von Porto in Portugal
= sin 41,1578° · sin 10,6722° + cos 41,1578° · cos 10,6722° · cos (-8,6333° - (-61,5333°)) = = 0,6581 · 0,1852 + 0,7529 · 0,9827 · 0,6032 = 0,1219 + 0,4463 = 0,5678. ⇒ c = 55,4° = 3323′ = 3.323 sm. Der Startkurs in Porto ergibt sich aus der Berechnung:
Das Ergebnis ist β = 108°. Den Startkurs (relativ zur Nordrichtung) erhält man offensichtlich, wenn man den Dreieckswinkel von 360° abzieht: Startkurs = 360° - 108° = 252°. Und der Ankunftskurs in Port of Spain wird berechnet aus der Formel: Das Ergebnis ist α = 46,87°; der navigatorische Sachverstand sagt einem: der Steuerkurs ergibt sich durch Addition von 180°: Ankunftskurs = 180° + 46,9° = 227°. Die Breite des Scheitelpunktes wird berechnet mit der Formel: cos φS = sin α · cos φPoS = sin 46,87° · cos 10,6722° = 0,7172; φS = 44,1762° Die Länge des Scheitelpunktes kann man nicht direkt berechnen (s. weiter oben auf dieser Seite), weil sie kein Winkel im Poldreieck ist. Aber das Dreieck APS ist ein rechtwinkliges Poldreieck, d. h. der Winkel ASP beim Scheitel ist 90°. Man findet also eine Beziehung für die Längendifferenz von Endpunkt zum Scheitel Δλ = λPoS - λS:
Die Koordinaten des Scheitels sind also: Berechnung von Wegpunkten auf der orthodromen Kurslinie Mit den Koordinaten des Scheitelpunktes und der vorgegebenen Länge λWP eines Wegpunktes kann man mit dem Rechenschieber bequem die Breite φWP des Wegpunktes nach der oben angegebenen Formel berechnen. Da eine Segelstrecke von 3.300 sm etwa 3 Wochen dauert, wurden die Längen für 25 Wegpunkte berechnet. Dann kann man täglich den Kurs ändern.
Wenn man mit dem Rechenschieber diese Berechnung ausführt, legt man zunächst die Längen der gewünschten Wegpunkte in einer Tabelle fest, und berechnet im Kopf die Differenz λS - λWP und trägt des Cosinus dieser Differenz in die Tabelle ein. Da die Breite φWP des Wegpunktes nach der Formel
Auf der Orthodrome ändert man den Kurs im Verlaufe des Törns kontinuierlich von 252° bis 227°. Berechnet man den Kurs nach der Loxodrome, beträgt der konstante Kurswinkel 237°. Die Entfernung zwischen Porto in Portugal und Port of Spain auf Trinidad ist bei konstantem Kurs 3.348 sm, auf der Orthodrome nur 3.323 sm. Der Entfernungsunterschied beträgt also etwa 25 sm! Aber da man auf so einer Reise ja wenig zu tun hat, kommt die Rechnerei gelegen — für knapp einen Tag Zeitersparnis. Interessanter wird der Unterschied beim Fliegen. Von New York (40° 43′ N, 74° 0′ W) nach Frankfurt ( 50° 7′ N, 8° 41′ O), oder nach Tokyo (35° 41′ N, 139° 46′ O) beträgt die Einsparung je ungefähr 70 sm. Aber auf diesen Strecken kann man nicht segeln. |
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